Série e Polinômio de Taylor

Teoria Completa

Introdução

Fala meus consagrados, vamos começar a entrar em terras turbulentas e desvendar mistérios que nos fazem até tremer as pernas hehehe já sabe do que eu estou falando?

Já usamos métodos para achar zero reais de funções, aí passamos pra métodos que transformamos dados em polinômios e até mesmo facilitando a resolução de Integrais.

Mas agora... vamos começar a aprender sobre as Equações Diferenciais Ordinárias... isso mesmo, as temidas EDO’s.

Veja bem, teremos métodos e esquemas numérico pra resolver Problemas de Valor Inicial (PVI) pra encontrar uma função y ( x ) , de modo que teremos algo assim:

Aí, vamos aplicar aquela série famosinha, a tal da série de Taylor para y ( x ) no ponto x k .

Mas calma, então preciso saber essa tal de série de Taylor primeiro né? Correto!! Por isso, nesse tópico, vamos aprender como usar a série de Taylor, não teremos resoluções de EDO ainda. A série vai ser muuiito importante na frente, temos que entender ela primeiro.

Então, vem tranquilo. O que é série de Taylor?

Cara, basicamente, a série de Taylor é usada para aproximar funções, tipo essa aqui :

f x = e - 2 x

Vamos ver como ela faz isso já já.

Talvez você tenha visto essa matéria em outra disciplina, e pode estar fresquinho aí na sua cabeça, pode passar isso aqui:

Se você não viu ouuuuuu se já viu, mas não lembra muito bem é uma ótima chance para revisar haha.

O que acontece é que em muitas faculdades Taylor é de fato uma matéria de numérico (pelo menos uma introdução a Taylor) então esse tópico é pra vocês!

Série de Taylor

Eu aposto que você já ouviu falar alguma coisa sobre essa série, seja em física, EDO, cálculo 3... A série de Taylor é uma série bem famosa, e está por trás de alguns métodos que já vimos em Cálculo Numérico.

Basicamente ela serve para igualar uma função qualquer a uma soma infinita dessa forma:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a x - a n n !

Onde f n ( a ) é a enésima derivada da função no ponto a e ( n + 1 ) é a quantidade de termos da nossa série.

Nesse caso dizemos que essa é a Série de Taylor de f x em torno de x = a . Além disso, toda Série de Taylor tem um “raio de convergência” R em torno do ponto onde ela é centrada a - R , a + R .

Dentro dessa região a série converge para o valor da função. Fora dessa região, dá tudo errado haha. Em alguns casos, no entanto, R = ∞ e a série aproxima perfeitamente a função em qualquer ponto!

Polinômio de Taylor

Show de bola, mas e daí?

Que raios isso tem a ver com Cálculo Numérico? Hmmm... pensa um pouquinho, aqui em numérico nós estamos seeeeempre tentando fazer algumas aproximações aqui e ali (claro, sempre prezando pra não ter erro né!)

Agora, ao invés de pegarmos a série infinita vamos truncar ela em algum ponto obtendo o polinômio de Taylor de grau n .

Dessa maneira, nós podemos aproximar qualquer função por um polinômio! Essa é a graça do Cálculo Numérico, simplificar nossa vida!

É claro que, associado a esse polinômio nós teremos um erro relativo ao truncamento que fizemos. Basicamente, o polinômio de Taylor de grau n vai ficar assim:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n = ∑ k = 0 n f k x 0 k ! x - x 0 k  

E o erro de truncamento vai ser dado por:

E x = f n + 1 ξ x n + 1 ! x - x 0 n + 1

Naquele mesmo esquema da maioria dos métodos que vimos até agora, onde a raiz ξ x é um valor que depende de x e se encontra no intervalo entre x e x 0 . Dificilmente nós iremos calcular esse número, o importante aqui é saber que ele se encontra entre x e x 0 .

De forma geral o que fazemos é encontrar o máximo de f n + 1 ξ x nesse intervalo chegando assim a um limitante do erro cometido:

E x ≤ f n + 1 k   n + 1 ! x - x 0 n + 1

Obs.: Para obtermos um polinômio de Taylor de grau n de alguma função f x essa função deve ter derivadas até a ordem n contínuas.

Exemplo

Então vamos lá! Pra resolver um exercício vamos basicamente calcular alguns polinômios de Taylor. Bora lá?

Vamos calcular o polinômio de Taylor de graus 1 , 2 , 3 e 4 de f x = e - 2 x com x 0 = 0 .

Como e - 2 x tem todas as derivadas contínuas não precisamos nos preocupar com isso. Calculando as derivadas de primeira até quarta, temos que:

f x = e - 2 x

f ' x = - 2 e - 2 x

f ' ' x = 4 e - 2 x

f 3 x = - 8 e - 2 x

f 4 x = 16 e - 2 x

Aplicando x 0 = 0 na função e em todas as derivadas, ficamos com:

f 0 = 1

f ' 0 = - 2

f ' ' 0 = 4

f 3 0 = - 8

f 4 0 = 16

Beleza, até aí tranquilo. Agora vamos relembrar aquela fórmula que vimos lá encima:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + … + f n x 0 n ! x - x 0 n = ∑ k = 0 n f k x 0 k ! x - x 0 k  

Com isso vamos calcular os polinômios com n = 1 ; 2 ; 3   e   4 .

Para n = 1 :

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 = 1 - 2 x

n = 2 :

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 = 1 - 2 x + 2 x 2

n = 3 :

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ( 3 ) 0 6 x - 0 3 = 1 - 2 x + 2 x 2 - 4 3 x 3

n = 4 :

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ( 3 ) 0 6 x - 0 3 + f ( 4 ) 0 24 x - 0 4 = 1 - 2 x + 2 x 2 - 4 3 x 3 + 2 3 x 4

Tudo beleza? Olha essa imagem pra ver como à medida que aumentamos o n nossa aproximação vai melhorando:

Olhando o gráfico, percebemos que todas as aproximações tem valor exato em 0, mas isso acontece devido ao fato de que nosso polinômio de Taylor foi construído em torno de x 0 = 0 .

Vamos ver o erro de cada uma? O erro é dado por:

E x ≤ f n + 1 k   n + 1 ! x - x 0 n + 1

Para n = 1 :

E x ≤ e - 2 x ' '   1 + 1 ! = 4 e - 2 x ' '   2 !

E x ≤ e - 2 x ' '   1 + 1 ! = 2

Para n = 2 :

E x ≤ e - 2 x ' ' '   2 + 1 ! = - 8 e - 2 x ' '   3 !

E x ≤ e - 2 x ' ' '   2 + 1 ! = 4 3

Para n = 3 :

E x ≤ e - 2 x ( 4 )   3 + 1 ! = 16 e - 2 x ' '   4 !

E x ≤ e - 2 x 4   3 + 1 ! = 2 3

Para n = 4 :

E x ≤ e - 2 x ( 5 )   4 + 1 ! = - 32 e - 2 x ' '   5 !

E x ≤ e - 2 x 5   4 + 1 ! = 4 15

Conforme vão se afastando de 0 o erro vai aumentando, mas vimos agora que quanto maior o n melhor são as aproximações em torno de x 0 = 0 .

Para valores distantes de x 0 = 0 os maiores n não serão necessariamente melhores!

E é só isso que eu tinha para falar mesmo galera! Vamos fazer uns exercícios que no próximo tópico veremos uma aplicação desse polinômio de Taylor.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Lista de Exercícios sobre Sequências e Séries – UFSCAR – Questão 20

Encontre a série de Taylor de cos ⁡ x em torno de π 2 :

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Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Em torno de x 0 = π 2 temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n π 2 n ! x - π 2 n

O que temos que fazer agora é tentar achar um padrão no valor das derivadas de cos ⁡ x .

Passo 2

f x = cos ⁡ x

Vamos montar uma tabelinha para as derivadas de cos ⁡ x e seus valores no ponto π 2 :

Por essa tabela conseguimos perceber o seguinte padrão: só os termos de n ímpar vão aparecer na série pois os de n par são sempre zero. E os componentes de termo ímpar vão trocando de sinal!

Podemos substituir todos os n na fórmula por 2 n + 1 para pegarmos apenas os n ímpares. E usando o termo - 1 n para cuidar da troca de sinal ficamos com:

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x - π 2 2 n + 1

Prontinho!! Essa é a nossa série de Taylor!

Resposta

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x - π 2 2 n + 1

Exercício Resolvido #2

Lista 0 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 1

Encontre a série de Taylor em torno de x 0 = 0 para as funções:

a f x = sin ⁡ x

b f x = cos ⁡ x

c f x = 1 1 - x

d f x = e x

e f x = ln ⁡ 1 + x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Em torno de x 0 = 0 temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 0 n ! x n

O que temos que fazer agora é tentar achar um padrão no valor das derivadas de cada f x . Vai ficar mais claro quando vocês verem sendo feito haha.

Passo 2

a f x = sin ⁡ x

Vamos começar escrevendo o valor de algumas derivadas de f x :

Por essa tabela conseguimos pegar o seguinte padrão, só os termos de n ímpar vão aparecer na série pois os de n par são sempre zero. E os componentes de termo ímpar vão trocando de sinal!

Podemos substituir todos os n na fórmula por 2 n + 1 para pegarmos apenas os n ímpares. E usando o termo - 1 n para cuidar da troca de sinal ficamos com:

sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1

Passo 3

b f x = cos ⁡ x

Essa provavelmente vai ficar bem parecida com a do seno né? Fazendo a mesma tabelinha:

O padrão é praticamente o mesmo, mas dessa vez temos apenas os n pares! Então vamos trocar n por 2 n pra pegar só os pares e manter o termo - 1 n pra troca de sinais.

cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x 2 n

Passo 4

c f x = 1 1 - x

Montamos a tabelinha de novo:

E aí, essa tabela ta te lembrando alguma coisa? Pra mim ela ta igualzinha ao fatorial de n né? Então nossa série vai ficar:

1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ n ! n ! x n = ∑ n = 0 ∞ x n

Passo 5

d f x = e x

Precisa nem de tabela pra dizer o que vai acontecer aqui né? Independente do n , f n 0 vai valer sempre e 0 = 1 . Logo, a série de Taylor vai ficar:

e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Passo 6

e f x = ln ⁡ 1 + x

Esse não ta tão óbvio quanto o último né? Vamos para a nossa tabelinha de novo:

Vamos passo a passo. Repara como os termos estão trocando de sinal sempre que mudamos o n ! E que para n ímpar o sinal é positivo. Logo, teremos um termo - 1 n - 1 na nossa série de Taylor.

Outra coisa importante é que temos de novo aquela cara de fatorial! Só que agora para n = 4 apareceu o fatorial de 3 . Então tem que ter um n - 1 ! na jogada.

Dessa forma, nossa expressão genérica para f n 0 deve ser - 1 n - 1 n - 1 !

Essa fórmula só não bate com o resultado de n = 0 , mas como para esse n temos f 0 0 = 0 nem precisamos contar ele! Nossa série de Taylor ficaria então:

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n - 1 ! n ! x n

Repare que começamos em n = 1 ao invés de 0 justamente para eliminar aquela primeira linha da tabela. Outro detalhe importante é que podemos decompor n ! em n n - 1 !

Assim ficamos com:

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n x n

É comum iniciarmos a série com n = 0 , para isso basta trocarmos os n por n + 1 :

ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n + 1

Ufa, esse é o valor final da nossa série de Taylor!

Resposta

a   sin ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1

b   cos ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n ! x 2 n

c   1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n

d   e x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

e   ln ⁡ 1 + x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 1 x n + 1

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Encontre f x , usando série de Taylor gerada por f em a , sabendo que:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Como todos os valores das derivadas da função estão em torno de 2 , vamos fazer a série com a = 2 . Em torno de a = 2 temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 2 n ! x - 2 n

O que temos que fazer agora é substituir os valores da tabela e achar o polinômio correspondente.

Passo 2

A tabela é:

Por essa tabela conseguimos montar o polinômio aplicando os valores na fórmula de Taylor:

f x = f 2 + f ' 2 x - 2 + f ' ' 2 x - 2 2 2 ! + f ' ' ' 2 x - 2 3 3 !

f x = 8 + 10 x - 2 + 12 x 2 - 4 x + 4 2 + 6 x 3 - 6 x 2 + 12 x - 8 6

f x = x 3 - 2 x + 4

Prontinho!! Esse é o nosso polinômio!

Resposta

f x = x 3 - 2 x + 4

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Encontre f x , usando série de Taylor gerada por f em a , sabendo que:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Como todos os valores das derivadas da função estão em torno de - 1 , vamos fazer a série com a = - 1 . Em torno de a = - 1 temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n - 1 n ! x + 1 n

O que temos que fazer agora é substituir os valores da tabela e achar o polinômio correspondente.

Passo 2

A tabela é:

Por essa tabela conseguimos montar o polinômio aplicando os valores na fórmula de Taylor:

f x = f - 1 + f ' - 1 x + 1 + f ' ' - 1 x + 1 2 2 ! + f ' ' ' - 1 x + 1 3 3 ! + f 4 - 1 x + 1 4 4 !  

f x = - 7 + 23 x + 1 + - 82 x 2 + 2 x + 1 2 + 216 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 1 6 + - 384 ( x 4 + 4 x 3 + 6 x 2 + 4 x + 1 ) 24

f x = - 7 + 23 x + 23 - 41 x 2 - 82 x - 41 + 36 x 3 + 108 x 2 + 108 x + 36 - 16 x 4 - 64 x 3 - 96 x 2 - 64 x - 16

f x = - 16 x 4 - 28 x 3 - 29 x 2 - 15 x - 5

Prontinho!! Esse é o nosso polinômio!

Resposta

f x = - 16 x 4 - 28 x 3 - 29 x 2 - 15 x - 5

Exercício Resolvido #5

Elaboração Própria

Encontre f x , usando série de Taylor gerada por f em a , sabendo que:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Como todos os valores das derivadas da função estão em torno de 1 , vamos fazer a série com a = 1 . Em torno de a = 1 temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n 1 n ! x - 1 n

O que temos que fazer agora é substituir os valores da tabela e achar o polinômio correspondente.

Passo 2

A tabela é:

Por essa tabela conseguimos montar o polinômio aplicando os valores na fórmula de Taylor:

f x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 x - 1 2 2 ! + f ' ' ' 1 x - 1 3 3 ! + f 4 x x - 1 4 4 ! + f 5 x x - 1 5 5 !

f x = 3 + 1 9 x - 1 + 6 2 x 2 - 2 x + 1 2 + 1 6 8 x 3 - 3 x 2 + 3 x - 1 6 +

+ 336 x 4 - 4 x 3 + 6 x 2 - 4 x + 1 24 + 360 x 5 - 5 x 4 + 10 x 3 - 10 x 2 + 5 x - 1 120

f x = 3 + 19 x - 19 + 31 x 2 - 62 x + 31 + 28 x 3 - 84 x 2 + 84 x - 28 +

+ 14 x 4 - 56 x 3 + 84 x 2 - 56 x + 14 + 3 x 5 - 15 x 4 + 30 x 3 - 30 x 2 + 15 x - 3

f x = 3 x 5 - x 4 + 2 x 3 + x 2 - 2

Prontinho!! Esse é o nosso polinômio!

Resposta

f x = 3 x 5 - x 4 + 2 x 3 + x 2 - 2

Exercício Resolvido #6

Lista de Exercícios sobre Sequências e Séries – UFSCAR – Questão 18

Mostre que a função f ( x ) = sin ⁡ x pode ser representado como série de Taylor em torno de π 2 para todo x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n a n ! x - a n

Em torno de x 0 = π 2 temos:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n π 2 n ! x - π 2 n

O que temos que fazer agora é tentar achar um padrão no valor das derivadas de cos ⁡ x .

Passo 2

Vamos montar uma tabelinha para as derivadas de sin ⁡ x e seus valores no ponto π 2 :