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Use o método de Newton-Raphson para obter a menor raiz positiva das equações a seguir com precisão ϵ = 1 0 - 4

  1. x 2 - t g ( x ) = 0
  2. 2 c o s ( x ) = e x 2
  3. x 5 - 6 = 0

Passo 1

A gente sabe que a fórmula do Newton-Raphson é:

x k + 1 = x k - f ( x k ) f ' ( x k )

Passo 2

letra a:

f ( x ) = x 2 - t g ( x ) = 0

Vamos derivar agora a função:

f ' ( x ) = 1 2 - s e c 2 ( x )

Agora vamos colocar na fórmula do Newton-Raphson:

x k + 1 = x k - x 2 - t g ( x ) 1 2 - s e c 2 ( x )

Iterando na calculadora, acharemos:

x _ = 4.2747827467  

Passo 3

letra b:

f ( x ) = 2 c o s ( x ) - e x 2 = 0

Vamos derivar agora a função:

f ' ( x ) = - 2 s i n ( x ) - e x 2 = 0

Agora vamos colocar na fórmula do Newton-Raphson:

x k + 1 = x k - 2 c o s ( x ) - e x 2 - 2 s i n ( x ) - e x 2

Iterando na calculadora, acharemos:

  x _ = 0.9047940617  

Passo 4

letra c:

f ( x ) = x 5 - 6 = 0

Vamos derivar agora a função:

f ' ( x ) = 5 x 4

Agora vamos colocar na fórmula do Newton-Raphson:

x k + 1 = x k - x 5 - 6 5 x 4

Iterando na calculadora, acharemos:

x _ = 1.4309690826  

Resposta

  1. x _ = 4.2747827467  
  2. x _ = 0.9047940617  
  3. x _ = 1.4309690826  

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