Equação da Elipse

Resumo

A equação da elipse, contém muitas variáveis e vai mudar de acordo com a orientação do maior eixo da elipse.

Caso o maior eixo for paralelo ao eixo x :

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Caso o maior eixo for paralelo ao eixo y :

y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1

Em ambos os casos:

  • a é a medida da metade doo eixo maior
  • b é a medida da metade do eixo menor
  • x e y são variáveis da equação

É importante saber que na elipse também existem relações entre o tamanho dos eixos, e a distância do centro até o foco. Se chamamos essa distância de c , podemos escrever a relação:

a 2 = b 2 + c 2

Para que serve?

Podemos utilizar a equação da elipse para resolver problemas de geometria, e para desenhar gráficos. Vamos fazer um exercício para deixar tudo bem claro!

Descubra a equação da seguinte elipse:

Com essa figura da elipse sobre os eixos cartesianos, podemos retirar algumas informações para descobrir a equação da elipse.

Primeiro podemos perceber que essa é uma elipse que tem o eixo maior sobre o eixo x , logo vai possuir uma equação com a cara:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Então precisamos agora descobrir o valor de a e b . Para descobrir o valor de a que é metade do eixo maior, podemos visualizar na figura que o eixo maior tem um comprimento de 10 unidades de medida, por que vai de x 1 = - 5 até x 2 = 5 . Logo nosso a vale 10 2 , então a = 5

Usando o mesmo raciocínio para o eixo menor encontramos que b = 8 2 , logo b = 4 .

E nossa equação da elipse fica:

x 2 5 2 + y 2 4 2 = 1

Que pode ser reescrita como:

x 2 25 + y 2 16 = 1

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