Enunciado

O vetor p que armazena a informação sobre as permutações realzadas durante a fatoração LU pode ser construído como p k = i , se na etapa k a linha i da matriz A ( k - 1 ) for escolhida como a linha pivotal. Desta forma, o valor terá dimensão n - 1 x 1 .

Reescreva o algoritmo para a resolução de A x = b através da fatoração L U com estratégia de pivoteamento parcial, usando o vetor p conforme descrito acima.

Passo 1

Fala galerinha, tudo certinho?

Esse exercício é bem teórico, então o código para resolver o sistema linear A x = b . Usando fatoração L U , o algoritimo será :

Primeiro: definimos c = P b , e também 1 = 1 ,   … ,   n

Temos que definir também:

L y = P b

Dentro de um laço de repetição para i = 1 , … , n  

Quando j = 1 ,   … n - 1

Se sim , devemos ter:

s = s + a i j u j

Se não:

y i = c i - s

O último passo será:

U x = y

Dentro do laço de repetição:

i = 1 , … , n  

Para j = i + 1 , … , n  

Onde:

s = s + a i j x j

Se não:

x i = y i - s a i i        

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Mostre que se A é uma matriz simétrica e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D U implica U = L t (transposta de L ).
Mostre que se A é uma matriz simétrica, positiva definida e satisfaz as hipóteses da decomposição L U então A = L D L t onde os elementos diagonais de D são todos positivos.
Usando decomposição L U , inverter a matriz: A = 2 1 0 1 1 1 1 0 1
Seja A ,n×n , decomponível em L U . Sejam A i,i=1 ,2 , .. ., n , os menores principais de ordem i . Mostre que: u i i = ∆ i ∆ i - 1 ,i = 1,2 , … , n , Onde, ∆ i = det ⁡ A i , ∆ n = det ⁡ Ae∆ 0 = 1 .