Enunciado

Seja x - uma raiz da equação f x = 0 . Supomos que f x ,   f ' x   e     f ' ' ( x ) sejam contínuas e limitadas num intervalo fechado I contendo x = x - e que f ' x - = 0     e     f ' ' x - ≠ 0 .

a) mostre que o método iterativo definido por:

x k + 1 = x k - 2 f x k f ' x k ,   k = 0,1 , 2 , …

Converge para raiz x - se x k ∈ I .

b) o método definido em a) estende-se para uma raiz de multiplicidade m da seguinte maneira:

x k + 1 = x k - m f x k f ' x k ,   k = 0,1 , 2 , …

Calcular a raiz x - próxima de 1, da equação:

f x = x 4 - 3,1 x 3 + 2,52 x 2 + 0,432 x - 0,864 = 0

com erro relativo inferior a 10 - 3 , usando o método descrito acima e sabendo que f x - = f ' x = f ' ' x = 0     e     f ' ' ' x ≠ 0

.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide Seja x - uma raiz da equação f x = 0 . Supomos que f x ,   f ' x   e     f ' ' ( x ) sejam contínuas e limitadas num intervalo fechado I contendo x = x - e que f ' x - = 0     e     f ' ' x - ≠ 0 .

a) mostre que o método iterativo definido por:

x k + 1 = x k - 2 f x k f ' x k ,   k = 0,1 , 2 , …

Converge para raiz x - se x k ∈ I .

b) o método definido em a) estende-se para uma raiz de multiplicidade m da seguinte maneira:

x k + 1 = x k - m f x k f ' x k ,   k = 0,1 , 2 , …

Calcular a raiz x - próxima de 1, da equação:

f x = x 4 - 3,1 x 3 + 2,52 x 2 + 0,432 x - 0,864 = 0

com erro relativo inferior a 10 - 3 , usando o método descrito acima e sabendo que f x - = f ' x = f ' ' x = 0     e     f ' ' ' x ≠ 0

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha nessa questão para definirmos mostrando o que é pedido na letra (a) e (b) temos que saber que foi dado:

f ' x = f ' ' x = 0     e     f ' ' ' x ≠ 0

Ficando na letra (a) para mostrarmos que o método interativo temos,

x k + 1 = x k - 2 f x k f ' x k ,   k = 0,1 , 2 , …

Ficando,

x 1 + 1 = x 1 - 2 f ( 1 ) f ' ( 1 )

Que fica,

x 2 = 1   x   2   x 1 0 = - 2

Já na letra (b) para determinarmos o mesmo método só que agora da maneira

x k + 1 = x k - m f x k f ' x k ,   k = 0,1 , 2 , …

Para,

f x = x 4 - 3,1 x 3 + 2,52 x 2 + 0,432 x - 0,864 = 0

Temos,

f 1 = 1 4 - 3,1   x   1 3 + 2,52   x   1 2 + 0,432   x   1 - 0,864 = - 0,012

Ficando,

f 1 = - 0,012

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) x 2 = - 2

b) f 1 = - 0,012

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