Enunciado

Seja f ( x ) = e x - 4 x 2 e ξ sua raiz no intervalo (0,1). Tomando x 0 = 0.5 , encontre ξ com ϵ = 1 0 - 4 , usando:

  1. o MPF com φ ( x ) = 1 2 e x / 2 ;
  2. o método de Newton.

Compare a rapidez de convergência.

Passo 1

x 0 = 0.5

x 1 = 0.6420127083438707

x 2 = 0.6892571700915289

x 3 = 0.7057327914377776

x 4 = 0.7115704965010695

x 5 = 0.7136504999811878

x 6 = 0.7143930838202729

x 7 = 0.7146583814480575

x 8 = 0.7147531863224328

Aqui podemos ver que a sequência convergiu!

Passo 2

Primeiro precisamos derivar f ( x ) :

f ' ( x ) = e x - 8 x

Vamos aplicar agora na fórmula de Newton-Raphson:

x k + 1 = x k - e x - 4 x 2 e x - 8 x

Agora é só iterar:

x 0 = 0.5

x 1 = 0.7759014754891669

x 2 = 0.7175217028578307

x 3 = 0.7148118599229393

Aqui podemos ver que a sequência convergiu!

Resposta

  1. MPF obtém x _   =   0.714753186   após 8 iterações.
  2. O método de Newton obtém x _   = 0.71481186   após 3 iterações.
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Demonstre que, se h0 , aplicando o método de Newton para f x = x ,x ≥ 0 - x ,x0 que leva a x 1=-h se x 0=h e a x 1=h se x 0=-h . Desenhe uma figura que mostre o que ocorre.
A curva y=t gx cruza a reta y=2 x entre x=0 e x = π 2 . Use o método de Newton para determinar onde isso ocorre.
Use o método de Newton para estimar as duas raízes da função f ( x )=2 x-x 2+1 . Comece com x 0=0 para a raiz à esquerda e depois com x 0=2 para a raiz à direita. Então, determine x 2 em cada caso
Use o método de Newton para estimar as soluções da equação x 2 + x - 1 = 0 . Comece comx 0=-1 para a solução à esquerda e com x 0=1 para a solução à direita. Depois, determine x 2 em cada caso.
Aplique o método de Newton a f x = x 1 3 com x 0=1 e calcule x 1,x 2 ,x 3ex 4 . Determine uma fórmula para x n . O que acontece com x n quando n → ∞ ? Desenhe uma figura que mostre o que ocorre.