Série e Polinômio de Taylor

Resumo Completo

Introdução

Fala galera! Seguinte, se você já viu essa matéria em outra disciplina e ta fresquinho na sua cabeça pode passar isso aqui! Se já viu mas não lembra muito bem é uma ótima chance para revisar haha.

O que acontece é que em muitas faculdades Taylor é de fato uma matéria de numérico (pelo menos uma introdução a Taylor) então esse tópico é pra vocês!

Série de Taylor

A maioria de vocês já deve ter ouvido esse nome né? A série de Taylor é bem famosa e está por trás de vários métodos que já vimos aqui em cálculo numérico.

Basicamente o que ela faz é igualar uma função qualquer a uma soma infinita dessa forma:

f x = n = 0 f n a x - a n n !

Nesse caso dizemos que essa é a Série de Taylor de f x em torno de x = a . Além disso, toda Série de Taylor tem um “raio de convergência” R em torno do ponto onde ela é centrada a - R , a + R . Dentro dessa região a série converge para o valor da função. Fora dessa região, dá tudo errado haha. Em alguns casos, no entanto, R = e a série aproxima perfeitamente a função em qualquer ponto!

Polinômio de Taylor

Tá, e o que isso tem a ver com cálculo numérico? Bom, isso é útil porque aqui em numérico nós estamos sempre lidando com aproximações! Então ao invés de pegarmos a série infinita vamos truncar ela em algum ponto obtendo o polinômio de Taylor de grau n .

Assim, podemos aproximar qualquer função por um polinômio! Naturalmente, associado a esse polinômio teremos um erro relativo ao truncamento que fizemos. Então, o polinômio de Taylor de grau n vai ficar assim:

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + + f n x 0 n ! x - x 0 n = k = 0 n f k x 0 k ! x - x 0 k  

E o erro de truncamento vai ser dado por:

E x = f n + 1 ξ x n + 1 ! x - x 0 n + 1

onde ξ x é um valor que depende de x e se encontra no intervalo entre x e x 0 . Dificilmente nós iremos calcular esse número, o importante aqui é saber que ele se encontra entre x e x 0 .

De forma geral o que fazemos é encontrar o máximo de f n + 1 ξ x nesse intervalo chegando assim a um limitante do erro cometido:

E x max k x 0 , x f n + 1 k n + 1 ! x - x 0 n + 1

Obs.: Para obtermos um polinômio de Taylor de grau n de alguma função f x essa função deve ter derivadas até a ordem n contínuas.

Exemplo

Como exemplo vamos calcular o polinômio de Taylor de graus 1 , 2 , 3 e 4 de f x = e - 2 x com x 0 = 0 .

Como e - 2 x tem todas as derivadas contínuas não precisamos nos preocupar com isso. Temos que:

f x = e - 2 x

f ' x = - 2 e - 2 x

f ' ' x = 4 e - 2 x

f 3 x = - 8 e - 2 x

f 4 x = 16 e - 2 x

Logo,

f 0 = 1

f ' 0 = - 2

f ' ' 0 = 4

f 3 0 = - 8

f 4 0 = 16

n = 1 :

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 = 1 - 2 x

n = 2 :

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 = 1 - 2 x + 2 x 2

n = 3 :

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ( 3 ) 0 6 x - 0 3 = 1 - 2 x + 2 x 2 - 4 3 x 3

n = 4 :

f x = f 0 + f ' 0 x - 0 + f ' ' 0 2 x - 0 2 + f ( 3 ) 0 6 x - 0 3 + f ( 4 ) 0 24 x - 0 4 = 1 - 2 x + 2 x 2 - 4 3 x 3 + 2 3 x 4

Tudo beleza? Olha essa imagem pra ver como a medida que aumentamos o n nossa aproximação vai melhorando:

Podemos perceber também que todas elas possuem o valor exato em 0 já que nosso polinômio de Taylor foi construído em torno de x 0 = 0 .

A medida que vão se afastando de 0 o erro vai aumentando, sendo que quanto maior o n melhor são as aproximações em torno de x 0 = 0 .

Para valores distantes de x 0 = 0 os maiores n não serão necessariamente melhores!

E é só isso que eu tinha pra falar mesmo galera! Vamos fazer uns exercícios que no próximo tópico veremos uma aplicação desse polinômio de Taylor.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Lista 0 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 1

Encontre a série de Taylor em torno de x 0 = 0 para as funções:

a f x = sin x

b f x = cos x

c f x = 1 1 - x

d f x = e x

e f x = ln 1 + x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Lembrando que a série de Taylor é definida por:

f x = n = 0 f n a n ! x - a n

Em torno de x 0 = 0 temos:

f x = n = 0 f n 0 n ! x n

O que temos que fazer agora é tentar achar um padrão no valor das derivadas de cada f x . Vai ficar mais claro quando vocês verem sendo feito haha.

Passo 2

a f x = sin x

Vamos começar escrevendo o valor de algumas derivadas de f x :

Por essa tabela conseguimos pegar o seguinte padrão, só os termos de n ímpar vão aparecer na série pois os de n par são sempre zero. E os componentes de termo ímpar vão trocando de sinal!

Podemos substituir todos os n na fórmula por 2 n + 1 para pegarmos apenas os n ímpares. E usando o termo - 1 n para cuidar da troca de sinal ficamos com:

sin x = n = 0 - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1

Passo 3

b f x = cos x

Essa provavelmente vai ficar bem parecida com a do seno né? Fazendo a mesma tabelinha:

O padrão é praticamente o mesmo, mas dessa vez temos apenas os n pares! Então vamos trocar n por 2 n pra pegar só os pares e manter o termo - 1 n pra troca de sinais.

cos x = n = 0 - 1 n 2 n ! x 2 n

Passo 4

c f x = 1 1 - x

Montamos a tabelinha de novo:

E aí, essa tabela ta te lembrando alguma coisa? Pra mim ela ta igualzinha ao fatorial de n né? Então nossa série vai ficar:

1 1 - x = n = 0 n ! n ! x n = n = 0 x n

Passo 5

d f x = e x

Precisa nem de tabela pra dizer o que vai acontecer aqui né? Independente do n , f n 0 vai valer sempre e 0 = 1 . Logo, a série de Taylor vai ficar:

e x = n = 0 x n n !

Passo 6

e f x = ln 1 + x

Esse não ta tão óbvio quanto o último né? Vamos para a nossa tabelinha de novo:

Vamos passo a passo. Repara como os termos estão trocando de sinal sempre que mudamos o n ! E que para n ímpar o sinal é positivo. Logo, teremos um termo - 1 n - 1 na nossa série de Taylor.

Outra coisa importante é que temos de novo aquela cara de fatorial! Só que agora para n = 4 apareceu o fatorial de 3 . Então tem que ter um n - 1 ! na jogada.

Dessa forma, nossa expressão genérica para f n 0 deve ser - 1 n - 1 n - 1 !

Essa fórmula só não bate com o resultado de n = 0 , mas como para esse n temos f 0 0 = 0 nem precisamos contar ele! Nossa série de Taylor ficaria então:

ln 1 + x = n = 1 - 1 n - 1 n - 1 ! n ! x n

Repare que começamos em n = 1 ao invés de 0 justamente para eliminar aquela primeira linha da tabela. Outro detalhe importante é que podemos decompor n ! em n n - 1 !

Assim ficamos com:

ln 1 + x = n = 1 - 1 n - 1 n x n

É comum iniciarmos a série com n = 0 , para isso basta trocarmos os n por n + 1 :

ln 1 + x = n = 0 - 1 n n + 1 x n + 1

Ufa, esse é o valor final da nossa série de Taylor!

Resposta

a   sin x = n = 0 - 1 n 2 n + 1 ! x 2 n + 1

b   cos x = n = 0 - 1 n 2 n ! x 2 n

c   1 1 - x = n = 0 x n

d   e x = n = 0 x n n !

e   ln 1 + x = n = 0 - 1 n n + 1 x n + 1

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Lista 0 – Professora Juliana – UFRJ – Questão 15

Encontre a série de taylor de f x = e 2 x 3 em x 0 = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Tem duas maneiras de resolvermos essa.

A primeira é na marra encontrando um padrão na derivada de ordem n . O problema é que nesse caso esse padrão pode ser meio complicado de se achar haha.

A segunda forma requer um pulo do gato meio sacana. No último exercício nós vimos que a série de e x é a seguinte: e x = n = 0 x n n !

E o que aconteceria se a gente substituísse x por 2 x 3 ? Ficaria assim né:

e 2 x 3 = n = 0 2 x 3 n n ! = n = 0 2 n x 3 n n !

E é essa aí a resposta! Não esperava por essa né? Pois é, muitas funções complicadas podem ter sua série deduzida usando como base funções mais simples com séries conhecidas!

Resposta

e 2 x 3 = n = 0 2 n x 3 n n !

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Lista 0 – Professor Daniel – UFRJ – Questão 1

a Obtenha as aproximações linear e quadrática para f x = cos x , em torno de x = π 4 usando a fórmula de Taylor.

b Em um mesmo gráfico, esboce a curva y = cos x e as aproximações linear e quadrática obtidas em a . Através do gráfico analise o comportamento das aproximações constando que representam f x apenas localmente. Qual das duas curvas você escolheria para aproximar f x em torno de x = π 4 .

Obs.: Os gráficos podem ser esboçados a mão ou traçados usando software ou ainda na calculadora.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Nessa letra ele quer simplesmente os polinômios de Taylor de graus 1 e 2 . Temos:

n = 1 , x 0 = π 4 :

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0

cos x cos π 4 - sin π 4 x - π 4 = 1 2 + π 4 2 - x 2 = 1 2 π 4 + 1 - x

n = 2 , x 0 = π 4 :

f x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2

cos x cos π 4 - sin π 4 x - π 4 - cos π 4 2 x - π 4 2 = 2 64 - 16 x 2 + 8 π - 32 x - π 2 + 8 π + 32

Passo 2

O próximo passo é esboçar o gráfico disso. Fica assim oh:

Como era de se esperar todas as aproximações têm o valor exato em π 4 . A curva azul é o polinômio de Taylor de grau 1 e a curva vermelha é o polinômio de Taylor de grau 2 .

Outra conclusão que chegamos por meio desse gráfico é que em torno de π 4 , o polinômio de Taylor de grau 2 é uma aproximação melhor que o de grau 1 .

Resposta

a n = 1 : cos x 1 2 π 4 + 1 - x

n = 2 :

cos x 2 64 - 16 x 2 + 8 π - 32 x - π 2 + 8 π + 32

b

Todas as aproximações têm o valor exato em π 4 . Em torno de π 4 , o polinômio de Taylor de grau 2 é uma aproximação melhor que o de grau 1 .

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 15, exercício 7

Seja f x = x 3 .

a Encontre o polinômio de Taylor de grau 2 P 2 x em torno de x 0 = 0 .

b Encontre um limitante para o erro e o erro exato de P 2 0.5 .

c Repita o item a usando x 0 = 1 .

d Repita o item b usando o polinômio do item c .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a Temos:

f x = x 3

f ' x = 3 x 2

f ' ' x = 6 x

f 3 x = 6

Encontrando o polinômio com n = 2 , x 0 = 0 :

P 2 x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2

P 2 x = 0 + 0 + 0 = 0

Que resultado bunda haha. Nosso polinômio é 0 .

Passo 2

b Um limitante para o erro é:

E x max k x 0 , x f n + 1 k n + 1 ! x - x 0 n + 1

Nesse caso,

E 0.5 max k 0,0.5 f 3 k 3 ! 0.5 - 0 3

E 0.5 6 6 0.5 3 = 0.125

E o erro exato foi de:

E A 0.5 = f 0.5 - P 2 0.5 = 0.125 - 0 = 0.125

Ou seja, o erro coincidiu com nosso limitante do erro.

Passo 3

c Agora queremos o polinômio para o caso onde n = 2 , x 0 = 1 :

P 2 x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2

P 2 x = 1 + 3 x - 1 + 6 2 x - 1 2

P 2 x = 3 x 2 - 3 x + 1

Passo 4

d O limitante para o erro é dado por:

E x max k x 0 , x f n + 1 k n + 1 ! x - x 0 n + 1

Nesse caso,

E 0.5 max k 0.5,1 f 3 k 3 ! 0.5 - 1 3

E 0.5 6 6 - 0.5 3 = - 0.125

Como só nos interessamos pelo módulo:

E 0.5 0.125

E o erro exato foi de:

E A 0.5 = f 0.5 - P 2 0.5 = 0.125 - 0.25 = 0.125

Acabou dando o mesmo erro haha. De novo coincidindo com o limitante.

Resposta

a P 2 x = 0

E 0.5 0.125

E A 0.5 = 0.125

b

P 2 x = 3 x 2 - 3 x + 1

E 0.5 0.125

E A 0.5 = 0.125

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Richard L. Burden e J. Douglas Faires, Numerical Analysis, 9ª ed. Brooks/Cole, Cengage Learning, pag 16, exercício 15

Use um polinômio de Taylor em torno de π 4 para aproximar cos 42 ° com uma acurácia de 10 - 6 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Se liga numa coisa. Aqui o cara não deu o grau do polinômio de Taylor pra gente! Por que será?

Porque ele quer que a gente descubra, é claro! E como ele definiu o erro máximo, vamos usar nossa fórmula

E x max k x 0 , x f n + 1 k n + 1 ! x - x 0 n + 1

Nesse caso,

x = 42 ° = 0.733 r a d

x 0 = π 4

Logo,

max k 0.733 , π 4 f n + 1 k n + 1 ! 0.733 - π 4 n + 1 10 - 6

Agora vem a parte mais chata. Sabemos que nossa f n + 1 k pode ser um seno ou um cosseno dependendo de n + 1 ser par ou ímpar.

Se n for par, então f n + 1 k será um seno e a derivada terá como módulo do valor máximo:

sin π 4 = 2 2 = 0.707107

Se n for ímpar, então f n + 1 k será um cosseno e a derivada terá como módulo do valor máximo:

cos 0.733 = 0.743145

A solução mais rápida seria simplesmente considerar o máximo geral como o máximo desses dois valores. No caso, 0.743145 . Substituindo:

0.743145 n + 1 ! - 0.052398 n + 1 10 - 6

Resolver isso aí ta fora de questão né? Vamos jogar uns valores de n e ver no que dá:

n = 1 :

E 42 ° 1020.171 × 10 - 6

n = 2 :

E 42 ° 17.818 × 10 - 6

n = 3 :

E 42 ° 0.233 × 10 - 6

Opa, achamos um limitante inferior à 10 - 6 . Logo, queremos o polinômio de Taylor de grau 3 !

Passo 2

Calculando as derivadas de f x :

f x = cos x

f ' x = - sin x

f ' ' x = - cos x

f 3 x = sin x

Substituindo x 0 = π 4 na fórmula:

f x f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + f 3 x 0 3 ! x - x 0 3

cos x cos π 4 - sin π 4 x - π 4 - cos π 4 2 x - π 4 2 + sin π 4 6 x - π 4 3

Substituindo x = 0.733 na fórmula:

cos 0.733 0.7431446

Se compararmos com o valor real de cos 42 ° teremos um erro de:

0.7431446 - 0 . 743144825 = 0.225 × 10 - 6

Resposta

cos 0.733 0.7431446

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