Enunciado

A curva y   =   t g   x cruza a reta y   =   2 x entre x   =   0 e x = π 2 . Use o método de Newton para determinar onde isso ocorre.

Passo 1

Se as retas se cruzam podemos fazer y = y e assim t g x = 2 x → f x = t g   x - 2 x . Queremos achar onde ocorre esse ponto de cruzamento dentro do intervalo 0 < x < π 2 . Como 0 não tá incluso no intervalo tomaremos inicialmente um x 0 = 1 e utilizaremos o método de Newton que diz que

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )

Passo 2

Primeiramente vamos derivar nossa função para conseguir substituir nossos valores na fórmula

f x = t g x - 2 x → f ' x = sec 2 ⁡ x - 2

Assim, teremos

x n + 1 = x n - t g x n - 2 x n sec 2 ⁡ ( x n ) - 2

Passo 3

Aplicando a fórmula encontrada no passo anterior encontraremos

x 1 = x 0 - t g x 0 - 2 x 0 sec 2 ⁡ ( x 0 ) - 2

x 1 = 1 - t g 1 - 2 ⋅ 1 sec 2 ⁡ ( 1 ) - 2

x 1 ≈   1.2920445

Mais uma vez aplicando a fórmula de Newton, teremos

x 2 = x 1 - t g x 1 - 2 x 1 sec 2 ⁡ ( x 1 ) - 2

x 2 = 1.2920445 - t g 1.2920445 - 2 ⋅ 1.2920445 sec 2 ⁡ ( 1.2920445 ) - 2

x 2 ≈ 1.155327774

Esse processo se repetirá por mais algumas vezes até que encontramos

x 16 = x 17 = 1.165561185

Que é nossa raiz.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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