Enunciado

A solução da equação diferencial:

a n d n u ( t ) d t n + a n - 1 d n - 1 u ( t ) d t n - 1 + … + a 1 d u t d t = 0

u t = ∑ k = 1 m q k t e λ k t onde os λ k são as raízes distintas do polinômio:

P λ = a n λ n + a n - 1 λ n - 1 + … + a 1 λ + a 0 ,

chamado polinômio característico da equação diferencial e os q k são polinômios de grau uma unidade inferior à multiplicidade de λ k , mas a não ser por isso, arbitrários. Deseja-se determinar a solução geral da equação diferencial:

d 3 u ( t ) d t 3 - 6 d 2 u t d t 2 + 6 d u t d t + 7 u t = 0

Determine a única raiz negativa do polinômio característico pelo método de Newton e o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner, com erro inferior a 10 - 3 , e as demais raízes através da equação do 2 ° grau.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide dada a solução da equação diferencial:

a n d n u ( t ) d t n + a n - 1 d n - 1 u ( t ) d t n - 1 + … + a 1 d u t d t = 0

u t = ∑ k = 1 m q k t e λ k t onde os λ k são as raízes distintas do polinômio:

P λ = a n λ n + a n - 1 λ n - 1 + … + a 1 λ + a 0 ,

chamado polinômio característico da equação diferencial e os q k são polinômios de grau uma unidade inferior à multiplicidade de λ k , mas a não ser por isso, arbitrários. Deseja-se determinar a solução geral da equação diferencial:

d 3 u ( t ) d t 3 - 6 d 2 u t d t 2 + 6 d u t d t + 7 u t = 0

Determine a única raiz negativa do polinômio característico pelo método de Newton e o algoritmo de Briot-Ruffini-Horner, com erro inferior a 10 - 3 , e as demais raízes através da equação do 2 ° grau.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galera nessa questão ele deseja encontrar a solução geral da equação diferencial, sabendo que

a n d n u ( t ) d t n + a n - 1 d n - 1 u ( t ) d t n - 1 + … + a 1 d u t d t = 0

Dado:

d 3 u ( t ) d t 3 - 6 d 2 u t d t 2 + 6 d u t d t + 7 u t = 0

Ficando,

λ 3 - 6 λ 2 + 6 λ + 7 = 0

Sendo,

λ λ 2 - 6 λ + 6 = - 7

Para a equação de 2 °   g r a u ,

λ 2 - 6 λ + 6

- 6 2 - 4   x   1   x   6 = 12

Logo temos,

λ 1 = - 7 ,     λ 2 = 3 + 3 ,   λ 3 = 3 - 3

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

λ 1 = - 7 ,     λ 2 = 3 + 3 ,   λ 3 = 3 - 3

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