Plano Normal a Curva

Teoria Completa

Equação do plano normal

Imagine a seguinte questão:

Encontre o plano normal à curva σ t = ( t 2 + 1 ,   2 + ln ⁡ ( t + 1 ) ,   e t ) no ponto ( 1,2 , 1 ) .

Vamos ver o passo a passo de como resolver isso.

  1. Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ t 0 = ( 1,2 , 1 ) :
  2. σ t 0 = ( 1,2 , 1 )

    ⇒ t 0 2 + 1 ,   2 + ln ⁡ t 0 + 1 ,   e t 0 = ( 1,2 , 1 )

    Comparando a terceira componente, temos que a exponencial só sera 1 se seu argumento for 0. Portanto,

    t 0 = 0

  3. Calcular σ ' ( t ) :
  4. σ ' t = 2 t ,   1 t + 1 ,   e t

  5. Calcular σ ' ( t 0 ) :
  6. t 0 = 0

    σ ' 0 = ( 0,1 , 1 )

  7. Temos um ponto P 0 = 1 , 2,1 , pertencente ao plano, e temos o vetor tangente a curva nesse ponto: σ ' 0 = ( 0,1 , 1 ) . Perceba que esse vetor tangente a curva é ortogonal ao plano normal a curva naquele ponto.

Logo, a equação do plano normal será:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ σ ' t 0 = 0

x - 1 , y - 2 , z - 1 ⋅ 0,1 , 1 = 0

⇒ 0 x - 1 + 1 y - 2 + 1 z - 1 = 0

⇒ y + z = 3

Esse é o plano normal à curva no ponto ( 1 , 2,1 ) .

Então, o nosso passo a passo fica:

  1. Encontrar t 0 correspondente ao ponto dado no enunciado ou vice-versa
  2. Calcular σ ' ( t )
  3. Calcular σ ' t 0
  4. Substituir na equação do plano normal a curva x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ σ ' t 0 = 0  

Bora exercitar!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine a equação paramétrica da reta tangente e a equação do plano normal à trajetória da curva dada, no ponto dado:

σ t = ( t 2 ,   t )

P 0 = 1 ,   1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ ( t 0 ) ou vice-versa:

Neste caso, temos o ponto, então devemos encontrar t 0 :

σ t 0 = 1 ,   1

⇒ t 0 2 ,   t 0 = 1 ,   1

Igualando as coordenadas, temos que:

t 0 = 1

Passo 2

Calcular σ ' ( t ) :

σ ' t = 2 t ,   1

Passo 3

Calcular σ ' t 0 :

t 0 = 1

σ ' t 0 = σ ' 1 = 2.1 ,   1

⇒ σ ' 1 = 2 ,   1

Passo 4

Reta tangente:

Substituir em r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t :

r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t

r t = 1 ,   1 + 2 ,   1 ⋅ t

r t = 1 + 2 t ,   1 + t

Passo 5

Plano normal:

x - x 0 ,   y - y 0 ⋅ σ ' t 0 = 0

x - 1 ,   y - 1 ⋅ 2 ,   1 = 0

2 ( x - 1 ) + 1 ( y - 1 ) = 0

⇒ 2 x + y = 3

Resposta

Reta tangente:

r t = 1 + 2 t ,   1 + t

  t ∈ R

Plano normal:

2 x + y = 3

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Determine as equações da reta tangente e do plano normal à curva:

σ t = e t - e - t ,   1 - sen ⁡ 2 t , ln ⁡ t 2 + 1

no ponto:

P = 0 ,   1 ,   0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ ( t 0 ) ou vice-versa:

P = 0 ,   1 ,   0

Neste caso, temos o ponto, então devemos encontrar t 0 :

σ t 0 = P

e t 0 - e - t 0 ,   1 - sen ⁡ 2 t 0 , ln ⁡ t 0 2 + 1 = 0 ,   1 ,   0

Igualando as três coordenadas:

e t 0 - e - t 0 = 0

1 - sen ⁡ 2 t 0 = 1

ln ⁡ t 0 2 + 1 = 0

Analisando a terceira equação: para o log ser 0 o argumento deve ser 1, ou seja

t 0 2 + 1 = 1 → t 0 2 = 0

Portanto,

t 0 = 0

Passo 2

Calcular σ ' ( t ) :

σ t = e t - e - t ,   1 - sen ⁡ 2 t , ln ⁡ t 2 + 1

⇒ σ ' t = e t + e - t ,   - 2 cos ⁡ 2 t , 2 t t 2 + 1

Passo 3

Calcular σ ' t 0 :

t 0 = 0

σ ' t = e t + e - t ,   - 2 cos ⁡ 2 t , 2 t t 2 + 1

⇒ σ ' 0 = e 0 + e - 0 ,   - 2 cos ⁡ 2 0 , 2 0 0 2 + 1

⇒ σ ' 0 = 2 ,   - 2 ,   0

Passo 4

Reta tangente:

Substituir em r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t :

r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t

r t = 0 ,   1 ,   0 + 2 ,   - 2 ,   0 ⋅ t

⇒ r t = 2 t ,   1 - 2 t ,   0

Passo 5

Plano normal:

x - x 0 ,   y - y 0 ,   z - z 0 ⋅ σ ' t 0 = 0

x - 0 ,   y - 1 ,   z - 0 ⋅ 2 ,   - 2 ,   0 = 0

2 x - 2 ( y - 1 ) + 0 z = 0

⇒ 2 x - 2 y = - 2

⇒ x - y = - 1

Resposta

Reta tangente:

r t = 2 t ,   1 - 2 t ,   0

t ∈ R

Plano normal:

x - y = - 1

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