1.

Determine as equações da reta tangente e do plano normal à curva:

σ t = e t - e - t ,   1 - sen ⁡ 2 t , ln ⁡ t 2 + 1

no ponto:

P = 0 ,   1 ,   0

Resolução
2.

Determine a equação paramétrica da reta tangente e a equação do plano normal à trajetória da curva dada, no ponto dado:

σ t = ( t 2 ,   t )

P 0 = 1 ,   1

Resolução
3.

Dada a curva Γ definida por r → t = e t cos ⁡ t ,   e t sen ⁡ t ,   e t , t ≥ 0 .

Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto P = ( - e π , 0 ,     e π ) . Determine, também, uma equação do plano normal (ortogonal) á curva no ponto P .

Resolução
4.

Considere a curva C parametrizada por r t = t + 2 ,   t 2 - 1 ,   e 2 t ,   t ∈ R . Então, encontre o plano perpendicular a C no ponto 2 , - 1,1 .

Resolução
5.

Considere a curva C parametrizada por:

r t = 2 c o s t , 2 s e n t , t ,   t ∈ R

O plano perpendicular a C no ponto 1 , 1 , π 4 é:

a) - x + y + z = π / 4

b) x + y + z = π / 4 - 2

c) x + y + π 4 z = π / 4

d) x - y + z = π / 4

e) - x + y + π 4 z = π / 4

Resolução
6.

Considere as duas curvas com parametrização dadas por:

c 1 → t = t , t 2 - t , s e n t

c 2 → s = 2 π cos ⁡ π 2 s ,   s - 1 , s 2 - s

O plano que contém a reta tangente a c 1 → e a reta tangente a c 2 → , ambas no ponto 0,0 , 0 é:

  1. x + y = 0
  2. x - y + z = 0
  3. - x + y + z = 0
  4. x + z = 0
  5. Nenhuma das alternativas anteriores.
Resolução
7.

Considere a curva C parametrizada por t ,   3 t 2 - 2 t , t 3 + 2 , t ∈ R . Uma equação para o plano que passa pelo 1,1 , 3 e é perpendicular a reta tangente a curva C nesse ponto é:

a)   x + 4 y + 3 z = 14

b)   x + 3 y + 3 z = 13

c)   3 x + y + 3 z = 13

d)   3 x + y + 6 z = 22

e)   x + y + 3 z = 11  

f)   x + y + z = 5

Resolução
8.

Considere as superfícies

S 1   : z + x 2 = 25

S 2   : z = 4 x 2 + y 2

  1. Identifique e esboce S 1
  2. Identifique e esboce S 2
  3. Dê uma parametrização da curva espacial C = S 1 ∩ S 2
  4. Ache a equação do plano normal a curva C passando pelo ponto P = 5 , 0,20
Resolução
9.

Considere as superfícies

S 1   : z + x 2 = 25

S 2   : z = 4 x 2 + y 2

  1. Identifique e esboce S 1
  2. Identifique e esboce S 2
  3. Dê uma parametrização da curva espacial C = S 1 ∩ S 2
  4. Ache a equação do plano normal a curva C passando pelo ponto P = 5 , 0,20
Resolução
10.

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3     z 2 = 4 x 2 + y 2 ; z ≥ 0 }  

S 2 = x , y , z ∈ R 3     y + z - 3 = 0 }  

Considere C = S 1 ∩ S 2 e B a projeção de C no plano x y .

  1. Identifique B como uma curva clássica:
  2. • Se B é um círculo exiba o centro e o raio

    • Se B é uma elipse, exiba o centro e os semieixos.

    • Se B é uma hipérbole, exiba as equações cartesianas das retas assíntotas.

    Explicite uma parametrização β da curva B na forma β   : - k , k → R 2 , onde

    β t = x t , y t ,   t ∈ [ - k , k ]

  3. Explicite uma parametrização α da curva C na forma α   : - d , d → R 3 ,
  4. α t = f 1 t , f 2 t , f 3 t , t ∈ - d , d ,   d > 0

    Tal que α 0 = ( 3 , - 1,4 ) , explicitando d , f 1 t ,   f 2 ( t ) e f 3 ( t ) .

    Calcule α ' ( 0 ) .

  5. Escreva a equação paramétrica da reta t tangente à C passando pelo ponto P = ( 3 , - 1,4 ) .
  6. Escreva a equação cartesiana do plano Π ortogonal à C passando pelo ponto P = ( 3 , - 1,4 ) .
  7. Escreva um vetor normal à superfície S 1 em P = ( 3 , - 1,4 ) . Escreva a equação paramétrica do plano Ω tangente à S 1 em P = ( 3 , - 1,4 ) .
Resolução
11.

Dada a curva espacial

α t = t , t - 1 2 + 2 , 1 t   ; t ≠ 0

  1. Sabendo que a curva espacial α está contida em um cilindro S sobre uma curva plana:
  2. a.1. Determine a equação do cilindro S

    a.2. Esboce S ∩ x , y , z ∈ R 3   0 ≤ z ≤ 1 }  

  3. Encontre um tempo t 0 tal que α t 0 = ( 1,2 , 1 ) . Determine um vetor v tangente à S em P = ( 1,2 , 1 ) e ortogonal à α ' ( t 0 ) em P = ( 1,2 , 1 ) .
  4. Escreva a equação cartesiana do plano Π , ortogonal à α no ponto P = ( 1,2 , 1 )
  5. Considere a curva espacial β t = sen ⁡ t + 1,2 cos ⁡ t ,   1 - t   ; t ∈ R

Mostre que α e β são tangentes no ponto P = ( 1,2 , 1 ) , ou seja, mostre que α e β se interceptam em P e tem o mesmo vetor tangente em P . Escreva a equação paramétrica da reta r , tangente à α e β em P .

Resolução
12.

Considere a curva espacial parametrizada

α t = x t , y t , z t     ,     t ∈ - π , π

Onde

x t = cos 3 ⁡ t

y t = sen 3 ⁡ t

z t = 1 + sen ⁡ 2 t

Seja C = α - π , π a imagem ou traço de α .

  1. Escreva uma equação paramétrica da reta r tangente à C em t = π 4 (ou seja, no ponto α π 4 ) .Explicite um vetor diretor de r .
  2. Escreva a equação cartesiana do plano Π ortogonal à α em t = π 4 .
Resolução
13.

Considere a superfície de nível

S = x , y , z ∈ R 3   2 x 2 + y 2 + x z = 1 }  

  1. Exiba o vetor normal a S em P = ( 0,1 , 2 ) e escreva a equação paramétrica da reta normal a S em P = ( 0,1 , 2 ) .
  2. Seja C a curva espacial obtida pela interseção de S com o plano x + z = 2 .
    1. Parametrize C por uma função vetorial
    2. α t = x t , y t , z t   ,   t ∈ a , b

      Explicitando as funções x t ,   y t ,   z ( t ) e os números reais a e b .

    3. Determine os pontos de interseção da curva espacial C com o plano x = 0 .
    4. Escreva a equação paramétrica do plano ortogonal a C em P = ( 0,1 , 2 )
Resolução
14.

Considere a curva espacial parametrizada

β t = t 2 , t 3 - t , t 3 - t 2 - t 4 ,         t ∈ R

Encontre um ponto da curva espacial tal que a reta tangente neste ponto seja paralela ao plano x y . Dê a equação cartesiana do plano ortogonal à curva espacial neste ponto.

Resolução
15.

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 x 3 + z 3 - y = 3

S 2 = x , y , z ∈ R 3 z 2 - x 2 = 1 ,   z > 0 , - 1 ≤ x ≤ 1

Considere a curva espacial de interseção das superfícies, C = S 1 ∩ S 2 .

  1. Exiba uma parametrização α - : a , b → R 3 de C ,
  2. α t = x t , y t , z t ∈ C ,         t ∈ a , b

    Satisfazendo

  • α a , b = C
  • α ' t ≠ 0 ,   ∀ t ∈ a , b

Explicitando a , b e α t , t ∈ a , b

  • Escreva a equação cartesiana do plano π ortogonal à curva espacial C passando pelo ponto 0 , - 2,1
  • Resolução

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