Teoria Completa
Introdução
Agora que já vimos a ideia de uma curva escrita por uma parametrização, vamos ver como parametrizamos uma curva qualquer. Para isso vamos passar pelas parametrizações clássicas que vão aparecer
Reta
A equação paramétrica da reta requer duas coisas:
- Um ponto conhecido da reta
- Um vetor da direção da reta
A parametrização da reta é dada, então, por
Exemplo:
Qual é a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto e está na direção do vetor ?
Logo:
Repara que eu disse que o intervalo de variação do parâmetro era todos os números reais. Mas se fosse um segmento de reta, esse intervalo seria limitado, concorda? Porque não seria mais a reta inteira, e sim uma parte dela.
Então, para parametrizar um segmento de reta, do que a gente precisa?
De dois pontos e que pertencem a reta e que vão definir o vetor que está na direção da reta.
Assim:
Qual é a parametrização do segmento de reta que passa pelo ponto e pelo ponto ?
Logo:
Portanto, a parametrização do segmento de reta é dada, então, por
Elipse e circunferência
Você se lembra da equação da circunferência?
Todas essas são circunferências centradas na origem, isso porque só aparece o e . Além disso, a primeira tem raio e a segunda raio .
Assim, podemos dizer que
São os centros da circunferência, e
São os seus raios.
Se mudarmos o centro da circunferência para um ponto , por exemplo, aquelas duas equações ficariam
Podemos escrever a equação da circunferência de forma mais geral
Com centro e raio
Repara que independente do centro, independente do raio, essa equação é sempre a soma de dois números ao quadrado.
Para a parametrização, vamos comparar isso com a equação trigonométrica que mais aparece por aí
A diferença aqui é que, na circunferência, teremos um igual ao .
Se dividirmos a equação da circunferência por vamos ter
Agora comparando as equações, repara que
E
Isolando esse e
Mas falta o intervalo de . Sempre que parametrizamos alguma coisa, precisamos colocar esse intervalo.
Queremos rodar a circunferência toda, pensando no ângulo, iriamos de à .
Colocando em radianos, teremos
Agora vamos ver a elipse. Uma delas é essa aqui:
Para entender a parametrização dessa elipse, vamos começar escrevendo aquele como , e depois escrevendo aquele como .
A nossa elipse vai ficar
Repara que temos a soma de duas parcelas ao quadrado, que dão :
Lembra de uma relação trigonométrica que é parecida? É essa aqui debaixo:
Então, parece uma boa igualar essas coisas que estão ao quadrado:
Isolando o e o , vamos ter
Pensando do mesmo jeito que a circunferência, teremos
Pronto! Agora você já sabe que a elipse:
tem a seguinte parametrização:
Esse intervalo, significa que a elipse dá uma volta completa. Poderia dar 2 voltas, ai seria
Ou 3 voltas:
E assim por diante.
As vezes a equação não vem arrumadinha, então precisamos arrumar ela primeiro completando quadrados, vamos ver um exemplo.
Parametrize o círculo C : .
Vamos completar quadrados para aparecer e :
Logo, C é o círculo de centro em e raio .
As equações paramétricas são, então:
Uma coisa que pode acontecer é definirem uma orientação pra sua curva. Fazendo (isto é, começando do ponto , como se estivéssemos no círculo trigonométrico), com na componente e na componente , estamos sempre girando no sentido anti-horário. Então, se ele pedir uma elipse parametrizada no sentido horário, temos que inverter os sinais da nossa parametrização.
Mas como vai acontecer essa inversão? É pra mudar o sinal do ou do ? Aí eu te respondo a resposta mais temida: depende. Depende de como as variáveis vão se comportar. Por exemplo, girando no sentido anti-horário, a trajetória caminha em direção ao sentido negativo do eixo e ao sentido positivo do eixo . E nesse caso, tanto quanto tem sinais positivos na parametrização. A partir disso, você terá que observar se, do ponto que a trajetória começa, ela caminha na direção positiva ou negativa do e do e aí mudar o sinal do e/ou do .
E ainda pode acontecer dele pedir um ponto específico pra começar a parametrização. Como assim?? Calma, vamos ver um exemplo. Inclusive podemos aproveitar pra misturar tudo que vimos até aqui.
Exemplo: Uma partícula se move ao longo da elipse da seguinte forma: ela começa no ponto , dá 3 voltas no sentido horário, e depois uma volta e meia no sentido anti-horário. Parametrize a trajetória da partícula.
Passo 1: Parametrizar a elipse
Isso é a primeira coisa a ser feita, depois a gente se preocupa com as aventuras dessa partícula. Temos que completar quadrados:
Então a parametrização da elipse é:
Passo 2: Identificar o tempo inicial em que a partícula começa a trajetória
O ponto inicial é , ou seja, a função em vai ser esse ponto:
Aqui, temos que pegar aquela parametrização de e e jogar
Igualando as componentes, vamos ter
Arrumando isso, vamos ter
O ponto que tem esse cosseno e esse seno é o ponto
Ótimo, então a partícula começa a trajetória no tempo .
Passo 3: Definir em que intervalo vai variar o parâmetro
Primeiramente vamos dividir o movimento da partícula em dois: primeiro ela dá 3 voltas no sentido horário, depois uma volta e meia no sentido anti-horário.
Então vamos começar pela primeira parte da trajetória.
Como vimos antes, pra uma volta completa o intervalo de variação de costuma ser . E pra 3 voltas é . Só que aqui como estamos começando em , vamos ter que deslocar esse intervalo de . Sacou? Da mesma forma vamos ter uma rotação de , a única diferença é que começamos em .
Então pra essa primeira parte da trajetória temos .
E na segunda parte da trajetória, a partícula dá uma volta e meia, o que corresponde a uma rotação de . Como terminamos as 3 voltas iniciais em , pra essa segunda parte vamos ter .
Beleza, então resumindo o que determinamos nesse passo:
- 1ª parte da trajetória:
- 2ª parte da trajetória:
Passo 4: Definir qual é o sinal da parametrização
Basicamente, nesse caso, temos:
- sentido anti-horário sinal positivo para o seno em
- sentido horário sinal negativo para o seno em
Lembrando que a parametrização da nossa elipse é:
Essa parametrização corresponde a uma rotação no sentido anti-horário, então vamos usá-la pra 2ª parte da trajetória.
Na 1ª parte a partícula se desloca no sentido horário, então temos que trocar o sinal.
Atenção!! Repare que eu só troquei o sinal do seno! Se a gente botasse em vez de essa não seria mais uma parametrização pra nossa elipse. Esse aparece porque a elipse está deslocada no eixo , ele não tem nada a ver com o sentido de rotação. É bem importante entender isso! :)
Enfim, então agora acabou! Concluímos que a trajetória da partícula pode ser descrita pela parametrização:
Funções explícitas
Nos casos em que a curva C é o gráfico de uma função de uma variável , temos que uma parametrização natural é:
Exemplo:
Parametrize a parábola P:
Se isolarmos o , temos:
Assim, a parametrização é:
Hipérbole
Lembra da equação geral da hipérbole centrada em ? Não? Tudo bem, eu te lembro:
Hum, agora o que que quando elevado ao quadrado e subtraído da 1? Cosseno hiperbólico e seno hiperbólico!
Relaxa, eu sei que isso não é óbvio porque possivelmente você nem lembra o que são essas coisas. Mas não tem problema porque eu vou te lembrar:
Se liga que a subtração dessa duas funções ao quadrado vai dar
Para todo .
Assim, como para todo , temos que a parametrização da hipérbole centrada em é:
Para o ramo da hipérbole situada em
E
Para o ramo da hipérbole situada em .
Precisamos de das funções para representar a hipérbole, mas normalmente escrevemos assim
Agora, se considerarmos a hipérbole
Temos que sua parametrização é:
Mas fica ligado porque pode rolar uma pegadinha do malandro nisso aí: a ordem do e podem estar trocadas na equação geral da hipérbole. Assim:
Nesse caso,
O macete é pensar que o que vem antes do sinal de menos, fica com o e o que vem depois do sinal de menos, fica com o .
Se liga também que diferente de quando usamos o e o normais, aqui o varia de até ! Não mais de até !
Tranquilo? Aqui vão ter casos que vamos precisar completar quadrados também.
Exemplo:
Parametrize a hipérbole .
Completando quadrados, temos:
A parametrização é, portanto:
Vamos aos exercícios agora?!
Exercício Resolvido #1
Dê a parametrização para cada uma das curvas:
- A reta
- A parábola
- A circunferência
- A elipse
- O ramo da hipérbole
- A reta
Passo 1
Para a reta podemos isolar o :
E usar a parametrização natural:
Mas também podemos ver que os pontos e pertencem a reta e o vetor diretor é . Assim, essa reta também pode ser parametrizada como:
Passo 2
Para a parábola também podemos isolar o :
E usar a parametrização natural:
Passo 3
Para a circunferência sabemos que a parametrização é:
Passo 4
Para a elipse , sabemos que a parametrização é:
pois
Passo 5
Para o ramo da hipérbole , sabemos que a parametrização da hipérbole é:
Passo 6
Para a reta , podemos fazer:
Assim:
Logo:
A parametrização dessa reta é então:
Resposta
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