Cônicas

Resumo Completo

Introdução

Fala, galera! Esse é um assunto que muita gente já viu no ensino médio. Se você nunca estudou isso ou não se lembra de mais nada fique tranquilo. Vamos ver aqui tudo que você precisa saber pra ir bem na sua prova. Vamos dar uma relembrada rápida aqui.

Circunferência:

Vamos relembrar sua equação:

x 2 + y 2 = 4 2

Essa é a equação da circunferência com centro em ( 0,0 ) e raio igual a 4 .

De maneira geral, a equação da circunferência de centro em ( x 0 , y 0 ) e raio r é:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Vamos ver dois exemplos:

Exemplo 1:

Encontre o centro e o raio da circunferência a seguir:

x - 1 2 + y - 2 2 = 4

Comparando com a equação geral da circunferência :

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Percebemos que x 0 = 1 , y 0 = 2 e r = 2

Exemplo 2:

Encontre o centro e o raio da circunferência a seguir:

x 2 - 4 x + y 2 - 2 y - 4 = 0

Opa!!! Esse é diferente. Não ta nem parecido com a equação geral da circunferência. Então vamos colocá-la na forma:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Para isso, vamos completar os quadrados. Vamos começar ajustando os termos dependentes de x .

Temos:

x 2 - 4 x

Ele nos faz lembrar x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4 . Mas não tem esse " + 4 " . Podemos fazer o seguinte:

x 2 - 4 x = x 2 - 4 x + 4 - 4 = x - 2 2 - 4

Sacou? Eu somei 4   e subtraí 4 para que aparecesse o quadrado perfeito.

Observação: Perceba que x 2 - a x = x - a 2 2 - a 2 4 , no caso acima: x 2 - 4 x = x - 2 2 - 4

Vamos fazer o mesmo raciocínio para os termos dependentes de y :

y 2 - 2 y

Ajeitando temos:

y 2 - 2 y = y - 1 2 - 1

Voltando a equação da circunferência:

x 2 - 4 x + y 2 - 2 y - 4 = 0

Substituindo:

x - 2 2 - 4 + y - 1 2 - 1 - 4 = 0

Então temos:

x - 2 2 + y - 1 2 = 9

Portanto, a circunferência tem centro em ( 2,1 ) e raio r = 3

Elipse:

Vamos relembrar sua equação:

x 2 2 2 + y 2 3 2 = 1

Essa é a equação da elipse com centro em ( 0,0 ) , onde 2 é o semieixo (metade do eixo) da elipse que se encontra ao longo do eixo x e 3 é o semieixo da elipse ao longo do eixo y .

Na elipse mostrada na figura acima, percebemos que a = 2 e b = 3.

De maneira geral, a equação da elipse com centro em ( x 0 , y 0 ) e com semieixos a e b é:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Observação:

Perceba que se a = b = r teremos:

x - x 0 2 r 2 + y - y 0 2 r 2 = 1

Que é igual:

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Que é exatamente a equação da circunferência.

Hipérbole:

Vamos relembrar sua equação:

- x 2 2 2 + y 2 3 2 = 1

Essa é a equação da hipérbole com centro em ( 0,0 ) . E com vértices em V 1 = 0,0 + 3 = ( 0,3 ) e V 2 = 0,0 - 3 = ( 0 , - 3 ) . Perceba que o eixo que contém a variável com sinal positivo, no caso eixo y , corta a hipérbole em seus vértices.

Uma outra possibilidade para a equação da hipérbole com centro em ( 0,0 ) é a equação:

x 2 2 2 - y 2 3 2 = 1

Sua “cara” é:

Essa hipérbole tem centro em ( 0,0 ) e vértices em ( 2,0 ) e ( - 2,0 ) .

Generalizando, a equação geral da hipérbole com centro em ( x 0 , y 0 ) e vértices em ( x 0 + a , y 0 ) e x 0 - a , y 0   é:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

Ou ainda:

y - y 0 2 b 2 - x - x 0 2 a 2 = 1

Com centro em ( x 0 , y 0 ) e com vértices em ( x 0 , y 0 + b ) e ( x 0 , y 0 - b )

Parábola:

Vamos relembrar sua equação:

4 y = x 2

Essa é a equação da parábola com vértice V = ( 0,0 ) e foco F = ( 0,1 )

De maneira geral, a equação da parábola com V = ( x 0 , y 0 ) e foco F = ( x 0 , y 0 + p ) é:

4 p y - y 0 = x - x 0 2

Pronto! Acabou a teoria! Bora praticar!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Gelson Iezzi, Fundamentos da Matemática Elementar, 7: geometria analítica, 5ªed. São Paulo: Atual, 2002, pp – 189 – 393 a,b,c – modificado

Caracterize a cônica representada por cada uma das equações abaixo e faça seu gráfico:

a) 9 x 2 + 5 y 2 - 36 x + 50 y - 164 = 0

b) y 2 - 4 x - 6 y + 13 = 0

c) 5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 16 y + 49 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

  1. Bom, primeiramente vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:
  2. 9 x 2 + 5 y 2 - 36 x + 50 y - 164 = 0

    Perceba que tanto x quanto y estão elevados ao quadrado e os seus sinais são iguais (ambos positivos).

    Passo 2

    Das cônicas que vimos na teoria, apenas a circunferência e a elipse tinham as duas variáveis elevadas ao quadrado e com o mesmo sinal. Provavelmente, a cônica dada nessa questão será uma delas.

    Para provar isso, vamos ajustar a equação dada completando os quadrados. Vamos começar ajustando os termos dependentes de x . Temos:

    9 x 2 - 36 x

    Podemos colocar o 9 em evidência:

    9 ( x 2 - 4 x )

    Vamos agora completar os quadrados da parte de dentro dos parênteses.

    Perceba que ( x 2 - 4 x ) nos faz lembrar x - 2 2 = x 2 - 4 x + 4 . A única diferença é que esse “+4” aí não aparece. Podemos ajustar. Temos:

    9 x 2 - 4 x = 9 ( x 2 - 4 x + 4 - 4 )

    Eu apenas somei 4 e subtraí 4 dentro dos parênteses. Agora, temos o seguinte:

    9 x 2 - 4 x = 9 x 2 - 4 x + 4 - 4 = 9 x - 2 2 - 4 = 9 x - 2 2 - 36

    Ou seja:

    9 x 2 - 36 x = 9 x - 2 2 - 36

    Passo 3

    Desenvolvendo o mesmo raciocínio para os termos dependentes de y temos:

    5 y 2 + 50 y

    Colocando em evidência:

    5 ( y 2 + 10 y )

    O termo ( y 2 + 10 y ) nos faz lembrar y + 5 2 = y 2 + 10 y + 25 . Podemos fazer o seguinte:

    5 y 2 + 10 y = 5 y 2 + 10 y + 25 - 25 = 5 y + 5 2 - 25 = 5 y + 5 2 - 125

    Ou seja:

    5 y 2 + 50 y = 5 y + 5 2 - 125

    Passo 4

    Substituindo na equação da cônica dada temos:

    9 x 2 + 5 y 2 - 36 x + 50 y - 164 = 0

    9 x 2 - 36 x + 5 y 2 + 50 y - 164 = 0

    9 x - 2 2 - 36 + 5 y + 5 2 - 125 - 164 = 0

    Ajeitando a equação:

    9 x - 2 2 + 5 y + 5 2 = 325

    9 x - 2 2 325 + 5 y + 5 2 325 = 1

    Chegamos então à:

    x - 2 2 325 9 + y + 5 2 325 5 = 1

    Que é a equação de uma elipse com centro em ( 2 , - 5 ) e semieixos a = 325 9 e b = 325 5 .

    Passo 5

    Vamos fazer seu gráfico. Marcamos o centro e os semieixos e desenhamos a elipse. Fica:

    Passo 6

  3. Bom, primeiramente vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:
  4. y 2 - 4 x - 6 y + 13 = 0

    Perceba que x tem grau 1 porém y aparece com grau 2. Desconfiamos fortemente de uma parábola.

    Passo 7

    Arrumando a equação temos:

    4 x - 13 = y 2 - 6 y

    Vamos colocá-la na forma geral da parábola:

    4 p x - x 0 = y - y 0 2

    Ajeitando os quadrados fica:

    4 x - 13 = y - 3 2 - 9

    4 x - 4 = y - 3 2

    4 x - 1 = y - 3 2

    Que é exatamente a equação da parábola com vértice em V = ( 1,3 ) e foco F = 1 + 1,3 = ( 2,3 )

    Passo 8

    Para fazer seu esboço primeiro perceba que a variável elevada ao quadrado é y . Marque o vértice   V = ( 1,3 ) . Fica:

    Passo 9

  5. Bom, primeiramente vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:

5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 16 y + 49 = 0

Perceba que tanto x quanto y estão elevados ao quadrado porém seus sinais são opostos. Desconfiamos de uma hipérbole.

Passo 2

Vamos tentar colocar essa equação na forma:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

Ou

y - y 0 2 b 2 - x - x 0 2 a 2 = 1

Vamos ajeitar os quadrados referentes a variável x :

5 x 2 + 30 x = 5 x 2 + 6 x = 5 ( x + 3 2 - 9 ) = 5 x + 3 2 - 45

Passo 3

Fazendo o mesmo para a variável y temos:

- 4 y 2 + 16 y = - 4 y 2 - 4 y = - 4 y - 2 2 - 4 = - 4 y - 2 2 + 16

Passo 4

Substituindo na equação: 5 x 2 - 4 y 2 + 30 x + 16 y + 49 = 0

5 x 2 + 30 x - 4 y 2 + 16 y + 49 = 0

5 x + 3 2 - 45 - 4 y - 2 2 + 16 + 49 = 0

5 x + 3 2 - 4 y - 2 2 = - 20

Tem de aparecer 1 do lado direito, então vamos dividir tudo por - 20 :

y - 2 2 5 - x + 3 2 4 = 1

Portanto a equação é uma hipérbole com centro em ( - 3,2 ) e vértices em - 3,2 + 5 e - 3,2 - 5 .

Passo 5

Para fazer seu gráfico, marcamos o centro e os vértices. Fica:

Resposta

  1. Elipse com centro em ( 2 , - 5 ) e semieixos a = 325 9 e b = 325 5 .
  2. Parábola com vértice em V = ( 1,3 ) e foco F = ( 2,4 )
  3. Hipérbole com centro em ( - 3,2 ) e vértices em - 3,2 + 5 e - 3,2 - 5

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Gelson Iezzi, Fundamentos da Matemática Elementar, 7: geometria analítica, 5ªed. São Paulo: Atual, 2002, pp – 189 – 393 d,e – modificado

Caracterize a cônica representada por cada uma das equações abaixo e faça seu gráfico:

a) x 2 - 4 x - 12 y = 32

b) 289 x 2 - 17183 = 2 256 y - 289 x - 32 y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

  1. Bom, primeiramente vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:
  2. x 2 - 4 x - 12 y = 32

    Perceba que apenas a variável x está elevada ao quadrado. Desconfiamos de um parábola.

    Passo 2

    Arrumando a equação temos:

    12 y + 3 2 = x 2 - 4 x

    Vamos coloca-la na forma geral da parábola:

    4 p y - y 0 = x - x 0 2

    Ajeitando os quadrados fica:

    12 y + 32 = x - 2 2 - 4

    12 y + 36 = x - 2 2

    4 . 3 y + 3 = x - 2 2

    p = 3

    Que é exatamente a equação da parábola com vértice em V = ( 2 , - 3 ) e foco F = 2 , - 3 + 3 = ( 2 , 0 )

    Passo 3

    Para fazer seu esboço primeiro perceba que a variável elevada ao quadrado é x . Marque o vértice   V = ( 2 , - 3 ) . Fica:

    Passo 4

  3. Vamos observar quantos termos elevados ao quadrado aparecem na equação e quais os seus respectivos sinais. A equação é:

289 x 2 - 17183 = 2 256 y - 289 x - 32 y 2

Que é o mesmo que:

289 x 2 + 578 x + 64 y 2 - 512 y - 17183 = 0

Temos dois termos elevados ao quadrado de mesmo sinal. Desconfiamos de uma elipse ou circunferência.

Passo 2

Vamos coloca-la na forma:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Completando os quadrados temos:

289 x 2 + 578 x = 289 x 2 + 2 x = 289 x + 1 2 - 1 = 289 x + 1 2 - 289  

Completando os quadrados de y temos:

64 y 2 - 512 y = 64 y 2 - 8 y = 64 y - 4 2 - 16 = 64 y - 4 2 - 1024

Passo 3

Substituindo na equação temos:

289 x 2 + 578 x + 64 y 2 - 512 y - 17183 = 0

289 x + 1 2 - 289 + 64 y - 4 2 - 1024 - 17183 = 0

289 x + 1 2 + 64 y - 4 2 = 18496

Ajeitando:

x + 1 2 64 + y - 4 2 289 = 1

Que é a equação da elipse com centro em ( - 1,4 ) e semieixos a = 8 e b = 17

Passo 4

Para fazer o gráfico, marcamos o centro e os semieixos:

Resposta

  1. Parábola com vértice em V = ( 2 , - 3 ) e foco F = 2 , - 3 + 3 = ( 2,0 )
  2. Elipse com centro em ( - 1,4 ) e semieixos a = 8 e b = 17

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