Enunciado

Demonstre que, se h   >   0 , aplicando o método de Newton para

f x = x ,   x ≥ 0 - x ,   x < 0

que leva a x 1   =   -   h se x 0   =   h e a x 1   =   h se x 0   =   -   h . Desenhe uma figura que mostre o que ocorre.

Passo 1

Precisamos mostrar pra função dada que x 1 tem determinado valor a depender de x 0 , lembrando-se, é claro, que h > 0 , ou seja, é um número positivo. Para isso utilizaremos o Método de Newton que nos diz o seguinte

x n + 1 = x n - f ( x n ) f ' ( x n )           ( i )

Passo 2

Tomemos, inicialmente, x 0 = h e como h > 0 teremos f x = x e vamos derivá-la obtendo o seguinte

f ' x = 1 2 x

Podemos, agora, substituir na equação i .   Assim,

x 1 = x 0 - x 0 1 2 x 0

x 1 = x 0 - x 0 ⋅ 2 x 0 1

x 1 = x 0 - x 0 ⋅ 2 x 0

x 1 = x 0 - 2 x 0

x 1 =   - x 0       ( i i )

∴ x 1 = - h

Passo 3

Agora, utilizaremos x 0 = - h e como h > 0 temos que - h < 0   teremos, então, f x = - x e vamos derivá-la obtendo o seguinte

f ' x = - 1 2 - x

Podemos, agora, substituir na equação i .   Assim,

x 1 = x 0 - - x 0 - 1 2 - x 0

x 1 = x 0 - - x 0 ⋅ - 2 - x 0 1

x 1 = x 0 + - x 0 ⋅ 2 - x 0

x 1 = x 0 - 2 x 0

x 1 =   - x 0      

∴ x 1 = - - h = h

Passo 4

A figura que ilustra o que ocorre é a seguinte

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais. 6 x 3 + 9 x + 1 = 0
Nos exercícios de 5 até 10, use o método de Newton para encontrar o valor aproximado da raiz indicada com erro menor que um milésimo. x 4 - 10 x + 5 = 0 ; a maior raiz positiva
Nos exercícios de 1 a 4, use o método de Newton para encontrar a raiz real da equação dada com quatro casas decimais. x 5 + x - 1 = 0
Nos exercícios de11 até 14, use o método de Newton para encontrar o radical dado com cinco casas decimais corretas. 6 3 , resolvendo a equação x 3 - 6 = 0
Nos exercícios de11 até 14, use o método de Newton para encontrar o radical dado com cinco casas decimais corretas. 7 3 , resolvendo a equação x 3 - 7 = 0