Parametrização da Interseção de Superfícies

Teoria Completa

Interseção de Superfícies

Quando duas curvas se interceptam, temos um (ou mais) ponto, certo? Agora, quando duas superfícies se interceptam, teremos uma curva.

Se você fizer uma analogia, pode pensar o seguinte:

  • Interseção de curvas (dimensão 1) são pontos (dimensão 0)
  • Interseção de superfícies (dimensão 2) são curvas (dimensão 1)

Então vamos ver um exemplo de como encontrar essa curva de interseção. Considere o seguinte problema:

Encontre uma parametrização da curva formada pela interseção das seguintes superfícies:

x + y + z = 1

y - z = 2

Vamos seguir um passo a passo:

  1. Primeiro identificamos as equações das duas superfícies:
  2. x + y + z = 1 y - z = 2

  3. Isolamos uma variável de umas das equações. Note que as duas superfícies são dois planos. Da segunda equação:
  4. ⇒ z = y - 2

  5. Substituímos essa variável na outra equação. Vai ficar:
  6. x + y + y - 2 = 1

    ⇒ x = 3 - 2 y

    Observação: Repara que essa é a projeção da curva no plano z = 0 , pois a curva de interseção das duas superfícies está no espaço, mas chegamos a uma equação com apenas duas variáveis, já que isolamos o z na primeira equação e depois substituímos nessa.

    O mesmo acontece quando isolamos x e y : temos a projeção da curva no plano x = 0 e y = 0 ,respectivamente, pois nossa curva fica apenas em função das outras duas variáveis.

  7. E agora chegou a hora da parametrização. Podemos escolher a parametrização natural de y :
  8. y t = t

    Logo:

    x t = 3 - 2 t

  9. Por fim, substituimos essas parametrizações na terceira variável que foi isolada

⇒ z t = t - 2

Então a curva σ ( t ) resultante da interseção dos dois planos pode ser expressa da seguinte forma:

⇒ σ t = x t ,   y t ,   z t = 3 - 2 t ,   t ,   t - 2 ,     t ∈ R

Viu como é? Note que encontramos uma parametrização de uma reta, que é exatamente o que deveria ser a interseção de dois planos!

Bom, entendeu o espírito da coisa? Em geral, os procedimentos são os seguintes:

  1. Identificar as equações das duas superfícies
  2. Isolar uma variável de umas das equações
  3. Substituir essa variável na outra equação
  4. Parametrizar essa projeção da curva com as outras duas variáveis
  5. Substituir essas parametrizações na terceira variável que foi isolada
  6. Encontrar a parametrização da curva

Observação: sempre que uma das equações for um plano, execute o passo 2 isolando uma variável pela equação do plano!

Agora é colocar a mão na massa e manda brasa!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UERJ - Análise Vetorial - Lista Joice - 1i

Encontre a parametrização da curva obtida pela interseção do hiperbolóide de uma folha x 2 4 + y 2 - z 2 = 1 e o plano x + y = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Nosso objetivo é parametrizar uma curva, mas ela ainda não apareceu. Vamos descobrir que curva é essa?

Para fazer uma interseção basta isolar uma variável que as duas equações tenham em comum, e depois igualar os dois resultados. Vamos isolar o y ?

Na primeira equação temos:

x 2 4 + y 2 - z 2 = 1

isolando o y ...

y 2 = 1 + z 2 - x 2 4

y = 1 + z 2 - x 2 4

Na segunda equação temos:

x + y = 0

isolando o y ...

y = - x

Passo 2

Agora que temos o y devidamente isolado, podemos igualar uma equação à outra!

y = - x

y = 1 + z 2 - x 2 4

Igualando o lado direito das duas, temos....

1 + z 2 - x 2 4 = - x

Pronto conseguimos a equação de nossa interseção!

Passo 3

Agora é a parte mais trabalhosa, mas a parte boa é que é so trabalhdo braçal! Vamos ter que isolar novamente uma das variáveis, e então poderemos parametrizar a curva. Vamos isolar a variável z ?

1 + z 2 - x 2 4 = - x

elevando ao quadrado fica....

1 + z 2 - x 2 4 = x 2

Deixando só o z do lado esquerdo....

z 2 = x 2 + x 2 4 - 1

Desenvolvendo só mais um pouquinho....

z = 5 x 2 - 4 4

Perfeito!! Isolamos o z !

Passo 4

Finalmente! Só falta fazer a parametrização! Agora que temos o z isolado, podemos falar que x = t e deixar tudo em função deste parâmetro. Vamos lá:

z = 5 x 2 - 4 4

fazendo que x = t ...

z = 5 t 2 - 4 4

Como y = - x , temos também que y = - t

Prontinho! Temos todas as variáveis em função de t ! Agora basta colocar na forma parametrizada!

Resposta

Nossa função parametrizada fica:

γ t = t , - t , 5 t 2 - 4 4

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine a parametrização da curva de interseção entre as duas superfícies abaixo.

S 1 : 3 x 2 + 5 z 2 - 3 y = 0

S 2 : x = z 2 - y + 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro devemos isolar alguma variável em alguma das superfícies, vamos pegar o x da segunda curva marotamente porque já está isolado.

x = z 2 - y + 4

Substituindo na equação da S 1

3 x 2 + 5 z 2 - 3 y = 0

3 z 2 - y + 4 2 + 5 z 2 - 3 y = 0

3 z 2 - y + 4 + 5 z 2 - 3 y = 0

8 z 2 - 6 y + 12 = 0

Passo 2

Temos uma parábola né? Então temos aquele macetinho aqui.

O y está elevado a 1 , quando isso acontecer pega a outra letra e chama ela de t , assim oh

z t = t

Pela equação que achamos

8 t 2 - 6 y + 12 = 0

6 y = 8 t 2 + 12

y = 4 t 2 3 + 2

Vulgo

y t = 4 t 2 3 + 2

Passo 3

Agora voltando para o x

x t = t 2 - 4 t 2 3 + 2 + 4 = t 2 - 4 t 2 3 + 2 = - t 2 3 + 2 =

A parametrização é

σ t = - t 2 3 + 2 , 4 t 2 3 + 2 , t

LIIIINDO... só que não rs, lembre-se Beleza não põe mesa

Resposta

σ t = - t 2 3 + 2 , 4 t 2 3 + 2 , t

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, pp – 68 – 16 - modificado

Mostre que a projeção sobre o plano x y da curva de interseção das superfícies

z = 1 - x 2

z = x 2 + y 2

É uma elipse.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Ele quer a projeção da interseção das superfícies, a projeção é só chegar na equação sem uma das variáveis.

Como ele quer uma projeção em x y , devemos eliminar a variável z !

Passo 2

Vamos lá, já temos o z isolado, então é só igualar

1 - x 2 = x 2 + y 2

2 x 2 + y 2 = 1

Essa é a equação da elipse, vamos arrumar só para ficar mais parecido

x 2 1 / 2 + y 2 = 1

Pronto

Resposta

x 2 1 / 2 + y 2 = 1

Exercício Resolvido #4

USP - Cálculo 2 - P1 2012 - 2b

Seja S a superfície de equação - 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

b1) Estude a intersecção de S com cada plano x = k e com o plano y = 1 . Esboce S .

b2) Encontre uma parametrização para a intersecção de S com o plano 2 x + y = 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

b1)

“Estude” soou muito como “encha linguiça a respeito de...” Mas vamos tentar fazer alguma coisa pra não zerar a questão né, nem que seja só um “brain-storm” aleatório XD

Ok, deram uma superfície:

- 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

E disseram que tem uns planos fatiando-a, em x = 1,2 , 3 … k . Para ficar mais fácil de visualizar, comecemos colocando uma constante real no lugar de k ? Por exemplo, se fosse x = k = 2 , teríamos:

- 2.2 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

y - 1 2 + z 2 = 9

Opa, essa é clássica, não? É uma circunferência no plano x = 2 , paralelo ao y z , com centro em z = 0 e y = 1 .

Passo 2

Show, mas e se k fosse simplesmente k ? Sabe, um número aleatório?

- 2 . k 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

y - 1 2 + z 2 = 1 + 2 k 2

Opa, viu só? Vemos sempre, o examinador queira ou não, circunferências! Como k está ao quadrado, não importa se ele é negativo ou positivo, sempre vai dar uma circunferência descolada em 1 no sentido de y . A única coisa que vai mudar é o raio, no caso, 1 + 2 k 2 .

Passo 3

Agora que já “estudamos” os plano x = k , acho eu, o suficiente, vamos partir pro plano y = 1 e ver a curva que temos:

Substituindo y por 1 onde aparecer...

- 2 x 2 + 1 - 1 2 + z 2 = 1

z 2 - 2 x 2 = 1

Pronto! Consegue ver o que encontramos? Temos uma hipérbole desenhada no plano y = 1 paralelo ao x y :D

Passo 4

Depois disso tudo o que fizemos, fica mais intuitivo pensar em esboçar a superfície! Pense só, temos uma superfície, e sabemos a sua equação do “mundo tridimensional”, certo? Então, fatiamos ela por planos paralelos aos planos cartesianos, ou seja, por planos do tipo x = k , y = k , z = k . Se o planos são x = k , como no início da questão, então eles são paralelos ao plano O y z , se são y = k , são paralelos ao O x z , e se são z = k , são paralelos a O x y .

Sem mais enrolação, vamos analisar o que já fizemos? Se fatiamos a superfície com planos x = k , paralelos a O y z , encontramos circunferências, certo? Lembra que sempre encontrávamos elas, não importando o valor de k ? Se fatiamos por planos y = k , encontramos hipérboles. Analogamente, se tivéssemos anulado o z , teríamos encontrado hipérboles, pois teríamos x e y elevados ao quadrado, sendo um subtraído do outro...

Juntando essas três informações, temos um hiperboloide de uma folha!

Viu a circunferência aí quando x = 0 , deslocada em 1 no sentido positivo de y ? E não importa se k é maior ou menor que 0 nos planos x = k ! Sempre fatiaremos circunferências!

Passo 5

b2)

Beleza, agora temos que fazer a interseção entre - 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 e 2 x + y = 2 . A maneira mais intuitiva é isolar o y , né? Ele já está quase isolado... Aí depois substituímos na equação da superfície :D

y = 2 - 2 x

Colocando na superfície:

- 2 x 2 + 2 - 2 x - 1 2 + z 2 = 1

- 2 x 2 + - 2 x + 1 2 + z 2 = 1

O que acha da gente desenvolver esse - 2 x + 1 2 ? Aí poderemos completar o quadrado, juntando com o - 2 x 2 que sobrou do lado esquerdo...

- 2 x 2 + 4 x 2 - 4 x + 1 + z 2 = 1

2 x 2 - 4 x + 1 + z 2 = 1

Completando o quadrado...

2 x 2 - 2 x + 1 - 1 + z 2 = 1

2 x - 1 2 + z 2 = 2

Dividindo por 2 , pra sair a equação certinha de uma elipse:

x - 1 2 + z 2 2 = 1

Passo 6

Agora só precisamos parametrizar com coordenadas elípticas! Hahaha o nome é feio, mas é assim mesmo.

O pensamento é o seguinte: Temos dois termos ao quadrado, sendo somados e igualados a 1 . Então, depois que fizermos nossa substituição, teremos que encontrar sin 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1 . Sacou?

No nosso caso, o primeiro termo é x - 1 2 . Queremos que x - 1 vire apenas cos ⁡ t , beleza? Então:

x - 1 = cos ⁡ t

x = cos ⁡ t + 1

Então dizemos que x = cos ⁡ t + 1 !

E o z ? Queremos que z 2 vire sin ⁡ t , certo? Então:

z 2 = sin ⁡ t

z = 2 sin ⁡ t

Então, z = 2 sin ⁡ t

Viu como é simples? Depois, de tanto fazer isso, você vai fazer sem pensar, vai sair naturalmente :)

E então a parametrização da curva é:

γ t = cos ⁡ t + 1 ,   - 2 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t

Resposta

b1)

b2)   γ t = cos ⁡ t + 1 ,   - 2 cos ⁡ t , 2 sin ⁡ t

Exercício Resolvido #5

PUC-RJ - Cálculo 2 - P2 2013.2 - 2b

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

  1. Exiba uma parametrização da curva espacial C = S 1 ∩ S 2 na forma

α t = x t , y t , z t ,   t ∈ a , b

Explicitando x t , y t , z t , a e b .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

b )

A primeira ideia seria encontrar alguma equação dessa curva, mas repara que a superfície S 1 não tem o valor de x , vamos dar uma arrumada nela para vermos que ela é um cilindro elíptico

4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

4 y - 2 2 4 + 3 z - 1 2 4 = 1

y - 2 2 + z - 1 2 4 / 3 = 1

Lembra como é a parametrização da elipse?

y t = y 0 + a cos ⁡ t

z t = z 0 + b sen ⁡ t

Então, para esse caso

y t = 2 + cos ⁡ t

z t = 1 + 4 3 sen ⁡ t = 1 + 2 3 sen ⁡ t

Como ele faz a volta completa

t ∈ 0,2 π

Mas e agora como parametrizamos o valor de x ? Vamos usar a outra equação.

Passo 2

Primeiro temos que isolar o x na segunda superfícies

x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

x 3 y 2 + 1 - 3 y z - z 4 = 3

x 3 y 2 + 1 = 3 y z + z 4 + 3

x 3 = 3 y z + z 4 + 3 y 2 + 1

x = 3 y z + z 4 + 3 y 2 + 1 3

Ok, agora temos uma expressão de x dependendo só de y e z , o que temos que fazer agora é trocar os valores de y e z da parametrização que fizemos ali em cima.

x t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3

Como a nossa vida é muito curta e preciosa não vou abrir conta nenhuma ali e deixar isso tudo indicado, não tem problema, afinal no gabarito nem substituir eles substituíram.

A parametrização vai ficar

α t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3 , 2 + cos ⁡ t , 1 + 2 3 sen ⁡ t

Com

t ∈ 0,2 π

Resposta

α t = 3 2 + cos ⁡ t 1 + 2 3 sen ⁡ t + 1 + 2 3 sen ⁡ t 4 + 3 2 + cos ⁡ t 2 + 1 3 , 2 + cos ⁡ t , 1 + 2 3 sen ⁡ t

Com

t ∈ 0 , 2 π

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