Enunciado

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Justifique se for verdadeira ou dê contra-exemplo se for falsa a afirmação:

“Dada uma matriz A, n × n , sua fatoração L U , obtida com estratégia de pivoteamento parcial, é tal que todos os elementos da matriz L tem módulo menor ou igual a 1.”

Passo 1

Fala galerinha, tudo certinho?

Bom, esse exercício é beeeeeeeeem teórico, então vamos pensar com calma aqui.

Temos que analisar algumas coisitas! A matriz L é dada por:

1 0 ⋯ 0 0 m 21 1 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮ m n - 1 1 m n - 1 2 ⋯ 1 0 m n 1 m n 2 ⋯ m n n - 1 1

Basicamente ela é uma matriz onde temos uma diagonal principal unitária e a triangular superior nula. A triangular inferior são os multiplicadores de Gauss formados por:

m i j = a i j p ; i > j

onde p é o pivô da linha j . Como estamos usando a estratégia de pivoteamento parcial, o pivô de uma linha, se comparado com todos os números abaixo dele na coluna, será sempre maior em módulo, e isso é garantido pelo pivoteamento.

A divisão a i j p terá sempre seu módulo menor ou igual a 1 . Logo, a afirmativa é verdadeira.

Resposta

Afimativa verdadeira.

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