Integração

Teoria Completa

Como Calcular?

Ai gzuiss, dá pra integrar vetor também?

Claro que dá!

Mas como???

Muito fácil. Quando queríamos derivar um vetor não era só derivar cada componente? Então, pra integrar é a mesma coisa, assim:

σ t = x t ,   y t ,   z t

∫ a b σ t d t = ∫ a b x t d t ,   ∫ a b y t d t ,   ∫ a b z t d t

Por exemplo:

σ t = t + 1 , t 2 , e t

∫ 1 2 σ t d t = ∫ 1 2 t + 1   d t ,   ∫ 1 2 t ² d t ,   ∫ 1 2 e t d t

∫ 1 2 σ t d t = t 2 2 + t 2 1 , t 3 3 2 1 ,   e t 2 1

∫ 1 2 σ t d t = 2 2 2 + 2 - 1 2 2 + 1 , 2 3 3 - 1 3 3 ,   e 2 - e 1

∫ 1 2 σ t d t = 5 2 , 7 3 ,   e 2 - e 1

Mas fica ligado, porque as vezes a gente pode ter uma integral indefinida.

∫ σ ( t ) = ∫ x t d t ,   ∫ y t d t ,   ∫ z t d t

Nesse caso, teremos que adicionar uma constante na integração de cada componente, de modo que o vetor final será

∫ σ t = R t + C

Onde

R t = ∫ x t d t ,   ∫ y t d t ,   ∫ z t d t

C = ( c 1 , c 2 , c 3 )

Sendo c 1 , c 2 , c 3 as constantes resultantes da integração indefinida de cada uma das componentes.

Vou te dar um exemplo pra clarear as ideias:

σ t = t + 1 , t 2 , e t

∫ σ t d t = ∫ t + 1 d t ,   ∫ t 2 d t ,   ∫ e t d t

∫ σ t d t = t 2 2 + t + c 1 , t 3 3 + c 2 ,   e t + c 3 = t 2 2 + t , t 3 3 , e t + c 1 , c 2 , c 3

∫ σ t d t = t 2 2 + t , t 3 3 , e t + C

Sacou?

Se liga no que vou te falar agora então:

Lembra que o vetor velocidade é a derivada do vetor posição de uma partícula e o vetor aceleração é a derivada do vetor velocidade?

v → t =   σ ' ( t ) = x ' ( t ) ,   y ' ( t ) ,   z ' ( t )

a → t =   v → ' ( t ) = x ' ' ( t ) ,   y ' ' ( t ) ,   z ' ' ( t )

Então, agora que a gente já sabe integrar vetores, podemos recuperar a velocidade de uma partícula a partir de sua aceleração e a posição, a partir de sua velocidade.

v → t = ∫ a → ( t )

σ t = ∫ v → ( t )

Vê se você entendeu:

Se a aceleração de uma partícula é dada por

a → t = ( - 3 cos ⁡ t ,   - 3 s e n   t ,   2 )

E sabemos que, no instante t = 0 ela saiu do ponto ( 3,0 , 0 ) com velocidade v → 0 = ( 0,3 , 0 ) , qual o vetor posição dessa partícula?

Integrando a aceleração, encontramos a velocidade:

∫ a → t = v → t = - 3 s e n   t ,   3 cos ⁡ t , 2 t + ( c 1 , c 2 , c 3 )

Pra descobrir essas constantes ai a gente usa o fato de que v → 0 = ( 0,3 , 0 ) :

- 3 s e n 0 + c 1 = 0

3 cos ⁡ 0 + c 2 = 3

2 ( 0 ) + c 3 = 0

Então:

c 1 = 0

c 2 = 0

c 3 = 0

Assim, a velocidade da partícula é

v → t = - 3 s e n   t ,   3 cos ⁡ t , 2 t

Agora, integrando a velocidade, encontramos o vetor posição:

∫ v → t = σ t = 3 c o s   t ,   3 sen ⁡ t , t 2 + ( c 1 ,   c 2 , c 3 )

Pra descobrir essas constantes ai a gente usa o fato de que σ 0 = ( 3,0 , 0 ) :

3 cos ⁡ 0 + c 1 = 3

3 s e n   0 + c 2 = 0

t 2 + c 3 = 0

Então:

c 1 = 0

c 2 = 0

c 3 = 0

Assim, o vetor posição da partícula é

σ t = 3 c o s   t ,   3 sen ⁡ t , t 2

Tranquilo? Vamos para os exercícios então.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.136, exercício 12b.

Determine r ( t ) sabendo que

r ' t = s e n   t , c o s   2 t   , 1 t + 1 ,   t ≥ 0

r 0 = ( 1 , - 1,2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A gente já sabe que pode recuperar r ( t ) a partir de sua derivada r ' ( t ) , assim:

r t = ∫ r ' t d t = ∫ s e n   t   d t ,   ∫ c o s 2 t   d t , ∫ 1 t + 1 d t

r t = - c o s   t   , s e n 2 t 2 , l n   t + 1   + ( c 1 , c 2 , c 3 )

Passo 2

Agora, para descobrir essas constantes ai a gente usa o fato de que r 0 = ( 1 , - 1,2 ) :

- c o s   0   + c 1 = 1

s e n 2 ( 0 ) 2 + c 2 = - 1

l n   0 + 1   + c 3 = 2

Resolvendo cada uma dessas equações, chegamos a:

c 1 = 2

c 2 =   - 1

c 3 = 2

Passo 3

Assim,

r t = - c o s   t   , s e n 2 t 2 , l n   t + 1   + ( c 1 , c 2 , c 3 )

r t = - c o s   t   , s e n 2 t 2 , l n   t + 1   + ( 2 , - 1,2 )

r t = 2 - c o s   t   , s e n 2 t 2 - 1 , l n   t + 1 + 2  

Resposta

r t = 2 - c o s   t   , s e n 2 t 2 - 1 , l n   t + 1 + 2  

Exercício Resolvido #2

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.139, exercício 2, itens a,b.

Sejam

F t = t , 1 , e t

G t = ( 1,1 , 1 )

Calcule

  1. ∫ 0 1 F t × G ( t )
  2. ∫ 0 1 F t . G ( t )
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Precisamos incialmente, calcular:

F t × G t

F t . G ( t )

Começando por F t × G t :

F t × G t = i j k t 1 e t 1 1 1 = 1 i + e t j + t k - 1 k - e t i - t j

F t × G t = 1 - e t i + e t - t j + t - 1 k

Agora F t . G ( t ) :

F t . G t = t , 1 , e t . 1,1 , 1 = t . 1 + 1.1 + e t . 1 = t + 1 + e t

Passo 2

Agora, é só calcular as integrais:

∫ 0 1 F t × G t = ∫ 0 1 1 - e t d t ,   ∫ 0 1 e t - t d t ,   ∫ 0 1 t - 1 d t