Enunciado

No problema 7.4 , para três nós interiores você obteve o seguinte sistema:

a) Mostre que dividindo cada equação por h 2 , obtêm-se:

onde λ   =   p 2 , e que a expansão do determinante fornece:

P λ = - λ 3 + 10,667 λ 2 - 31 , 607 λ + 22,487

b) Mostre que o mesmo polinômio pode ser obtido aplicando-se o método de Leverrier-Faddeev à matriz:

c) Usando o polinômio característico obtido em b), determine os autovalores de B, usando método numérico `a sua escolha.

d) Usando o método de Jacobi, determine os autovalores e autovetores da matriz B

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide dado o problema para três nós interiores você obteve o seguinte sistema:

a) Mostre que dividindo cada equação por h 2 , obtêm-se:

onde λ   =   p 2 , e que a expansão do determinante fornece:

P λ = - λ 3 + 10,667 λ 2 - 31,607 λ + 22,487

b) Mostre que o mesmo polinômio pode ser obtido aplicando-se o método de Leverrier-Faddeev à matriz:

c) Usando o polinômio característico obtido em b), determine os autovalores de B, usando método numérico `a sua escolha,

d) Usando o método de Jacobi, determine os autovalores.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha sabendo que para três nos interiores temos o sistema,

Temos que na letra (a) para determinar a expansão dado,

Temos,

P λ = - λ 3 + 10,667 λ 2 - 31,607 λ + 22,487

P 1,778 = - 1,778 3 + 10,667 1,778 2 - 31,607 1,778 + 22,287

P 1,778 = - 5,609

Já na letra (b) para mostrar que o polinômio pode ser obtido por Leverrier, temos

Ficando,

3,556 - 1,778 0 - 1,778 3,556 - 1,778 0 - 1,778 3,556 - λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ

Logo temos,

i j k 3,556 - λ - 1,778 0 - 1,778 3,556 - λ - 1,778 0 - 1,778 3,556 - λ k j 3,556 - λ - 1,778 - 1,778 3,556 - λ 0 - 1,778

Ficando,

P λ = - λ 3 + 10,667 λ 2 - 31,607 λ + 22,487

Passo 3

Já na letra ( c ) tendo o polinômio característico, temos

P λ = - λ 3 + 10,667 λ 2 - 31,607 λ + 22,487

Temos,

λ - λ 2 + 10,667 λ - 31,307 = - 22,487

Ficando,

λ 1 = 22,487

λ 2 = 11,337

λ 3 = - 7,309

E por fim na letra (d) temos que por meio de Jacobi dado,

3,556 - 1,778 0 - 1,778 3,556 - 1,778 0 - 1,778 3,556

Com isso temos,

λ 1 = 3,556 + - 1,778 2 + 0 2 = 6,717

λ 2 = - 1,778 + 3,556 2 + - 1,778 2 = 14,028

λ 3 = 0 + - 1,778 2 + 3,556 2 = 15,806

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) P 1,778 = - 5,609

b) P λ = - λ 3 + 10,667 λ 2 - 31,607 λ + 22,487

c) λ 1 = 22,487

λ 2 = 11,337

λ 3 = - 7,309

d) λ 1 = 6,717

λ 2 = 14,028

λ 3 = 15,806

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