1.

Encontre a parametrização da curva obtida pela interseção do hiperbolóide de uma folha x 2 4 + y 2 - z 2 = 1 e o plano x + y = 0 .

Resolução
2.

Seja S a superfície de equação - 2 x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

b1) Estude a intersecção de S com cada plano x = k e com o plano y = 1 . Esboce S .

b2) Encontre uma parametrização para a intersecção de S com o plano 2 x + y = 2 .

Resolução
3.

Determine a parametrização da curva de interseção entre as duas superfícies abaixo.

S 1 : 3 x 2 + 5 z 2 - 3 y = 0

S 2 : x = z 2 - y + 4

Resolução
4.

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

  1. Exiba uma parametrização da curva espacial C = S 1 ∩ S 2 na forma

α t = x t , y t , z t ,   t ∈ a , b

Explicitando x t , y t , z t , a e b .

Resolução
5.

Mostre que a projeção sobre o plano x y da curva de interseção das superfícies

z = 1 - x 2

z = x 2 + y 2

É uma elipse.

Resolução
6.

Seja a quádrica cuja equação cartesiana é dada por 2 x 2 + y 2 + 2 y + z 2 = 9 .

Encontre uma parametrização para a curva C que corresponde à interseção da quádrica com o plano y + z = 1 .

Resolução
7.

S 1 :     2 x 2 + 3 y 2 - z 2 = 1 e S 2 :   z = x 2 + y 2

Parametrize a curva γ de interseção de S 1 com S 2 .

Resolução
8.

Qual é um vetor diretor da reta que é a interseção dos planos 2 x + y - 3 z = 2 e x - 2 y + 3 z = 5 ?

(a) - 3 ,   9 ,   - 5

(b) - 3 , - 9 ,   5

(c) 3 , - 9 ,   5

(d) 3 ,   9 ,   5

(e) 3 ,   2 ,   2

Resolução
9.

Qual das superfícies seguintes não intercepta o plano vertical x = 2 ?

(a) 2 x 2 + 9 y 2 + z 2 = 9

(b) 2 y + z 2 + 6 z + 9 = 0

(c) x - 2 2 - y 2 - z 2 = 0

(d) x 2 - 9 y 2 - z 2 = 9

(e) x 2 + 2 x - y + 9 z 2 = 4

Resolução
10.

A curva parametrizada x t , y t , z t ,   t ∈ R , obtida pela interseção do plano y + z = 2 com o cilindro x 2 + z 2 = 4 é dada por:

(a) 4 cos ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t , 4 sen ⁡ t

(b) 4 cos ⁡ t , 4 - 4 sen ⁡ t , 4 sen ⁡ t

(c) 2 cos ⁡ t , 2 - 2 sen ⁡ t , 2 sen ⁡ t

(d) 2 cos ⁡ t , 2 ,   2 sen ⁡ t

(e) nenhum dos outros itens

Resolução
11.

A interseção das superfícies x 2 + y 2 + z 2 = 1 e x - 1 2 + y 2 + z 2 = 1 é:

(a) uma parábola

(b) uma hipérbole

(c) uma elipse

(d) as superfícies não se interceptam

(e) uma circunferência

Resolução
12.

Uma parametrização da curva obtida pela interseção do semi-cone

z = x 2 + y 2

Com o plano

z = 1 + y

É:

a   r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   1 + sen ⁡ t ,   t ∈ 0,2 π

b r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t +   1 ,     sen ⁡ t + 2 ,   t ∈ 0,2 π

c r t = t , 1 2 t 2 - 1 , 1 2 t 2 + 1 ,   t ∈ R

d r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t -   1 ,   sen ⁡ t ,   t ∈ 0,2 π

e r t = 1 + t 2 ,   t 2 ,   t 2 + 1 ,   t ∈ R

Resolução
13.

A interseção entre os planos

4 x + 3 y - z = 0

x + 2 y + z = 5

É (para t ∈ R ):

  1. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = 0,0 , 1 + t ( 5,4 , 3 )
  2. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = 0 , 1,0 + t ( 1 , - 1,1 )
  3. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = 0,1 , 3 + t ( 1 , - 1,1 )
  4. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = ( 2 cos ⁡ t , 3 sen ⁡ t , 1 )
  5. Uma reta, cuja equação paramétrica é r t = 1 , t 2 , t
Resolução
14.

Uma parametrização para a intersecção dos gráficos das funções f x ,   y = x 2 - y 2 e g x ,   y = 1 - 2 x 2 - 3 y 2 + 6 x + 8 y , em que x ,   y ∈ R 2 , é dada por

γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t ,               t ∈ [ 0 ,   2 π ]

em que a , b , c e d são número reais positivos.

Então, a + b c + d é igual a

a) 3 2 + 6 .

b) 2 + 6 3 .

c) 3 1 + 3 .

d) 1 + 3 3 .

e) 3 2 + 3 .

Resolução
15.

Considere uma curva C dada pela interseção do cilindro 4 x 2 + y 2 + 8 x = - 3 com o plano x + z = 1 . Uma parametrização de C com t   ∈ 0,2 π , é:

Resolução
16.

Considere a curva C como a interseção do plano y = 2 , com o paraboloide y = x 2 + z 2 . Uma parametrização da curva C é:

a) 2 cos ⁡ t ,   2 ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0,2 π

b) 2 ,   2 cos ⁡ t ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0,2 π

c) 2 cos ⁡ t ,   2 ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0 , π

d)   2 s e n t ,   2 s e n t , 2 ,   t   ∈ 0,2 π

e) 2 cos ⁡ t ,   2 ,   2 s e n t ,   t   ∈ 0,2 π

Resolução
17.

A interseção dos planos de equação x + y + z = 1 e - x - y + z = 1 é a reta parametrizada por:

  1. r t = t , - t , 1   ,   t   ∈ R
  2. r t = 2 t , - 2 t , 1 + t   ,   t   ∈ R
  3. r t = t , t , 1 + t   ,   t   ∈ R
  4. r t = - t , - t , 1 + t   ,   t   ∈ R
  5. Nenhuma das alternativas anteriores.
Resolução
18.

Considere as superfícies:

S 1 : z = 9 - x 2 - y 2

S 2 :   x 2 4 + y 2 - 2 y = 0

  1. Determine uma parametrização para a curva γ de interseção ente as superfícies S 1 e S 2 .
Resolução
19.

Considere a superfície S definida por:

z = x 2 + y 2 - 3

  1. Encontre uma parametrização da curva C obtida como interseção de S com o plano 2 y + z = 0
Resolução
20.

A curva parametrizada por x t , y t , z t , t   ∈ R , obtida pela interseção do plano z = 2 e o cone z 2 = x 2 + y 2 4 é dada por:

a) 2 cos ⁡ t , 4 s e n t , 2

b)   cos ⁡ t , 2 s e n t , 2

c) cos ⁡ t 2 , s e n t , 2

d) cos ⁡ t , s e n t 2 , 2

e) cos ⁡ t , s e n 4 t , 2

Resolução
21.

Seja C a curva que é interseção das 2 superficies de equações

4 x 2 + y 2 = 2 y

E

x - y + z = 1

Então uma parametrização de C , para t ∈ [ 0,2 π ] é:

  1. r t = 1 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1,2 - 1 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t
  2. r t = 1 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t - 1,2 - 1 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t
  3. r t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1,2 - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t
  4. r t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t + 1 , - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t
  5. r t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t - 1 , - 2 cos ⁡ t + sen ⁡ t
Resolução
22.

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

  1. Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos N 1 x , y , z e N 2 x , y , z às superfícies S 1 e S 2 , respectivamente.
  2. Exiba uma parametrização da curva espacial C = S 1 ∩ S 2 na forma

α t = x t , y t , z t ,   t ∈ a , b

Explicitando x t , y t , z t , a e b .

Resolução
23.

A interseção dos 2 planos de equações

x + y + z = 1

E

- x - y + z = 1

É a reta parametrizada por:

  1.   r t = t , - t , 1 ,   t ∈ R
  2.   r t = 2 t , - 2 t , 1 + t ,   t ∈ R
  3.   r t = - t , - t , 1 + t ,   t ∈ R
  4.   r t = t , t , 1 + t ,   t ∈ R
Resolução
24.

Considere as superfícies descritas abaixo:

S 1 : z = x 2 + y 2   ; z ≤ 1

S 2 : y = 2

S 3 : 2 y + 2 z = 1

E estude as seguintes afirmações:

  1. S 1 ∩ S 2 é vazia
  2. S 1 ∩ S 3 �� vazia
  3. S 2 ∩ S 3 é uma reta

Marque a alternativa correta

  1. As afirmações I e II são falsas
  2. As afirmações I e II são verdadeiras
  3. As afirmações I e III são verdadeiras
  4. Todas as afirmações são falsas
  5. Todas as afirmações são verdadeiras
Resolução
25.

Uma parametrização da curva C obtida como interseção do plano

2 y + z = 0

Com a superfície definida por

z = x 2 + y 2 - 3

É:

  1. r t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t + 1,2 + 4 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  2. r t = 2 sen ⁡ t - 1 , - 2 cos ⁡ t , 2 - 4 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  3. r t = 3 sen ⁡ t - 1 , 3 cos ⁡ t , 2 + 4 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  4. r t = - 2 cos ⁡ t , 3 sen ⁡ t + 1,2 + 5 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]
  5. r t = 2 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t - 1,2 - 4 sen ⁡ t ,   t ∈ [ 0,2 π ]
Resolução
26.

Considere a quádrica de equação

x 2 - 2 x - y 2 - z 2 = 3

  1. Essa quádrica é um hiperboloide que corta o plano y z
  2. Uma parametrização da interseção da quádrica com o plano x = 5 é α t = 5,2 3 cos ⁡ t , 2 3 sen ⁡ t ,   0 ≤ t ≤ 2 π
  3. Uma parametrização da interseção do plano z = 1 com a porção da quádrica no semi espaço x ≥ 1 é α t = 1 + 5 sec ⁡ t , 5 tg ⁡ t , 1 ,   - π 2 < t < π 2
  1. Todas as afirmações são verdadeiras
  2. As afirmações I e III são verdadeiras
  3. As afirmações II e III são verdadeiras
  4. As afirmações I e III são falsas
  5. As afirmações II e III são falsas
Resolução
27.

Uma parametrização para a intersecção dos gráficos das funções f x ,   y = 2 x 2 + y 2 e g x ,   y = 5 - 2 x 2 - 2 y 2 + 8 x + 6 y , em que x ,   y ∈ R 2 , é dada por

γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t ,               t ∈ [ 0 ,   2 π ]

em que a , b , c e d são número reais positivos.

Então, a + b c + d é igual a

a) 1 + 3 3 .

b) 3 1 + 3 .

c) 3 2 + 6 .

d) 2 + 6 3 .

e) 3 2 + 3 .

Resolução
28.

Uma parametrização para a intersecção dos gráficos das funções f x ,   y = x 2 + 2 y 2 e g x ,   y = 5 - 2 x 2 - 2 y 2 + 6 x + 8 y , em que x ,   y ∈ R 2 , é dada por

γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t ,               t ∈ [ 0 ,   2 π ]

em que a , b , c e d são número reais positivos.

Então, a + b c + d é igual a

a) 3 1 + 3 .

b) 1 + 3 3 .

c) 3 2 + 6 .

d) 2 + 6 3 .

e) 3 2 + 3 .

Resolução
29.

Uma parametrização para a intersecção dos gráficos das funções f x ,   y = y 2 - x 2 e g x ,   y = 1 - 3 x 2 - 2 y 2 + 8 x + 6 y , em que x ,   y ∈ R 2 , é dada por

γ t = a + b cos ⁡ t ,   c + d   s e n   t ,   z t ,               t ∈ [ 0 ,   2 π ]

em que a , b , c e d são número reais positivos.

Então, a + b c + d é igual a

a) 2 + 6 3 .

b) 3 2 + 6 .

c) 3 1 + 3 .

d) 1 + 3 3 .

e) 3 2 + 3 .

Resolução
30.

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 |   x 2 + y 2 + z 2 = 4 ,   z ≥ 2    

S 2 = x , y , z ∈ R 3 |   z 2 = x 2 + y 2 ,   0 ≤ z ≤ 2