Parametrizações Clássicas

Teoria Completa

Introdução

Agora que já vimos a ideia de uma curva escrita por uma parametrização, vamos ver como parametrizamos uma curva qualquer. Para isso vamos passar pelas parametrizações clássicas que vão aparecer

Reta

A equação paramétrica da reta requer duas coisas:

  1. Um ponto P 0 conhecido da reta
  2. Um vetor n → da direção da reta

A parametrização da reta é dada, então, por

r t = P 0 + n → t

t ∈ R

Exemplo:

Qual é a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto ( 1,1 , 1 ) e está na direção do vetor ( 1 ,   2 ,   3 ) ?

P 0 = ( 1 ,   1 ,   1 )

n → = ( 1 ,   2 ,   3 )

Logo:

r t = 1 ,   1 ,   1 + 1 ,   2 ,   3 t

r t = 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 3 t ,     t ∈ R

Repara que eu disse que o intervalo de variação do parâmetro t era todos os números reais. Mas se fosse um segmento de reta, esse intervalo seria limitado, concorda? Porque não seria mais a reta inteira, e sim uma parte dela.

Então, para parametrizar um segmento de reta, do que a gente precisa?

De dois pontos P 0 e Q 0 que pertencem a reta e que vão definir o vetor n → que está na direção da reta.

Assim:

Qual é a parametrização do segmento de reta que passa pelo ponto 1,1 , 1 e pelo ponto ( 2,3 , 4 ) ?

P 0 = ( 1 ,   1 ,   1 )

n → = Q 0 - P 0 = 2,3 , 4 - 1 ,   1 ,   1 = ( 1,2 , 3 )

Logo:

r t = 1 ,   1 ,   1 + 1 ,   2 ,   3 t

r t = 1 + t ,   1 + 2 t ,   1 + 3 t ,     t ∈ [ 0,1 ]

Portanto, a parametrização do segmento de reta é dada, então, por

r t = P 0 + ( Q 0 - P 0 ) t

t ∈ [ a , b ]

Elipse e circunferência

Você se lembra da equação da circunferência?

x 2 + y 2 = 1

x 2 + y 2 = 4

Todas essas são circunferências centradas na origem, isso porque só aparece o x 2 e y 2 . Além disso, a primeira tem raio 1 e a segunda raio 4 .

Assim, podemos dizer que

C 1 = C 2 = 0,0

São os centros da circunferência, e

r 1 = 1

r 2 = 2

São os seus raios.

Se mudarmos o centro da circunferência para um ponto 1,2 , por exemplo, aquelas duas equações ficariam

x - 1 2 + y - 2 2 = 1

x - 1 2 + y - 2 2 = 4

Podemos escrever a equação da circunferência de forma mais geral

x - x 0 2 + y - y 0 2 = r 2

Com centro C = x 0 , y 0 e raio r

Repara que independente do centro, independente do raio, essa equação é sempre a soma de dois números ao quadrado.

Para a parametrização, vamos comparar isso com a equação trigonométrica que mais aparece por aí

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

A diferença aqui é que, na circunferência, teremos um igual ao r 2 .

Se dividirmos a equação da circunferência por r 2 vamos ter

x - x 0 r 2 + y - y 0 r 2 = 1

Agora comparando as equações, repara que

x - x 0 r = cos ⁡ t

E

y - y 0 r = sen ⁡ t

Isolando esse x e y

x t = x 0 + r cos ⁡ t

y t = y 0 + r sen ⁡ t

Mas falta o intervalo de t . Sempre que parametrizamos alguma coisa, precisamos colocar esse intervalo.

Queremos rodar a circunferência toda, pensando no ângulo, iriamos de 0 ° à 360 ° .

Colocando em radianos, teremos

t ∈ 0,2 π

Agora vamos ver a elipse. Uma delas é essa aqui:

x - 1 2 4 + y - 1 2 9 = 1

Para entender a parametrização dessa elipse, vamos começar escrevendo aquele 4 como 2 2 , e depois escrevendo aquele 9 como 3 2 .

A nossa elipse vai ficar

x - 1 2 2 2 + y - 1 2 3 2 = 1

Repara que temos a soma de duas parcelas ao quadrado, que dão 1 :

  x - 1 2 2 + y - 1 3 2 = 1

Lembra de uma relação trigonométrica que é parecida? É essa aqui debaixo:

cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 1

Então, parece uma boa igualar essas coisas que estão ao quadrado:

x - 1 2 = cos ⁡ t

y - 1 3 = sen ⁡ t

Isolando o x e o y , vamos ter

x t = 1 + 2 cos ⁡ t

y t = 1 + 3 sen ⁡ t

Pensando do mesmo jeito que a circunferência, teremos

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Pronto! Agora você já sabe que a elipse:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

tem a seguinte parametrização:

x t = x 0 + a cos ⁡ t

y t = y 0 + b sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Esse intervalo, significa que a elipse dá uma volta completa. Poderia dar 2 voltas, ai seria

t ∈ [ 0 ,   4 π ]

Ou 3 voltas:

t ∈ 0 ,   6 π

E assim por diante.

As vezes a equação não vem arrumadinha, então precisamos arrumar ela primeiro completando quadrados, vamos ver um exemplo.

Parametrize o círculo C : x 2 + y 2 - 4 x - 6 y = 12 .

Vamos completar quadrados para aparecer x - x 0 2 e y - y 0 2 :

x 2 + y 2 - 4 x - 6 y = 12

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 6 y + 9 = 12 + 4 + 9

x - 2 2 + y - 3 2 = 25

Logo, C é o círculo de centro em ( 2,3 ) e raio r = 5 .

As equações paramétricas são, então:

x t = 2 + 5 cos ⁡ t

y t = 3 + 5 s e n t

t ∈ [ 0,2 π ]

Uma coisa que pode acontecer é definirem uma orientação pra sua curva. Fazendo t ∈ 0 ,   2 π (isto é, começando do ponto ( 1,0 ) , como se estivéssemos no círculo trigonométrico), com cos ⁡ t na componente x e sen ⁡ t na componente y , estamos sempre girando no sentido anti-horário. Então, se ele pedir uma elipse parametrizada no sentido horário, temos que inverter os sinais da nossa parametrização.

Mas como vai acontecer essa inversão? É pra mudar o sinal do cos ⁡ t ou do sen ⁡ t ? Aí eu te respondo a resposta mais temida: depende. Depende de como as variáveis vão se comportar. Por exemplo, girando no sentido anti-horário, a trajetória caminha em direção ao sentido negativo do eixo x e ao sentido positivo do eixo y . E nesse caso, tanto cos ⁡ t quanto sen ⁡ t tem sinais positivos na parametrização. A partir disso, você terá que observar se, do ponto que a trajetória começa, ela caminha na direção positiva ou negativa do x e do y e aí mudar o sinal do cos ⁡ t e/ou do sen ⁡ t .

E ainda pode acontecer dele pedir um ponto específico pra começar a parametrização. Como assim?? Calma, vamos ver um exemplo. Inclusive podemos aproveitar pra misturar tudo que vimos até aqui.

Exemplo: Uma partícula se move ao longo da elipse 4 x 2 + y 2 - 8 y = 9 da seguinte forma: ela começa no ponto - 5 2 ,   4 , dá 3 voltas no sentido horário, e depois uma volta e meia no sentido anti-horário. Parametrize a trajetória da partícula.

Passo 1: Parametrizar a elipse

Isso é a primeira coisa a ser feita, depois a gente se preocupa com as aventuras dessa partícula. Temos que completar quadrados:

4 x 2 + y 2 - 8 y = 9

2 x 2 + y - 4 2 - 16 = 9

2 x 2 + y - 4 2 = 25 = 5 2

⇒ 2 x 5 2 + y - 4 5 2 = 1

Então a parametrização da elipse é:

x = 5 2 cos ⁡ t y = 5 sen ⁡ t + 4

Passo 2: Identificar o tempo inicial t 0 em que a partícula começa a trajetória

O ponto inicial é - 5 2 ,   4 , ou seja, a função em t 0 vai ser esse ponto:

x t 0 ,   y t 0 = - 5 2 ,   4

Aqui, temos que pegar aquela parametrização de x e y e jogar t = t 0

5 2 cos ⁡ t 0 , 5 sen ⁡ t 0 + 4 = - 5 2 ,   4

Igualando as componentes, vamos ter

5 2 cos ⁡ t 0 = - 5 2 5 sen ⁡ t 0 + 4 = 4

Arrumando isso, vamos ter

cos ⁡ t 0 = - 1 sen ⁡ t 0 = 0

O ponto que tem esse cosseno e esse seno é o ponto t 0 = π

Ótimo, então a partícula começa a trajetória no tempo t = π .

Passo 3: Definir em que intervalo vai variar o parâmetro t

Primeiramente vamos dividir o movimento da partícula em dois: primeiro ela dá 3 voltas no sentido horário, depois uma volta e meia no sentido anti-horário.

Então vamos começar pela primeira parte da trajetória.

Como vimos antes, pra uma volta completa o intervalo de variação de t costuma ser 0 ,   2 π . E pra 3 voltas é 0 ,   6 π . Só que aqui como estamos começando em t = π , vamos ter que deslocar esse intervalo de π . Sacou? Da mesma forma vamos ter uma rotação de 6 π , a única diferença é que começamos em π .

Então pra essa primeira parte da trajetória temos t ∈ 0 + π ,   6 π + π = [ π ,   7 π ] .

E na segunda parte da trajetória, a partícula dá uma volta e meia, o que corresponde a uma rotação de 3 π . Como terminamos as 3 voltas iniciais em t = 7 π , pra essa segunda parte vamos ter t ∈ 7 π ,   10 π .

Beleza, então resumindo o que determinamos nesse passo:

  • 1ª parte da trajetória: t ∈ π ,   7 π
  • 2ª parte da trajetória: t ∈ 7 π ,   10 π

Passo 4: Definir qual é o sinal da parametrização

Basicamente, nesse caso, temos:

  • sentido anti-horário sinal positivo para o seno em y
  • sentido horário sinal negativo para o seno em y

Lembrando que a parametrização da nossa elipse é:

x = 5 2 cos ⁡ t y = 5 sen ⁡ t + 4

Essa parametrização corresponde a uma rotação no sentido anti-horário, então vamos usá-la pra 2ª parte da trajetória.

Na 1ª parte a partícula se desloca no sentido horário, então temos que trocar o sinal.

x = 5 2 cos ⁡ t y = - 5 sen ⁡ t + 4

Atenção!! Repare que eu só troquei o sinal do seno! Se a gente botasse - 4 em vez de + 4 essa não seria mais uma parametrização pra nossa elipse. Esse 4 aparece porque a elipse está deslocada no eixo y , ele não tem nada a ver com o sentido de rotação. É bem importante entender isso! :)

Enfim, então agora acabou! Concluímos que a trajetória da partícula pode ser descrita pela parametrização:

x = 5 2 cos ⁡ t y = - 5 sen ⁡ t + 4 ,   t ∈ π ,   7 π

x = 5 2 cos ⁡ t y = 5 sen ⁡ t + 4 ,   t ∈ 7 π ,   10 π

Funções explícitas

Nos casos em que a curva C é o gráfico de uma função de uma variável y = f ( x ) , temos que uma parametrização natural é:

x t = t

y t = f t

t ∈ R

Exemplo:

Parametrize a parábola P:   y 2 - 2 x + 4 y = 0 .

Se isolarmos o x , temos:

x = y 2 2 + 2 y

Assim, a parametrização é:

x t = t 2 2 + 2 t

y t = t

t ∈ R

Hipérbole

Lembra da equação geral da hipérbole centrada em ( x 0 , y 0 ) ? Não? Tudo bem, eu te lembro:

x - x 0 2 - y - y 0 2 = 1

Hum, agora o que que quando elevado ao quadrado e subtraído da 1? Cosseno hiperbólico e seno hiperbólico!

Relaxa, eu sei que isso não é óbvio porque possivelmente você nem lembra o que são essas coisas. Mas não tem problema porque eu vou te lembrar:

cosh ⁡ t = e t + e - t 2

senh ⁡ t = e t - e - t 2

Se liga que a subtração dessa duas funções ao quadrado vai dar

cosh ⁡ t 2 - s e n h t 2 = e t + e - t 2 2 - e t - e - t 2 2 = 1

Para todo t ∈ R .

Assim, como cosh ⁡ t > 0 para todo t ∈ R , temos que a parametrização da hipérbole centrada em ( x 0 , y 0 ) é:

x t = cosh ⁡ t + x 0

y t = s e n h t + y 0

t ∈ R

Para o ramo da hipérbole H situada em x > 0

E

x t = - cosh ⁡ t + x 0

y t = s e n h t + y 0

t ∈ R

Para o ramo da hipérbole H situada em x < 0 .

Precisamos de das funções para representar a hipérbole, mas normalmente escrevemos assim

σ t = ± cosh ⁡ t + x 0 , senh ⁡ t + y 0

Agora, se considerarmos a hipérbole

H :   x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

Temos que sua parametrização é:

x t = a cosh ⁡ t + x 0

y t = b senh ⁡ t + y 0

t ∈ R

Mas fica ligado porque pode rolar uma pegadinha do malandro nisso aí: a ordem do x e y podem estar trocadas na equação geral da hipérbole. Assim:

y - y 0 2 a 2 - x - x 0 2 b 2 = 1

Nesse caso,

x t = b senh ⁡ t + x 0

y t = a cosh ⁡ t + y 0

t ∈ R

O macete é pensar que o que vem antes do sinal de menos, fica com o c o s h e o que vem depois do sinal de menos, fica com o s e n h .

Se liga também que diferente de quando usamos o cos ⁡ t e o s e n t normais, aqui o t varia de - ∞ até + ∞ ! Não mais de 0 até 2 π !

Tranquilo? Aqui vão ter casos que vamos precisar completar quadrados também.

Exemplo:

Parametrize a hipérbole H : x 2 - 4 y 2 + 2 x - 8 y = 7 .

Completando quadrados, temos:

x 2 - 4 y 2 + 2 x - 8 y = 7

x + 1 2 - 4 y + 1 2 = 7 + 1 - 4 = 4

x + 1 2 4 - y + 1 2 = 1

A parametrização é, portanto:

x t = ± 2 cosh ⁡ t - 1

y t = 1 senh ⁡ t - 1

t ∈ R

Vamos aos exercícios agora?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.12. questão 3.

Dê a parametrização para cada uma das curvas:

  1. A reta 2 x - 3 y = 6
  2. A parábola x 2 = 4 a y
  3. A circunferência x - a 2 + y - b 2 = r ²
  4. A elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ,   x ≥ 0
  5. O ramo da hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ,   x ≥ a
  6. A reta x - 1 2 = y + 1 3 = z - 1 2
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a )

Para a reta 2 x - 3 y = 6 podemos isolar o y :

y = 2 3 x - 2

E usar a parametrização natural:

x t = t

y t = 2 3 t - 2

t ∈ R

Mas também podemos ver que os pontos 3,0 e 0 , - 2 pertencem a reta e o vetor diretor é n → = 3 - 0,0 - - 2 = ( 3,2 ) . Assim, essa reta também pode ser parametrizada como:

x t = 3 t

y t = 2 t - 2

t ∈ R

Passo 2

b )

Para a parábola x 2 = 4 a y também podemos isolar o y :

y = x 2 4 a

E usar a parametrização natural:

x t = t

y t = t 2 4 a

t ∈ R

Passo 3

c )

Para a circunferência x - a 2 + y - b 2 = r ² sabemos que a parametrização é:

x t = a + r cos ⁡ t

y t = b + r sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Passo 4

d )

Para a elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 , sabemos que a parametrização é:

x t = a cos ⁡ t

y t = b sen ⁡ t

t ∈ [ - π 2 , π 2 ] pois x ≥ 0

Passo 5

e )

Para o ramo da hipérbole x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1 ,   x ≥ a , sabemos que a parametrização da hipérbole é:

x t = acosh ⁡ t

y t = b s e n h t

t ∈ R

Passo 6

f )

Para a reta x - 1 2 = y + 1 3 = z - 1 2 , podemos fazer:

x - 1 2 = y + 1 3 = z - 1 2 = t

Assim:

x - 1 2 = t

y + 1 3 = t

z - 1 2 = t

Logo:

x t = 2 t + 1

y t = 3 t - 1

z t = 2 t + 1

A parametrização dessa reta é então:

x t = 2 t + 1

y t = 3 t - 1

z t = 2 t + 1

t ∈ R

Resposta

  1. x t = 3 t ,   y t = 2 t - 2 , t ∈ R
  2. x t = t , y t = t 2 4 a , t ∈ R
  3. x t = a + r cos ⁡ t , y t = b + r sen ⁡ t , t ∈ [ 0 ,   2 π ]
  4. x t = a cos ⁡ t , y t = b sen ⁡ t , t ∈ [ - π 2 , π 2 ]