Enunciado

4.

a) Verifique que fazendo m = 1 e p = 1 nos métodos ( 3 ) do texto, obtemos o método y n + 1 = y n - 1 + 2 h f n com erro h 3 3 y ' ' ' ( ξ )

b) Em termos de esforço computacional como você compara com o método de Euler?

c) E quanto a precisão

Passo 1

a) E aí meus queridossss!

Se liga só! O método que a gente tá vendo aqui é dado por...

y n + 1 = y n - p + h ∫ - p 1 p m s d s

Como p = 1 e m = 1 , então...

y n + 1 = y n - p + h ∫ - p 1 p m s d s

y n + 1 = y n - 1 + h ∫ - 1 1 p 1 s d s

y n + 1 = y n - 1 + h ( f n - - f n )

y n + 1 = y n - 1 + 2 h f n

Quanto ao erro cometido, temos que ele pode ser dado por...

e x n + 1 = 1 3 ! ∫ x n x n + 1 x - x n - 1 x - x n x - x n + 1 f i i i ξ X , y ξ X

e x n + 1 = 2 h 3 3 ! y ' ' ' ( ξ )

e x n + 1 = 2 h 3 3 ⋅ 2 y ' ' ' ( ξ )

e x n + 1 = h 3 3 y ' ' ' ( ξ )

Passo 2

b) Primeiro de tudo, é importante salientar que esse nosso método é um método de passo múltiplo, ou seja ele leva para um passo a frente no tempo a fim de obter a solução do EDO.

Por fazer isso, ele pode ser um pouco mais trabalhoso que o método de Euler, que procura a solução passo a passo e precisa-se de apenas um valor para estimar a solução, que é o valor inicial.

Por isso, computacionalmente, o método do exercício é um pouquinho mais complicado!

Passo 3

c) Agora quanto a precisão!

Ah, meu amigo! O método do exercício é bem mais preciso!

Como já sabemos, o nosso método é um método de passo múltiplo!

Um método de passo múltiplo começa partindo de um ponto inicial, que leva para um passo a frente no tempo ajudando a encontrar o ponto mais próximo da solução. Esses métodos de passo únicos ganham em eficiência dos de passo único, usando aquilo que foi encontrado na etapa anterior e não apenas um ponto.

Resposta

a)

y n + 1 = y n - 1 + 2 h f n

e x n + 1 = h 3 3 y ' ' ' ( ξ )

b)

E x i g e   m a i s   e s f o r ç o   c o m p u t a c i o n a l

c)

É   m a i s   p r e c i s o

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6. a) Deduza o método implícito para resolver o PVI: y ' = f ( x , y ) y x 0 = y 0,d ot i p oy n + 1 = y n + ∫ x n x n + 1 f x , y x d x Onde usamos a regra dos Trapézios para calcular a integral acim
7. a) Considerando o seguinte PVI y ' = 0.04 y y 0 = 1000 E supondo conhecidos y 1 e y 2 , verifique que o método (2) do texto nos fornece y n + 1 explicitamente para y n + 1 .b) Como você explica o r
20. Escreva a equação de 2ª ordem: y ' ' ( x ) = 2 e 2 x - y 2 1 2 y 0 = 0 y ' 0 = 1 Como um sistema de equações de 1ª ordem e resolva-o, para xϵ[ 0 ,0.6 ] , usando h = 0.2 :a) pelo método de Eulerb)
26. Mostre que a aproximação b e 0 ( h )
1. O método de Euler modificado é deduzido a partir da figura abaixo: y ( x ) : solução exata da equação diferencial L 1 : z 1 ( x ) ; reta que passa por ( y n , x n ) e é tangente a y ( x ) em ( x n