Choque de Partículas e Interseção de Curvas

Teoria Completa

Como saber?

Imagine que duas partículas descrevam trajetórias diferentes parametrizadas por duas funções diferentes:

σ 1 t = t , t - 1

E

σ 2 t = ( t ,   3 - t )

Duas perguntas:

  1. As trajetórias dessas partículas se cruzam?
  2. Essas partículas se chocam?

Respondendo às perguntas:

  1. As trajetórias se cruzarão se houver pelo menos um ponto em comum nas duas curvas, não necessariamente no mesmo tempo t ;
  2. σ 1 t 1 = σ 2 ( t 2 )

    t 1 ,   t 1 - 1 = ( t 2 ,   3 - t 2 )

    t 1 = t 2 t 1 - 1 = 3 - t 2

    Da primeira equação temos

    t 1 = t 2

    Substituindo na segunda

    t 1 - 1 = 3 - t 1

    t 1 = 2

    E, como t 1 = t 2

    t 2 = 2

    Portanto, no instante t 1 = 2 para a primeira trajetória e no instante correspondente t 2 = 2 para a segunda trajetória, as partículas se cruzam. Para obter os pontos de cruzamento, basta calcular σ 1 ( t 1 ) OU σ 2 ( t 2 ) , porque eles correspondem ao mesmo ponto, concorda?

    Escolhendo σ 1 t 1 , o ponto onde as trajetórias se cruzam é:

    P = σ 1 2 = 2,2 - 1 = 2,1

  3. As partículas se chocarão se houver um ponto em comum nas duas trajetórias, necessariamente no mesmo tempo t .

σ 1 t = σ 2 ( t )

Esse corresponde ao sistema anterior, com t 1 = t 2 = t .

Já resolvemos esse sistema e vimos que t 1 = t 2 , então as partículas colidem.

Faz sentido? No primeiro caso, pode ser que uma partícula passe por um ponto em que a outra já passou antes ou ainda vai passar depois. No segundo caso, as partículas passam pelo mesmo ponto, ao mesmo tempo e por isso colidem.

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Duas partículas descrevem as curvas σ 1 ( t ) e σ 2 ( t ) especificadas abaixo. Determine se as trajetórias dessas partículas se cruzam em algum ponto. Verifique também se as partículas colidem ou não.

σ 1 t = t + 1 , t   σ 2 t = ( t - 1 ,   2 - t )

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Passo 1

Fazer a igualdade e encontrar sistema:

σ 1 t 1 = σ 2 ( t 2 )

t 1 + 1 ,   t 1 = ( t 2 - 1 ,   2 - t 2 )

Logo:

t 1 + 1 = t 2 - 1 t 1 = 2 - t 2

Passo 2

Resolver o sistema:

Verifique se a solução do sistema é essa:

t 1 = 0 t 2 = 2

Passo 3

Calcular σ 1 ( t 1 ) ou σ 2 t 2 para encontrar o(s) ponto(s):

Vamos calcular σ 1 ( t 1 ) por exemplo:

σ 1 t 1 = σ 1 0 = 0 + 1 ,   0

⇒ σ 1 t 1 = 1 ,   0

Passo 4

Verificar se há colisão:

Acabamos de ver que há um único ponto em que as trajetórias se encontram. E vimos que t 1 ≠ t 2 .

Logo, as partículas não colidem!

Resposta

As trajetórias se encontram no ponto ( 1,0 ) e as partículas não colidem, pois t 1 ≠ t 2

Exercício Resolvido #2

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, P1 2010.2, questão 3.4

Uma partícula P 1 se move ao longo da curva C 1 definida por

σ 1 t = t 2 ,   t 3 ,   t ∈ R

E uma partícula P 2 se move ao longo da curva C 2 definida por

σ 2 t = cos ⁡ 2 t ,   2 cos 2 ⁡ t - 1 ,   t ∈ 0 , π 4

Em que pontos as trajetórias dos pontos P 1 e P 2 se cruzam? As partículas vão colidir?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos resolver o item (a):

Fazer a igualdade e encontrar sistema:

σ 1 t 1 = σ 2 ( t 2 )

t 1 2 ,   t 1 3 = ( cos ⁡ 2 t 2 ,   2 cos 2 ⁡ t 2 - 1 )

Logo:

t 1 2 = cos ⁡ 2 t 2   t 1 3 =   2 cos 2 ⁡ t 2 - 1

Passo 2

Resolver o sistema:

Vamos reescrever a segunda equação evitando o termo com o cosseno ao quadrado. Lembre-se de que podemos sempre dizer que:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

cos 2 ⁡ t - sen 2 ⁡ t = cos ⁡ ( 2 t )

⇒ cos 2 ⁡ t = 1 2 1 + cos ⁡ 2 t

Remanejando esse resultado, temos então que:

2 cos 2 ⁡ t - 1 = cos ⁡ 2 t

Logo:

2 cos 2 ⁡ t 2 - 1 = cos ⁡ 2 t 2 = cos ⁡ 2 t 2 1 2

Vamos reescrever nossas equações:

t 1 2 = cos ⁡ 2 t 2   t 1 3 =   cos ⁡ 2 t 2 1 2

Passo 3

Observe que a tanto na primeira quanto na segunda equação, os termos devem ser positivos. Na primeira, porque temos um número elevado ao quadrado de um lado da equação. E na segunda porque temos uma raiz quadrada.

Então podemos elevar a primeira equação por 3 e a segunda por 2 :

t 1 2 3 = cos ⁡ 2 t 2 3   t 1 3 2 = cos ⁡ 2 t 2 1 2 2

⇒ t 1 6 = cos ⁡ 2 t 2 3   t 1 6 = cos ⁡ ( 2 t 2 )

Passo 4

Igualando os segundos membros das equações, encontramos o seguinte:

cos ⁡ 2 t 2 3 = cos ⁡ ( 2 t 2 )

Chamemos w = cos ⁡ 2 t :

⇒ w 3 = w

⇒ w 3 - w = 0

⇒ w w 2 - 1 = 0

⇒ w w + 1 w - 1 = 0

Então:

w = cos ⁡ ( 2 t 2 ) = 0 1 - 1

Passo 5

Lembrando que o enunciado nos diz que t 2 ∈ 0 , π 4 , podemos então encontrar as soluções dessas equações:

cos ⁡ ( 2 t 2 ) = 0 ⇒ 2 t 2 = π 2 ⇒ t 2 = π 4 cos ⁡ ( 2 t 2 ) = 1 ⇒ t 2 = 0 cos ⁡ ( 2 t 2 ) = - 1 ⇒ ∄   t 2

Observe que não há nenhum valor para t ∈ 0 , π 4 cujo cos ⁡ ( 2 t ) é negativo. Por isso, a última equação não tem solução.

Passo 6

Agora vamos calcular os respectivos valores de t 1 para cada valor de t 2 :

t 1 2 = cos ⁡ ( 2 t 2 )

t 2 = π 4 ⇒ cos ⁡ ( 2 t 2 ) = 0 ⇒ t 1 2 = 0 ⇒ t 1 = 0

t 2 = 0 ⇒ cos ⁡ ( 2 t 2 ) = 1 ⇒ t 1 2 = 1 ⇒ t 1 = 1

Observação: Da equação t 1 3 = cos ⁡ 2 t , sabemos que t 1 ≥ 0 , por isso t 1 ≠ - 1 na segunda equação acima!

Passo 7

Calcular σ 1 ( t 1 ) ou σ 2 t 2 para encontrar o(s) ponto(s):

Parece mais convidativo calcular σ 1 ( t 1 ) :

t 1 = 0 ⇒ σ 1 t 1 = ( 0 ,   0 )

t 1 = 1 ⇒ σ 1 t 1 = ( 1 ,   1 )

Passo 8

Maravilha! E as partículas colidem?

Claro que não! Pois t 1 ≠ t 2 nos dois casos.

Logo, as partículas nunca colidirão!

Resposta

As trajetórias se cruzam em ( 0 ,   0 ) e ( 1 ,   1 ) .

As partículas não vão colidir.

Exercício Resolvido #3

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, PF 2015.1, questão múltipla escolha 8

Uma partícula tem seu movimento no plano descrito pela parametrização r t = e - t cos ⁡ t i + e - t sen ⁡ ( t ) j ,   t ∈ 0 , ∞ . Então podemos afirmar que:

(a) a partícula passa pela reta x + y = - 2 .

(b) nenhuma das outras alternativas.

(c) a partícula passa pela reta x - y = 2 .

(d) a partícula passa pela reta x - y = - 2 .

(e) a partícula passa pela reta x + y = 2 .

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Passo 1

A função e - t é decrescente então

t ≥ 0   ⇒     e - t ≤ e 0 = 1

E como a exponencial é sempre positiva:

0 ≤ e - t ≤ 1

E também temos pras funções trigonométricas

- 1 ≤ cos ⁡ t ≤ 1

- 1 ≤ sen ⁡ t ≤ 1

Logo:

- 1 ≤ e - t cos ⁡ t ≤ 1

- 1 ≤ e - t sen ⁡ t ≤ 1

A partícula segue a parametrização r t = ( e - t cos ⁡ t ,   e - t sen ⁡ t ), então ela vai estar restrita a uma determinada área do plano, com

- 1 ≤ x t ≤ 1     ⇒     x ≤ 1

e

- 1 ≤ y t ≤ 1   ⇒     y ≤ 1

Que nada mais é que esse quadrado aqui

Passo 2

Show! Então vamos ver se alguma das retas que ele deu cruzam nosso quadrado! São as retas

x + y = - 2

x - y = + 2