Teorema de Rolle e Valor Médio
Teoria
Vamos primeiro falar o que é o teorema de Rolle e depois expandir a ideia para o teorema do valor médio, que é um primo de maior sucesso.
Pense comigo em um intervalo qualquer e uma função , tal que:
Agora olhe a bela imagem abaixo:
Pode ser que você precise olhar para ela como um cachorro faminto olha para um pedaço de frango, mas dá para ver que, em algum ponto do intervalo, a derivada da função em laranja é horizontal, ou seja, a derivada nesse ponto é zero. Chamando esse ponto de , então :
Isso acontece, porque se a função começa a crescer a partir de , ela deverá, necessariamente, decrescer depois para que seja igual à . Caso isso não ocorra, a função continuaria crescendo e, consequentemente, teríamos , que não é o que a gente quer. A mesma ideia vale para quando a função começa a decrescer a partir de .
A necessidade da derivada ser zero em algum ponto está na ideia que, no ponto em que a função deixa de crescer e passa a decrescer, ou vice-versa, a derivada é zero ou horizontal. Com isso, a gente já pode concluir que:
Se , então existe um número dentro do intervalo [], tal que:
Como o mundo não é habitado por unicórnios felizes, tem uma maneira de quebrar tudo que a gente afirmou aqui: se a função der um salto:
Aí a função não precisa ter derivada zero em algum instante. Mas se isso acontece, a função é descontínua. Então a gente define uma condição para o teorema:
A função precisa ser contínua no intervalo fechado .
Ham, intervalo fechado? Sim, isso quer dizer que a função tem que ser contínua em todos os pontos, inclusive em e .
Outra maneira de quebrar tudo é quando a função não é derivável, ou seja, a derivada não existe e a função tem algum bico:
Então lá vem mais uma condição para o teorema:
A função precisa ser derivável no intervalo aberto ().
Ou seja, a derivada tem que existir. Agora, como o intervalo é aberto, não tem problema a função não ser derivável nos pontos e , desde que seja para os pontos entre eles.
Show? Então agora a gente pode definir o Teorema de Rolle:
Agora relaxe um pouco, beba uma água e dê uma olhada no WhatsApp para ver se aquela pessoa lá falou com você (provavelmente não) e volte, porque agora é hora de falar do Teorema do Valor Médio, ou TVM para os íntimos.
O Teorema do Valor Médio segue as mesmas condições do Teorema de Rolle, só que agora cobre valores:
O que acontece nesses valores pode ser deduzido simplesmente inclinado o gráfico que a gente tinha para o Teorema de Rolle:
que era horizontal, passa a ter o valor da tangente do ângulo de inclinação abaixo:
Assim:
Quando :
Que é o teorema de Rolle. Dessa maneira, O TVM (já que você está ficando íntimo) cobre todas as relações entre e :
Ok, mas essa fórmula do TVM aí me parece sem sentido. Ela tem algum significado? Sim, gafanhoto. Repare que, se, ao invés de , colocássemos uma função-posição :
a velocidade média no intervalo seria:
Que é a fórmula do TVM para a função . Dessa maneira, o que o teorema nos diz é que existe tal que:
Ou seja, a velocidade instantânea (derivada, valor que aparece no velocímetro do carro), em algum instante, é igual à velocidade média no intervalo.
Então, para uma função geral , o TVM nos diz que a variação instantânea da função deve ser igual a variação média em algum ponto do intervalo.
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 284-9.
A função:
é zero quando e e derivável em, mas sua derivada em nunca é zero. Explique por quê. O teorema de Rolle não diz que a derivada deveria ser zero em algum lugar em ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Pelo teorema de Rolle temos que:
Repara que para a gente poder aplicar o Teorema de Rolle, antes temos que ver se essas duas condições são satisfeitas:
- A função é contínua para todo o intervalo fechado .
- A função é derivável para todo o intervalo aberto .
Passo 2
Vamos começar avaliando se a função é contícua no intervalo fechado .
Repara que a nossa função muda de cara quando chegamos na fronteira . Deste modo, vamos testar a contínuidade na fronteira.
Lembra do capítulo de continuidade? Então, a função será contínua no ponto se os limites laterias forem iguais a função no ponto:
A função no ponto a gente já sabe,
Agora vamos avaliar o limite pela esquerda (ou seja, para valores menores que 1)
Opa! Repara o limite lateral não é igual a função no ponto. Em outras palavras,
Ou seja, essa função não é contínua, logo o teorema não é aplicável.
Resposta
A função não satifaz as hipóteses do teorema de Rolle, pois ela não é contínua.
Exercício Resolvido #2
George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 284-6 - MODIFICADO.
A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.
Passo 1
Legal, temos, à esquerda da vírgula, a função a analisar e, à direita, o intervalo.
Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio temos que garantir que:
- A função seja contínua para todo o intervalo fechado .
- A função seja derivável para todo o intervalo aberto .
Passo 2
A função é uma função potência, que é contínua para todo . Assim, garantimos a primeira condição.
Passo 3
A derivada dessa função, segue a regra da derivação de funções potência, onde:
Essa derivada não vai existir para , pois teremos uma divisão por zero. Isso não é problema, pois precisamos somente que a função seja derivável para intervalo aberto , ou seja, ela não precisa ser derivável nas fronteiras do intervalo, em . e .
Dessa maneira, a função satifaz as hipóteses do TVM.
Resposta
A função satifaz as hipóteses do TVM. Justificativa no desenvolvimento.
Exercício Resolvido #3
George B.Thomas, Cálculo Volume 1, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp. 284-8 - MODIFICADO.
A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.
Passo 1
Agora o intervalo a analisar é o intervalo definido da função, ou seja, .
Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio temos que garantir que:
- A função seja contínua para todo o intervalo fechado .
- A função seja derivável para todo o intervalo aberto .
Passo 2
A função está definida para . Pois não acontece nenhuma divisão por zero, raiz ou log negativos nesse ponto.
O problema vem em , onde teremos que testar a contínuidade da função. Lembra do capítulo de continuidade? Então. A função será contínua nesse ponto se:
Sabendo que, por limite fundamental:
E:
Como o limite lateral é diferente do valor da função no ponto ela é descontinua.
Com isso, a gente concluí que, infelizmente, a função não cumpre os requisitos do TVM.
“Eu teria escapado se não fossem essas crianças.” –
Resposta
A função não satifaz as hipóteses do TVM. Justificativa no desenvolvimento.
Exercícios de Livros Relacionados
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais
Ver Mais