Equação Reduzida da Circunferência

Resumo

Se quisermos desenhar uma circunferência em um plano cartesiano podemos utilizar a equação reduzida da circunferência:

x - x c 2 + y - y c 2 = R 2

Onde:

  • x c e y c são as coordenadas do centro da circunferência do ponto ( x c , y c )
  • R é o raio da circunferência
  • x e y são variáveis que ficarão livres na expressão

Para que serve?

Quando aprofundamos nossos conhecimentos de geometria, em algum momento começamos a aprender a desenhar formas geométricas no plano cartesiano através de equações. Para desenhar um círculo precisamos apenas do ponto central e do raio que desejamos, para termos a equação que descreve essa figura. Vamos fazer um exercício para deixar tudo bem claro!

Quais das equações a seguir representam circunferências? Identifique o centro e o raio daquelas que que são circunferências

  1. x - 3 2 + y - 4 2 = 16
  2. x - 3 2 + y + 4 2 = 16
  3. x - 3 3 + y - 4 2 = 16
  4. x 2 + y 2 = 9
  5. x 2 + y - 2 2 = 3

Entre as alternativas a cima a única que não representa uma circunferência é a alternativa c), por que ( x - 3 ) está elevado ao cubo, e para ser uma equação de circunferência deve estar elevado ao quadrado! Todas as outras são equações de circunferência então vamos descobrir seus centros e seus raios.

Para o item a) temos a carona da nossa equação reduzida da circunferência, então temos que x c = 3 , y c = 4 e R 2 = 16 . Logo, aplicando a raiz quadrada no raio encontramos uma circunferência de r = 4 e centro ( 3 , 4 ) .

Para o item b) temos uma pequena diferença para o item a), que acaba alterando apenas o ponto do centro da nossa circunferência. Temos x c = 3 e y c = - 4 e R 2 = 16 , logo nossa circunferência tem centro ( 3 , - 4 ) e r = 4 .

No item d) apesar de não parecer a equação reduzida de uma circunferência, a figura será uma circunferência, repare que eu posso reescrever o item d) da seguinte forma:

x - 0 2 + y - 0 2 = 9

E agora sim estaríamos com nossa carinha da equação reduzida da circunferência, então para o item d) temos uma circunferência de centro no ponto ( 0 , 0 ) e R 2 = 9 , logo r = 3 .

E por fim no item e) temos uma situação parecida com o item anterior, onde apesar de só aparecer x 2 podemos considerar que circunferência está centrada sobre o eixo das abscissas. E podemos dizer que temos uma circunferência de R 2 = 3 , x c = 0 e y c = 2 . Dessa forma temos que o ponto central é ( 0 , 2 ) e que o raio vale r = 3 .

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Equação da Circunferência