Teorema de Rolle e Valor Médio

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Teoria

Vamos primeiro falar o que é o teorema de Rolle e depois expandir a ideia para o teorema do valor médio, que é um primo de maior sucesso.

Pense comigo em um intervalo qualquer [ a , b ] e uma função f , tal que:

f a = f ( b )

Agora olhe a bela imagem abaixo:

Pode ser que você precise olhar para ela como um cachorro faminto olha para um pedaço de frango, mas dá para ver que, em algum ponto do intervalo, a derivada da função em laranja é horizontal, ou seja, a derivada nesse ponto é zero. Chamando esse ponto de c , então f ’ ( c ) = 0 :

Isso acontece, porque se a função começa a crescer a partir de x = a , ela deverá, necessariamente, decrescer depois para que f a seja igual à f b . Caso isso não ocorra, a função continuaria crescendo e, consequentemente, teríamos f b > f ( a ) , que não é o que a gente quer. A mesma ideia vale para quando a função começa a decrescer a partir de x = a .

A necessidade da derivada ser zero em algum ponto está na ideia que, no ponto em que a função deixa de crescer e passa a decrescer, ou vice-versa, a derivada é zero ou horizontal. Com isso, a gente já pode concluir que:

Se f ( a ) = f ( b ) , então existe um número c dentro do intervalo [ a , b ], tal que:

f ' c = 0

Como o mundo não é habitado por unicórnios felizes, tem uma maneira de quebrar tudo que a gente afirmou aqui: se a função der um salto:

Aí a função não precisa ter derivada zero em algum instante. Mas se isso acontece, a função é descontínua. Então a gente define uma condição para o teorema:

A função f precisa ser contínua no intervalo fechado [ a , b ] .

Ham, intervalo fechado? Sim, isso quer dizer que a função tem que ser contínua em todos os pontos, inclusive em x = a e x = b .

Outra maneira de quebrar tudo é quando a função não é derivável, ou seja, a derivada não existe e a função tem algum bico:

Então lá vem mais uma condição para o teorema:

A função f precisa ser derivável no intervalo aberto ( a , b ).

Ou seja, a derivada tem que existir. Agora, como o intervalo é aberto, não tem problema a função não ser derivável nos pontos x = a e x = b , desde que seja para os pontos entre eles.

Show? Então agora a gente pode definir o Teorema de Rolle:

Agora relaxe um pouco, beba uma água e dê uma olhada no WhatsApp para ver se aquela pessoa lá falou com você (provavelmente não) e volte, porque agora é hora de falar do Teorema do Valor Médio, ou TVM para os íntimos.

O Teorema do Valor Médio segue as mesmas condições do Teorema de Rolle, só que agora cobre valores:

f a ≠ f ( b )

O que acontece nesses valores pode ser deduzido simplesmente inclinado o gráfico que a gente tinha para o Teorema de Rolle:

f ' ( c ) que era horizontal, passa a ter o valor da tangente do ângulo de inclinação abaixo:

Assim:

f ' c = tan ⁡ θ   = f b - f a b - a

Quando f ( a ) = f ( b ) :

f ' c = f b - f a b - a = 0 b - a = 0

Que é o teorema de Rolle. Dessa maneira, O TVM (já que você está ficando íntimo) cobre todas as relações entre f ( a ) e f ( b ) :

f a > f b ; f a = f b ; f b > f ( a )

Ok, mas essa fórmula do TVM aí me parece sem sentido. Ela tem algum significado? Sim, gafanhoto. Repare que, se, ao invés de f , colocássemos uma função-posição ( s ) :

Δ s = s b - s a ; Δ t = b - a

a velocidade média no intervalo seria:

v m é d = Δ s Δ t = s b - s a b - a

Que é a fórmula do TVM para a função s . Dessa maneira, o que o teorema nos diz é que existe c tal que:

s ' c = v m e d

Ou seja, a velocidade instantânea (derivada, valor que aparece no velocímetro do carro), em algum instante, é igual à velocidade média no intervalo.

Então, para uma função geral f , o TVM nos diz que a variação instantânea da função deve ser igual a variação média em algum ponto do intervalo.

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

A função:

f x =   x ,     0 ≤ x < 1 0 ,                   x = 1 é zero quando x = 0 e x = 1 e derivável em   ( 0,1 ) , mas sua derivada em ( 0,1 ) nunca é zero. Explique por quê. O teorema de Rolle não diz que a derivada deveria ser zero em algum lugar em ( 0,1 ) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Pelo teorema de Rolle temos que:

Repara que para a gente poder aplicar o Teorema de Rolle, antes temos que ver se essas duas condições são satisfeitas:

  • A função é contínua para todo o intervalo fechado [ 0,1 ] .
  • A função é derivável para todo o intervalo aberto ( 0,1 ) .

Passo 2

Vamos começar avaliando se a função é contícua no intervalo fechado [ 0,1 ] .

Repara que a nossa função muda de cara quando chegamos na fronteira x = 1 . Deste modo, vamos testar a contínuidade na fronteira.

Lembra do capítulo de continuidade? Então, a função será contínua no ponto x = 1 se os limites laterias forem iguais a função no ponto:

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 + ⁡ f ( x ) = f ( 1 )

A função no ponto a gente já sabe,

f 1 = 0

Agora vamos avaliar o limite pela esquerda (ou seja, para valores menores que 1)

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) = lim x → 1 - ⁡ x = 1

Opa! Repara o limite lateral não é igual a função no ponto. Em outras palavras,

lim x → 1 - ⁡ f ( x ) ≠ f 1

Ou seja, essa função não é contínua, logo o teorema não é aplicável.

Resposta

A função não satifaz as hipóteses do teorema de Rolle, pois ela não é contínua.

Exercício Resolvido #2

A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.

f x = x 4 / 5 ,     [ 0,1 ]

Passo 1

Legal, temos, à esquerda da vírgula, a função a analisar e, à direita, o intervalo.

Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio temos que garantir que:

  • A função seja contínua para todo o intervalo fechado [ 0,1 ] .
  • A função seja derivável para todo o intervalo aberto ( 0,1 ) .

Passo 2

A função f x = x 4 / 5 é uma função potência, que é contínua para todo R . Assim, garantimos a primeira condição.

Passo 3

A derivada dessa função, segue a regra da derivação de funções potência, onde:

f ' x = 4 5 x 4 / 5 - 1 = 4 5 x - 1 / 5   = 4 5 x 1 / 5

Essa derivada não vai existir para x = 0 , pois teremos uma divisão por zero. Isso não é problema, pois precisamos somente que a função seja derivável para intervalo aberto ( 0,1 ) , ou seja, ela não precisa ser derivável nas fronteiras do intervalo, em x = 0 . e x = 1 .

Dessa maneira, a função satifaz as hipóteses do TVM.

Resposta

A função satifaz as hipóteses do TVM. Justificativa no desenvolvimento.

Exercício Resolvido #3

A função abaixo satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio no intervalo dado? Justifique sua resposta.

f x = sen ⁡ x x , - π ≤ x < 0 0 , x = 0

Passo 1

Agora o intervalo a analisar é o intervalo definido da função, ou seja, [ - π , 0 ] .

Para ver se a função satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio temos que garantir que:

  • A função seja contínua para todo o intervalo fechado [ - π , 0 ] .
  • A função seja derivável para todo o intervalo aberto ( - π , 0 ) .

Passo 2

A função sen ⁡ x / x está definida para x = - π . Pois não acontece nenhuma divisão por zero, raiz ou log negativos nesse ponto.

O problema vem em x = 0 , onde teremos que testar a contínuidade da função. Lembra do capítulo de continuidade? Então. A função será contínua nesse ponto se:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = lim x → 0 + ⁡ f ( x ) = f ( 0 )

Sabendo que, por limite fundamental:

lim x → 0 - ⁡ f ( x ) = l i m x → 0 - sen ⁡ x x = 1

E:

f 0 = 0

Como o limite lateral é diferente do valor da função no ponto ela é descontinua.

Com isso, a gente concluí que, infelizmente, a função não cumpre os requisitos do TVM.

“Eu teria escapado se não fossem essas crianças.” – d e   x ,   f u n ç ã o

Resposta

A função não satifaz as hipóteses do TVM. Justificativa no desenvolvimento.

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