Parametrizações Clássicas

Teoria Completa

Introdução

Agora que já vimos a ideia de uma curva escrita por uma parametrização, vamos ver como parametrizamos uma curva qualquer. Para isso vamos passar pelas parametrizações clássicas que vão aparecer

Reta

A equação paramétrica da reta requer duas coisas:

  1. Um ponto P 0 conhecido da reta
  2. Um vetor n → da direção da reta

A parametrização da reta é dada, então, por

r t = P 0 + n → t

t ∈ R

Exemplo:

Qual é a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto ( 1,1 , 1 ) e está na direção do vetor ( 1 ,   2 ,   3 ) ?

P 0 = ( 1 ,   1 ,   1 )

n → = ( 1 ,   2 ,   3 )

Logo:

r t = 1 ,   1 ,   1 + 1 ,   2 ,   3 t

r t = 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 3 t ,     t ∈ R

Repara que eu disse que o intervalo de variação do parâmetro t era todos os números reais. Mas se fosse um segmento de reta, esse intervalo seria limitado, concorda? Porque não seria mais a reta inteira, e sim uma parte dela.

Então, para parametrizar um segmento de reta, do que a gente precisa?

De dois pontos P 0 e Q 0 que pertencem a reta e que vão definir o vetor n → que está na direção da reta.

Assim:

Qual é a parametrização do segmento de reta que passa pelo ponto 1,1 , 1 e pelo ponto ( 2,3 , 4 ) ?

P 0 = ( 1 ,   1 ,   1 )

n → = Q 0 - P 0 = 2,3 , 4 - 1 ,   1 ,   1 = ( 1,2 , 3 )

Logo:

r t = 1 ,   1 ,   1 + 1 ,   2 ,   3 t

r t = 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 3 t ,     t ∈ [ 0,1 ]

Portanto, a parametrização do segmento de reta é dada, então, por

r t = P 0 + ( Q 0 - P 0 ) t

t ∈ [ a , b ]

Elipse e circunferência

Você se lembra da equação da circunferência?

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 4

Todas essas são circunferências centradas na origem, isso porque só aparece o x 2 e y 2 . Além disso, a primeira tem raio 1 e a segunda raio 4 .

Assim, podemos dizer que

C 1 = C 2 = 0,0

São os centros da circunferência, e

r 1 = 1

r 2 = 2

São os seus raios.

Se mudarmos o centro da circunferência para um ponto 1,2 , por exemplo, aquelas duas equações ficariam

x - 1 2 + y - 2 2 = 1

x - 1 2 + y - 2 2 = 4

Podemos escrever a equação da circunferência de forma mais geral

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Com centro C = x 0 , y 0 e raio r

Repara que independente do centro, independente do raio, essa equação é sempre a soma de dois números ao quadrado.

Para a parametrização, vamos comparar isso com a equação trigonométrica que mais aparece por aí

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

A diferença aqui é que, na circunferência, teremos um igual ao r 2 .

Se dividirmos a equação da circunferência por r 2 vamos ter

x - x 0 r 2 + y - y 0 r 2 = 1

Agora comparando as equações, repara que

x - x 0 r = cos ⁡ t

E

y - y 0 r = sen ⁡ t

Isolando esse x e y

x t = x 0 + r cos ⁡ t

y t = y 0 + r sen ⁡ t

Mas falta o intervalo de t . Sempre que parametrizamos alguma coisa, precisamos colocar esse intervalo.

Queremos rodar a circunferência toda, pensando no ângulo, iriamos de 0 ° à 360 ° .

Colocando em radianos, teremos

t ∈ 0,2 π

Agora vamos ver a elipse. Uma delas é essa aqui:

x - 1 2 4 + y - 1 2 9 = 1

Para entender a parametrização dessa elipse, vamos começar escrevendo aquele 4 como 2 2 , e depois escrevendo aquele 9 como 3 2 .

A nossa elipse vai ficar

x - 1 2 2 2 + y - 1 2 3 2 = 1

Repara que temos a soma de duas parcelas ao quadrado, que dão 1 :

  x - 1 2 2 + y - 1 3 2 = 1

Lembra de uma relação trigonométrica que é parecida? É essa aqui debaixo:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Então, parece uma boa igualar essas coisas que estão ao quadrado:

x - 1 2 = cos ⁡ t

y - 1 3 = sen ⁡ t

Isolando o x e o y , vamos ter

x t = 1 + 2 cos ⁡ t

y t = 1 + 3 sen ⁡ t

Pensando do mesmo jeito que a circunferência, teremos

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Pronto! Agora você já sabe que a elipse:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

tem a seguinte parametrização:

x t = x 0 + a cos ⁡ t

y t = y 0 + b sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Esse intervalo, significa que a elipse dá uma volta completa. Poderia dar 2 voltas, ai seria

t ∈ [ 0 ,   4 π ]

Ou 3 voltas:

t ∈ 0 ,   6 π

E assim por diante.

As vezes a equação não vem arrumadinha, então precisamos arrumar ela primeiro completando quadrados, vamos ver um exemplo.

Parametrize o círculo C : x 2 + y 2 - 4 x - 6 y = 12 .

Vamos completar quadrados para aparecer x - x 0 2 e y - y 0 2 :

x 2 + y 2 - 4 x - 6 y = 12

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 6 y + 9 = 12 + 4 + 9

x - 2 2 + y - 3 2 = 25

Logo, C é o círculo de centro em ( 2,3 ) e raio r = 5 .

As equações paramétricas são, então:

x t = 2 + 5 cos ⁡ t

y t = 3 + 5 s e n t

t ∈ [ 0,2 π ]

Uma coisa que pode acontecer é definirem uma orientação pra sua curva. Fazendo t ∈ 0 ,   2 π (isto é, começando do ponto ( 1,0 ) , como se estivéssemos no círculo trigonométrico), com cos ⁡ t na componente x e sen ⁡ t na componente y , estamos sempre girando no sentido anti-horário. Então, se ele pedir uma elipse parametrizada no sentido horário, temos que inverter os sinais da nossa parametrização.

Mas como vai acontecer essa inversão? É pra mudar o sinal do cos ⁡ t ou do sen ⁡ t ? Aí eu te respondo a resposta mais temida: depende. Depende de como as variáveis vão se comportar. Por exemplo, girando no sentido anti-horário, a trajetória caminha em direção ao sentido negativo do eixo x e ao sentido positivo do eixo y . E nesse caso, tanto cos ⁡ t quanto sen ⁡ t tem sinais positivos na parametrização. A partir disso, você terá que observar se, do ponto que a trajetória começa, ela caminha na direção positiva ou negativa do x e do y e aí mudar o sinal do cos ⁡ t e/ou do sen ⁡ t .

E ainda pode acontecer dele pedir um ponto específico pra começar a parametrização. Como assim?? Calma, vamos ver um exemplo. Inclusive podemos aproveitar pra misturar tudo que vimos até aqui.

Exemplo: Uma partícula se move ao longo da elipse 4 x 2 + y 2 - 8 y = 9 da seguinte forma: ela começa no ponto - 5 2 ,   4 , dá 3 voltas no sentido horário, e depois uma volta e meia no sentido anti-horário. Parametrize a trajetória da partícula.

Passo 1: Parametrizar a elipse

Isso é a primeira coisa a ser feita, depois a gente se preocupa com as aventuras dessa partícula. Temos que completar quadrados:

4 x 2 + y 2 - 8 y = 9

2 x 2 + y - 4 2 - 16 = 9

2 x 2 + y - 4 2 = 25 = 5 2

⇒ 2 x 5 2 + y - 4 5 2 = 1

Então a parametrização da elipse é:

x = 5 2 cos ⁡ t y = 5 sen ⁡ t + 4

Passo 2: Identificar o tempo inicial t 0 em que a partícula começa a trajetória

O ponto inicial é - 5 2 ,   4 , ou seja, a função em t 0 vai ser esse ponto:

x t 0 ,   y t 0 = - 5 2 ,   4

Aqui, temos que pegar aquela parametrização de x e y e jogar t = t 0

5 2 cos ⁡ t 0 , 5 sen ⁡ t 0 + 4 = - 5 2 ,   4

Igualando as componentes, vamos ter

5 2 cos ⁡ t 0 = - 5 2 5 sen ⁡ t 0 + 4 = 4

Arrumando isso, vamos ter

cos ⁡ t 0 = - 1 sen ⁡ t 0 = 0

O ponto que tem esse cosseno e esse seno é o ponto t 0 = π