Esboço de Curvas

Teoria Completa

Equação cartesiana

Imagine que queremos esboçar o gráfico da curva:

σ t = 3 + t 2 , 1 + 2 t 4 ,     t ∈ 0 , + ∞

E aí? O que a gente faz? Bom, a primeira coisa a se fazer é encontrar a equação cartesiana da curva.

Uma equação cartesiana de uma curva é aquela em que não aparece o parâmetro t , apenas as variáveis x e y .

É o caminho inverso ao que estamos fazendo até agora, quando desejamos parametrizar uma curva. Nesse caso, teríamos uma curva parametrizada e gostaríamos de saber qual é a equação cartesiana dela.

Temos o seguinte:

x t = 3 + t 2

y t = 1 + 2 t 4

t ∈ [ 0 , + ∞ )

Isolamos t ² na primeira equação:

t 2 = x - 3

E substituímos na outra equação:

y = 1 + 2 t 2 2 = 1 + 2 ( x - 3 ) ²

Portanto, temos que essa curva é uma parábola.

Equação cartesiana: funções trigonométricas

Agora, imagine que um problema pede para esboçar essa curva:

σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t

t ∈ R

O ponto chave aqui é como encontrar a equação cartesiana. Basicamente, você vai analisar cada componente da curva e tentar relacioná-los.

Agora pensa comigo, na nossa curva, a gente tem seno e cosseno. O que que dá pra fazer com isso? O que isso pode dizer pra gente sobre a curva?

Lembra da relação fundamental da trigonometria? Não? Relaxa que eu te lembro:

c o s ² t + s e n ² t = 1

Então, parece que ela pode nos ajudar né? E pode mesmo!! Repara que para qualquer t , temos que:

x 2 t + y 2 ( t ) = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Ou seja, os pontos x ,   y estão sempre sobre um círculo de raio 1 . E a coordenada z , por sua vez, cresce indefinidamente. Então, o esboço da curva fica:

Que curva é essa? É uma curva helicoidal cilíndrica. Repare ainda que z ' t = 1 > 0 , portanto a curva está “subindo” ao longo do eixo z .

Algumas variações

Observação 1: Da mesma forma, os pontos ( x ,   y ) poderiam estar sobre uma elipse, em vez de estar sobre uma circunferência. Por exemplo:

σ t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   t

Vamos fazer o seguinte:

x t = 2 cos ⁡ t ⇒ cos ⁡ t = x t 2 y t = sen ⁡ t ⇒ sen ⁡ t = y ( t )

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

⇒ x t 2 2 + y t 2 = 1

⇒ x 2 2 + y 2 = 1

Ou seja, os pontos estão sobre essa elipse. Tranquilo?

Observação 2: Vamos ver o que fazer quando z t for uma função qualquer de t . Por exemplo:

σ t = cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   e t

Nesse caso, a única diferença é que o eixo z cresce mais rápido por ser uma exponencial.

Observação 3:

σ t = t cos ⁡ t ,   t sen ⁡ t ,   t

t ∈ R

Observe que x t 2 + y t 2 = z t 2 para todo t . Ou seja, a curva estará em cima da superfície do cone z 2 = x 2 + y 2 . Seu esboço fica:

Que é uma curva helicoidal cônica.

Em resumo:

Caso o problema peça para você fazer um esboço da curva, será uma dessas duas.

  • Se a x t 2 + b y t 2 = constante  - curva helicoidal cilíndrica
  • Se a x t 2 + b y t 2 = z t 2   ; a ,   b = constantes - curva helicoidal cônica

Tenha essas duas curvas em mente. Elas podem aparecer na prova! E, caso seja necessário, você saberá desenhá-las. Mas não se preocupe, não precisa ser nada muito perfeccionista. Apenas observe o ponto inicial da curva, o sentido que ela percorre à medida que t aumenta e o intervalo em que t está contido.

Só mais uma dica

O problema é que às vezes vamos ter que esboçar curvas difíceis de identificar!

Nesse caso o jeito é fazer o basicão: substituir vários valores de t na parametrização e assim achar pontos da curva.

Exemplo: Vamos esboçar a curva parametrizada por σ t = 2 cos ⁡ t , sen ⁡ 2 t ,   t ∈ 0 ,   π .

É muito difícil de identificar de cara que curva é essa! Tem um cosseno e um seno, beleza, mas e aí? É justamente nesse caso que partimos pro trabalho braçal de substituir vários pontos e ver no que dá.

Então vamos lá! É bom pegar o máximo de valores possíveis pra ter mais pontos.

t = 0 → σ 0 = 2 ,   0

t = π 6 → σ π 6 = 3 , 3 2

t = π 4 → σ π 4 = 2 ,   1

t = π 3 → σ π 3 = 1 , 3 2

t = π 2 → σ π 2 = 0 ,   0

De π 2 até π podemos ver que vamos ter os mesmos valores, mas com o sinal trocado:

t = 2 π 3 → σ 2 π 3 = - 1 ,   - 3 2

t = 3 π 4 → σ 3 π 4 = - 2 ,   - 1

t = 5 π 6 → σ 5 π 6 = - 3 ,   - 3 2

t = π → σ π = - 2 ,   0

Pronto! Vamos ver como ficaram esses pontos bonitões:

Dá pra ter uma noção boa de como é a curva né?

Só ali perto da origem ( t = π 2 ) que não tem muitos pontos... Aí daria pra ver com mais calma como ficam 2 cos ⁡ t e sen ⁡ 2 t perto de t = π 2 . Na dúvida faz uma reta mesmo!

Saca só como fica a curva:

E se a questão pedir pra indicar a orientação, basta botar uma seta pra esquerda! Né? Fomos de t = 0 , que corresponde ao ponto 2 ,   0 lá na direita, até t = π , no ponto - 2 ,   0 .

Então o esboço ficaria assim:

Belezinha? Então vem comigo treinar nos exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.11. questão 1, itens a,c,f.

Para cada um dos seguintes pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana:

a) x = - 1 + t , y = 2 - t , t ∈ R

c) x = c o s ² t , y = s e n ² t , t ∈ R

f) x = s e n   t , y = c o s 2 t , t ∈ 0 , π 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Podemos isolar o parâmetro t na primeira equação e substituir na segunda, assim:

t = x + 1

y = 2 - x + 1 = 2 - x - 1 = 1 - x

Temos a reta y = 1 - x

Passo 2

Verificar intervalo para a curva da letra a:

t ∈ R

x = - 1 + t não tem nenhuma limitação. Assim, x ∈ R .

Passo 3

Avaliar o sentido percorrido na curva da letra a: nós temos que ver se a derivada vai ser positiva ou negativa. Positiva, a função está crescendo. Negativa, a função está decrescendo.

Podemos observar que

y ' t = - 1 < 0

Logo, a curva está “descendo”.

Passo 4

Esboçar a curva da letra a:

Como t é real, ele varia de - ∞ a + ∞ e, nesse caso, nossa reta não tem nenhuma limitação. Quando t = 0 , a curva passa pelo ponto - 1,2 que eu marquei ai.

Passo 5

c )

Na letra c, vamos usar a relação fundamental da trigonometria

sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Assim, observamos que

x + y = 1

Logo, também temos a reta y = 1 - x .

Passo 6

Verificar o intervalo para a curva da letra c:

t ∈ R

x = c o s ² t é uma função limitada, está sempre entre 0 e 1. Assim, x ∈ [ 0,1 ] e y ∈ [ 0,1 ] .

Passo 7

Avaliar o sentido percorrido pela curva da letra c:

Podemos observar que

y ' t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t

Mas

0 ≤ x t = c o s 2 t ≤ 1

0 ≤ y t = s e n 2 t ≤ 1

Logo

t ∈ 0 , π 2

E nesse intervalo, tanto o seno como o cosseno são positivos, então

y ' t = 2 sen ⁡ t cos ⁡ t > 0

Como o ponto inicial, ou seja, em t = 0 vai ser

x 0 , y 0 = c o s 2 0 , s e n 2 0 = 1,0

A curva começa em 1,0 e o valor de y vai aumentar.

Então ela está “subindo”.

Passo 8

Esboçar a curva da letra c

Passo 9

Na letra f pelo enunciado temos

y = cos ⁡ 2 t

E ele deu que

x = sen ⁡ t

Então queremos achar uma relação de cos ⁡ 2 t e sen ⁡ t

2 c o s 2 t - 1 = 2 1 - s e n 2 t - 1

Lembrando das relações trigonométricas

c o s 2 t = 2 c o s 2 t - 1

E

c o s 2 t = 1 - s e n 2 t

Podemos usá-las para achar a função de x e y

y = cos ⁡ 2 t = 2 c o s 2 t - 1 = 2 1 - s e n 2 t - 1

Mas

x = sen ⁡ t

Então

y = 2 1 - s e n 2 t - 1 = 2 1 - x 2 - 1

y = 2 - 2 x 2 - 1 = 1 - 2 x ²

Temos a parábola

y = 1 - 2 x ²

Passo 10

Avaliar o intervalo para a curva da letra f:

t ∈ 0 , π 2

Vamos começar olhando o valor de x

x = sen ⁡ t

O seno indo de 0 a π 2 , nos diz que o valor de x vai de 0 à 1 .

Assim,

x ∈ [ 0,1 ]

Passo 11

Vamos olhar o y agora

y = cos ⁡ 2 t

Se

t ∈ 0 , π 2

Então

2 t ∈ 0 , π

Isso nós diz que o y vai de - 1 à 1

y ∈ [ - 1,1 ]

Passo 12

A nossa curva vai ser

Passo 13

Vamos avaliar como varia essa função.

y ' t = - 2 sen ⁡ 2 t

Como

t ∈ 0 , π 2

Então

2 t ∈ 0 , π

Isso nós diz que

sen ⁡ 2 t > 0

Assim

y ' t = - 2 sen ⁡ 2 t < 0

E o valor de y vai estar diminuindo.

A curva vai começar em

x 0 , y 0 = sen ⁡ 0 , cos ⁡ 2.0 = 0,1

Então ela está “descendo”

Resposta

a)

c)

f)

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Seja a curva parametrizada:

σ t = ( cos ⁡ 2 t , sen ⁡ 2 t ,   e t )

t ∈ R +

Faça um esboço da trajetória percorrida pela partícula.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Identificar curva:

Pelas equações paramétricas da curva, podemos ver que

x 2 t + y 2 ( t ) = cos ⁡ 2 t 2 + sen ⁡ 2 t 2

⇒ x 2 t + y 2 ( t ) = 1

z t = e t

Como x 2 t + y 2 ( t ) = constante , então essa é uma helicoidal cilíndrica.

Passo 2

Avaliar z ' ( t ) :

z ' t = e t > 0

Logo, a curva “sobe” com o aumento do parâmetro t

Passo 3

Verificar intervalo e ponto inicial:

t ∈ R +

Vamos calcular o ponto da trajetória correspondente a t = 0 :

σ 0 = 1,0 , 1

Passo 4

Esboçar curva:

Só uma observação: vimos que a curva tem que começar no ponto 1 ,   0 ,   1 e na imagem ela está começando na altura z = 0 . Isso porque é difícil de definir o ponto inicial da curva no programa que a gente usa pra fazer esses gráficos 3D. Enfim, só ficar atento nessa questão do ponto inicial ;)

Resposta

Obs: início no ponto 1 ,   0 ,   1

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Seja a curva parametrizada:

σ t = ( t cos ⁡ t , t sen ⁡ t ,   t )

t ∈ R

Faça um esboço da trajetória percorrida pela partícula.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Identificar curva:

Pelas equações paramétricas da curva, podemos ver que

x 2 t + y 2 ( t ) = t cos ⁡ t 2 + t sen ⁡ t 2

⇒ x 2 t + y 2 ( t ) = t 2

z 2 ( t ) = t 2

Logo:

  x 2 t + y 2 ( t ) = z 2 ( t )

Então essa é uma helicoidal cônica.

Passo 2

Avaliar z ' ( t ) :

z ' t = 1 > 0

Logo, a curva “sobe” com o aumento do parâmetro t

Passo 3

Verificar intervalo e ponto inicial:

t ∈ R

Como t é real, ele varia de - ∞ a + ∞ . Quando t = 0 , a curva passa pelo ponto:

σ 0 = 0,0 , 0

Passo 4

Esboçar curva:

Resposta

Exercício Resolvido #4

USP, Cálculo 2, P1, 2012.2, questão 1a

Esboce a imagem da curva γ   : R → R 2 dada por

γ t = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 , sen 2 ⁡ t - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Numa parametrização, cada coordenada corresponde a uma dimensão da função no plano cartesiano. A primeira coordenada corresponde à componente x , a segunda à componente y , a terceira à z e assim por diante.

Então, podemos dizer que, a para a curva dada:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 y = sen 2 ⁡ t - 1

Passo 2

Na equação de cima, podemos colocar o 2 em evidência no lado direito, e teremos:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 1

Mas cos 2 ⁡ t - 1 = - sen 2 ⁡ t . Então, teremos que:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t

E ainda temos como simplificar isso! Perceba, quando tivermos algo ao quadrado, e do lado duas vezes esse algo, podemos completar quadrados somando e subtraindo o mesmo número. Fica assim:

x = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t + 1 - 1

E perceba que o termos entre parêntesis vale sen 2 ⁡ t - 1 2 :

x = sen 4 ⁡ t - 2 sen 2 ⁡ t + 1 - 1 = sen 2 ⁡ t - 1 2 - 1

E, por fim, sabemos que y = sen 2 ⁡ t - 1 . Assim, temos que:

x = sen 4 ⁡ t + 2 cos 2 ⁡ t - 2 = sen 2 ⁡ t - 1 2 - 1 = y 2 - 1

Ou seja, a parte de cima do sistema é y 2 - 1 , e ele fica:

x = y 2 - 1 y = sen 2 ⁡ t - 1

Passo 3

Legal, agora que temos o x em função do y , sabemos que a parametrização   γ t está sobre a parábola x = y 2 - 1 .

Mas e quanto ao y ? Ele está em função de sen 2 ⁡ t , e essa é uma função limitada (ela nunca é menor que 0 e nem maior que 1 ). Então, a expressão para o y , dada por:

y = sen 2 ⁡ t - 1

sempre vai estar entre - 1 e 0 , pois, como disse, sen 2 ⁡ t está entre 0 e 1 (basta subtrair 1 do maior e menor valor assumido por sen 2 ⁡ t )

Passo 4

Pronto!! Agora sabemos que x = y 2 - 1 , e que y varia entre - 1 e 0 . Logo, a imagem da nossa curva parametrizada é o pedaço da parábola x = y 2 - 1 no qual os valores de y estão entre - 1 e 0 !

A parábola deitada é x = y 2 - 1 e a faixa são os valores de y . A interseção desses dois lugares, é parte da parábola que está dentro da faixa!

Resposta

Parte da parábola dentro da faixa:

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