Enunciado

Verifique de alguma forma que, se r F tem representação finita na base 2 com k dígitos, ou seja,   r F   =   ( 0 .   d 1 d 2 · · · d k ) 2 , então sua representação na base 10 é também finita com k dígitos.

Passo 1

Então, galera, sabemos que:

  r F   =   ( 0 .   d 1 d 2 · · · d k ) 2

passando pra decimal a gente teria que resolver isso aqui:

r F = ( 2 - 1 d 1 + 2 - 2 d 2 + . . .   + 2 - k d k ) 10

Passo 2

Agora se a gente olhar direitinho a gente consegue reescrever tudo isso na forma de somatório, assim:

r F = ∑ i = 1 k 2 - i d i

mas a gente sabe também que 2 - 1 = 5 10 .

vamos reescrever agora, cada termo do somatório no mesmo formato…

t e r m o i = 5 i d i 1 0 i

mas pera aí…

5 i   v a i   s e m p r e   t e r m i n a r   e m   5 ,   p a r a   t o d o   i   p e r t e n c e n t e   a o s   i n t e i r o s ,   t a l   q u e   i > 0  

Passo 3

A gente precisa provar que 5 i   v a i   s e m p r e   t e r m i n a r   e m   5 :

Então vamo lá:

  • Provar que 5 i   v a i   s e m p r e   t e r m i n a r   e m   5 é a mesma coisa que provar que 5 i - 5 pode ser dividido por 10 (por exemplo 25 - 5 = 20   =   2 × 10 ), ou seja:

5 i - 5 = 10 × q ,   o n d e   q   ∈ Z (ou seja, q   é   i n t e i r o )

dividindo dos dois lados por 5, a gente vai chegar em:

5 i - 1 - 1 = 2 × q

5 i - 1 = 2 × q + 1

Agora fica fácil!

Provar que 5 i   v a i   s e m p r e   t e r m i n a r   e m   5 é a mesma coisa que provar que 2   não vai dividir uma potência de 5 . Mas como 5 e 2 são números primos, a gente já pode ter certeza de que não existe nenhum fator de 2   e m   5 i , então já tá provado, UFA!

Passo 4

Sabendo de tudo isso, quem vai ditar o número de casas decimais do t e r m o i (quando d i ≠ 0 ) vai ser o 1 1 0 i que tem sempre i casas decimais, já que como 5 i   v a i   s e m p r e   t e r m i n a r   e m   5 , esse termo nunca vai ser 0 (o que poderia reduzir o número de casas decimais).

Agora só precisamos provar que não terá nenhum dígito do lado esquerdo da vírgula.

Em primeiro lugar a gente sabe que,

∑ i = 1 k 2 - i d i   ≤   ∑ i = 1 k 2 - i

que é o caso em que todos os d i ' s = 1 .

Agora, a gente pode pegar algum valor para ser maior que esse somatório, que poderia ser o limite de quando o k vai para infinito!

∑ i = 1 k 2 - i < ∑ i = 1 ∞ 2 - i d i

A gente pode lembrar da fórmula do somatório da PG infinita!

∑ i = 1 ∞ 2 - i d i = 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 / 2 1 / 2 = 1

Perfeito!

Como:

∑ i = 1 k 2 - i d i   ≤   ∑ i = 1 k 2 - i < ∑ i = 1 ∞ 2 - i d i = 1 / 2 1 - 1 / 2 = 1 / 2 1 / 2 = 1

Então, esse ∑ i = 1 k 2 - i d i < 1 , ou seja, sempre vai ser 0 , a l g u m a   c o i s a !

Sabendo de tudo isso, podemos afirmar que o número de casas dígitos após a vírgula vai ser igual a d k no sistema decimal!

Resposta

Veja a prova no passo-a-passo.

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