Enunciado

Considere o movimento horizontal do conjunto massa mola mostrado na figura,

As deflexões horizontais x 1   e   x 2 são medidas relativamente à posição de equilíbrio estático. As molas possuem rigidez k 1 , k 2   e   k 3 , que são as forças requeridas para estender ou comprimir cada mola de uma unidade de comprimento. As equações de movimento são:

m 1 d 2 x 1 d t 2 = - k 1 x 1 + k 2 ( x 2 - x 1 )  

m 2 d 2 x 2 d t 2 = k 2 x 1 - x 2 + k 3 x 2

a) Se x   =   x 1 , x 2 t é o vetor deflexão então podemos reescrever as equações acima na forma:

d 2 x d t 2 = A x

b) Mostre que a substituição:

x = v e i w t

onde v é um vetor do R 2 , e i w t = cos ⁡ w t   +   i sin ⁡ w t com i   =   - 1 , leva ao problema de autovalores: A v   =   λ v onde λ   =   - w 2   . Os possíveis valores que w pode assumir são as frequências naturais de vibração do sistema.

c) Se k 1   =   k 2   =   k 3   = 1 k g s 2   e   m 1 =   m 2 =   1 k g determine os autovalores e autovetores de A , por método numérico à sua escolha.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide considerando o movimento horizontal do conjunto massa mola mostrado na figura,

As deflexões horizontais x 1   e   x 2 são medidas relativamente à posição de equilíbrio estático. As molas possuem rigidez k 1 , k 2   e   k 3 , que são as forças requeridas para estender ou comprimir cada mola de uma unidade de comprimento. As equações de movimento são:

m 1 d 2 x 1 d t 2 = - k 1 x 1 + k 2 ( x 2 - x 1 )  

m 2 d 2 x 2 d t 2 = k 2 x 1 - x 2 + k 3 x 2

a) Se x   =   x 1 , x 2 t é o vetor deflexão então podemos reescrever as equações acima na forma:

d 2 x d t 2 = A x

b) Mostre que a substituição:

x = v e i w t

onde v é um vetor do R 2 , e i w t = cos ⁡ w t   +   i sin ⁡ w t com i   =   - 1 , leva ao problema de autovalores: A v   =   λ v onde λ   =   - w 2   . Os possíveis valores que w pode assumir são as frequências naturais de vibração do sistema.

c) Se k 1   =   k 2   =   k 3   = 1 k g s 2   e   m 1 =   m 2 =   1 k g determine os autovalores e autovetores de A , por método numérico à sua escolha.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha para determinarmos os itens cobrados temos que as equações de movimento são determinadas por,

m 1 d 2 x 1 d t 2 = - k 1 x 1 + k 2 ( x 2 - x 1 )  

m 2 d 2 x 2 d t 2 = k 2 x 1 - x 2 + k 3 x 2

Ficando na letra (a) para se determinar o vetor deflexão x   =   x 1 , x 2 t , temos

d 2 x d t 2 = A x

Que pode ser definida como,

d 2 x d t 2 = A x 1 , x 2 t

Já na letra (b) dada a substituição,

x = v e i w t

Temos,

x ' = i v e i w t

Ficando,

A v = λ v → A i v e i w t = λ i v e i w t

Logo temos,

A = λ → A = w 2

E por fim na letra ( c ) para,

k 1 = k 2 = k 3 = 1 k g s 2       e       m 1 = m 2 = 1   k g

Temos,

m 1 + m 2 d 2 x d t 2 = 1

Chegando em,

2 d 2 x d t 2 = 1 → d 2 x d t 2 = 1 2

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) d 2 x d t 2 = A x 1 , x 2 t

b) A = w 2

c) d 2 x d t 2 = 1 2

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