Teorema De Rolle e Teorema Do Valor Médio

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Teoria

Fala aí! Hoje vamos aprender sobre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio. Nessa ordem, porque o segundo pode ser visto como uma aplicação do primeiro, beleza?

Vem comigo!

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O que é o Teorema de Rolle?

O Teorema de Rolle fornece uma condição suficiente para que exista pelo menos um ponto crítico em um intervalo . Vamos ver por quê?

Esse teorema nos diz o seguinte:

Seja uma função contínua no intervalo fechado , não constante e diferenciável no intervalo aberto . Se , então existe um ponto crítico tal que .

Muito confuso esse tanto de palavra complicada que apareceu aí? Deixa eu desenhar pra ficar mais claro.

Imagine que seja uma função com esse gráfico aqui:

Gráfico de uma função com
Gráfico de uma função com

Ela é contínua e não constante, concorda? Além disso, repara como os pontos com e têm o mesmo correspondente no eixo .

Para que isso ocorra, se em algum momento entre e o gráfico subiu, ele vai ter que descer, ou vice-versa!

Basicamente, é isso aí que o Teorema de Rolle tá falando, só que em termos mais matemáticos 😅

Demonstração do Teorema de Rolle

Pensa aqui comigo: se é diferenciável em , quer dizer que existe a derivada dessa função nesse intervalo. Até aí tranquilo?

Tá, agora, se é contínua em , existe pelo menos um ponto de máximo e um de mínimo nesse intervalo.

Suponha o ponto de máximo ou de mínimo. Como ele está dentro do intervalo em que é diferenciável e é um ponto crítico, conclui-se que , porque a derivada igual a zero fornece o ponto crítico da função. Se existe um ponto de máximo ou mínimo, necessariamente existe um ponto crítico da função. 🙂

Demonstração do Teorema de Rolle.
Demonstração do Teorema de Rolle.

Teorema do Valor Médio

Lembra que falei que esse aqui é bem parecido com o anterior?

O Teorema do Valor Médio segue as mesmas condições do Teorema de Rolle, a diferença é que agora não tem mais a restrição de que e tem que ser iguais. Esse teorema aqui vai dizer o seguinte:

Seja uma função contínua no intervalo fechado , não constante e diferenciável no intervalo aberto . Existe um número , tal que:

Nossa, mas que que isso aí tem a ver com o outro teorema lá?

Te mostro agora! Olha só, vamos pegar aquele gráfico lá de cima e incliná-lo um pouquinho, assim:

Semelhança entre Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio.
Semelhança entre Teorema de Rolle e Teorema do Valor Médio.

, que era horizontal, passa a ter o valor da tangente daquele ângulo de inclinação que surgiu ali.

Demonstração do Teorema do Valor Médio.
Demonstração do Teorema do Valor Médio.

Então, a gente pode escrever o seguinte:

Essa fórmula aí pode ser interpretada fisicamente da seguinte forma: o lado direito da equação é a variação média de em e é a variação instantânea. O Teorema do Valor Médio diz que em algum ponto interior a , a variação instantânea deve ser igual à variação média de .

Ah, olha só que interessante! Se :

Que é o próprio Teorema de Rolle!

Bora finalizar com um exemplo?

Exemplo: Mostre que tem um ponto crítico no intervalo usando o Teorema de Rolle.

Beleza, pra começar, vamos ver se podemos usar o Teorema aqui, né?

Primeiro, essa função é contínua?

Sim! Como ela é uma função polinomial, é contínua para qualquer valor de .

Segundo, ela é derivável no intervalo?

Sim! Novamente, toda função polinomial é derivável.

Ok, então vamos verificar se , com .

Condição satisfeita!

Quer dizer que existe um valor tal que , e esse aí vai ser o ponto crítico pedido.

Quem é ?

Só derivar aquela funçãozinha clássica dada pelo enunciado.

Aí é só substituir nessa função e igualar a zero!

Dá só uma olhada no gráfico dessa função:

Gráfico de
Gráfico de

O ponto crítico no intervalo é exatamente o que calculamos!

Teorema do Valor Médio

Exemplo: Mostre que tem um ponto crítico no intervalo usando o Teorema de Rolle.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A função:

f x =   x ,     0 ≤ x < 1 0 ,                   x = 1 é zero quando x = 0 e x = 1 e derivável em   ( 0,1 ) , mas sua derivada em ( 0,1 ) nunca é zero. Explique por quê. O teorema de Rolle não diz que a derivada deveria ser zero em algum lugar em ( 0,1 ) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Pelo teorema de Rolle temos que:

Repara que para a gente poder aplicar o Teorema de Rolle, antes temos que ver se essas duas condições são satisfeitas:

  • A função é contínua para todo o intervalo fechado [ 0,1 ] .
  • A função é derivável para todo o intervalo aberto ( 0,1 ) .

Passo 2

Vamos começar avaliando se a função é contícua no intervalo fechado [ 0,1 ] .

Repara que a nossa função muda de cara quando chegamos na fronteira x = 1 . Deste modo, vamos testar a contínuidade na fronteira.

Lembra do capítulo de continuidade? Então, a função será contínua no ponto x = 1 se os limites laterias forem iguais a função no ponto:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

A função no ponto a gente já sabe,

f 1 = 0

Agora vamos avaliar o limite pela esquerda (ou seja, para valores menores que 1)

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x = 1

Opa! Repara o limite lateral não é igual a função no ponto. Em outras palavras,

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) ≠ f 1

Ou seja, essa função não é contínua, logo o teorema não é aplicável.

Resposta

A função não satifaz as hipóteses do teorema de Rolle, pois ela não é contínua.

Exercício Resolvido #2

A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.

f x = x 4 / 5 ,     [ 0,1 ]

Passo 1

Legal, temos, à esquerda da vírgula, a função a analisar e, à direita, o intervalo.

Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio temos que garantir que:

  • A função seja contínua para todo o intervalo fechado [ 0,1 ] .
  • A função seja derivável para todo o intervalo aberto ( 0,1 ) .

Passo 2

A função f x = x 4 / 5 é uma função potência, que é contínua para todo R . Assim, garantimos a primeira condição.

Passo 3

A derivada dessa função, segue a regra da derivação de funções potência, onde:

f ' x = 4 5 x 4 / 5 - 1 = 4 5 x - 1 / 5   = 4 5 x 1 / 5

Essa derivada não vai existir para x = 0 , pois teremos uma divisão por zero. Isso não é problema, pois precisamos somente que a função seja derivável para intervalo aberto ( 0,1 ) , ou seja, ela não precisa ser derivável nas fronteiras do intervalo, em x = 0 . e x = 1 .

Dessa maneira, a função satifaz as hipóteses do TVM.

Resposta

A função satifaz as hipóteses do TVM. Justificativa no desenvolvimento.

Exercício Resolvido #3

A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.

f x = sen ⁡ x x , - π ≤ x < 0 0 , x = 0

Passo 1

Agora o intervalo a analisar é o intervalo definido da função, ou seja, [ - π , 0 ] .

Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio temos que garantir que:

  • A função seja contínua para todo o intervalo fechado [ - π , 0 ] .
  • A função seja derivável para todo o intervalo aberto ( - π , 0 ) .

Passo 2

A função sen ⁡ x / x está definida para x = - π . Pois não acontece nenhuma divisão por zero, raiz ou log negativos nesse ponto.

O problema vem em x = 0 , onde teremos que testar a contínuidade da função. Lembra do capítulo de continuidade? Então. A função será contínua nesse ponto se:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Sabendo que, por limite fundamental:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = l i m x → 0 - sen ⁡ x x = 1

E:

f 0 = 0

Como o limite lateral é diferente do valor da função no ponto ela é descontinua.

Com isso, a gente concluí que, infelizmente, a função não cumpre os requisitos do TVM.

“Eu teria escapado se não fossem essas crianças.” – d e   x ,   f u n ç ã o

Resposta

A função não satifaz as hipóteses do TVM. Justificativa no desenvolvimento.

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