Vetor Tangente – Paralelismo e Ortogonalidade

Teoria Completa

Introdução

Nesse capitulo eu vou te mostrar como encontrar um vetor paralelo e perpendicular a outro vetor e a um plano.

Mas fique na paz porque não vai doer nada, prometo!

Então vamos lá:

O que significa dizer que um vetor é paralelo a outro?

Significa apenas que um vetor é múltiplo do outro vetor.

E o que significa dizer que um vetor é perpendicular a outro?

Significa que o produto escalar entre eles é nulo.

Simples assim.

Então um vetor qualquer v → e o vetor tangente σ ' t a uma curva parametrizada, por exemplo, são paralelos se:

σ ' t = λ v →

E são perpendiculares se:

v → ⋅ σ ' t = 0  

Sacou?

Vou te dar um exemplo agora:

Determine o instante em que a reta tangente a curva

σ t = t 2 , t 3 , t 4 ,         t ∈ R

É paralela ao plano x y .

Plano? WTF? A gente não tava falando só de vetores?

Ora, mas isso é exatamente sobre vetores!! Qualquer coisa que seja paralela ao plano x y , com certeza será perpendicular a qualquer coisa que seja perpendicular ao próprio plano. Então, podemos dizer que essa reta é perpendicular ao eixo z !

Ou seja, o produto escalar entre o vetor tangente σ ' t e o vetor diretor do eixo z , v → = 0,0 , 1 , deve ser zero!

Ué, mas porque a gente não faz o vetor tangente como múltiplo de um vetor paralelo ao plano?

Bom, porque quando a gente tá falando de plano, o que a gente obtem facinho é um vetor normal a esse plano. Por isso a gente usa essa questão da ortogonalidade entre vetores. Tendeu?

Continuando então:

σ ' ( t ) = 2 t , 3 t 2 , 4 t 3

v → ⋅ σ ' t = 0  

0,0 , 1 . 2 t , 3 t 2 , 4 t 3 = 0

4 t 3 = 0

t = 0

Então, no instante t = 0 a reta tangente a curva é paralela ao plano x y .

Só para você não ficar assustado caso não lembre na hora da prova: tanto faz a ordem do produto escalar. Você pode fazer

v → ⋅ σ ' t = 0  

Ou

σ ' t ⋅ v → = 0  

Só alegria né? Então bora comigo fazer uns exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, P1 2015.1, questão múltipla escolha 5

Encontre o ponto da curva parametrizada por r t = 3 t 2 - 3 t , t 3 , t ∈ R , em que o vetor tangente é paralelo ao vetor u = 1,1 .

a) 1,0

b) 0,1

c) 0,0

d) 6,8

e) 6 , - 1

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Passo 1

Para que o vetor tangente seja paralelo ao vetor u → = 1,1 , então isso significa que o vetor diretor da reta tangente é múltiplo do vetor u → ! Como o vetor diretor da reta tangente é a curva derivada, então,

r ' t = λ u →

Show?

Passo 2

Agora é encontrar esse vetor derivada!

r t = 3 t 2 - 3 t , t 3

r ' t = 6 t - 3,3 t 2

Colocando esses valores na equação do passo anterior, teremos:

6 t - 3 = λ

3 t 2 = λ

Colocando a equação de baixo na de cima, teremos:

6 t - 3 = 3 t 2

t 2 - 2 t + 1 = 0

E, como isso é um produto notável, teremos:

t - 1 2 = 0

E, assim, t = 1 !

Passo 3

Colocando t = 1 na equação da curva, temos:

r 1 = 3 . 1 2 - 3.1 , 1 3 = 0,1

E aí está, o ponto no qual a reta tangente é paralela ao vetor u →   é 0,1 !

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2012.2, questão 2b

Uma partícula se move de acordo com a lei r t = 2 t , t 2 - 1 , t 2 + 1 , para todo t ∈ R .

Determine, caso existam, as posições nos instantes em que o vetor velocidade é paralelo aos eixos O x , O y e O z , respectivamente.

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Passo 1

Primeiro precisamos obter o vetor velocidade. Como o vetor velocidade é a derivada da trajetória, teremos:

r ' t = 2,2 t , 2 t

Passo 2

Como vimos, o vetor velocidade é r ' t = 2,2 t , 2 t . Para ele ser paralelo ao eixo x , então ele deve ser múltiplo de 1,0 , 0 , logo, teríamos:

2,2 t , 2 t = λ 1,0 , 0

Olha a segunda equação, 2 t = 0 . O que podemos concluir? Isso mesmo! t = 0 .

Agora, olha a primeira λ = 2 !

Então essa equação tem solução quando t = 0 e λ = 2 . Quando t = 0 , temos a posição:

r 0 = 0 , - 1,1

Passo 3

Da mesma forma, para ser paralelo ao eixo y , teríamos que ter:

2,2 t , 2 t = λ 0,1 , 0

Mas isso é impossível, pois não podemos ter 2 = λ 0 pela igualdade da primeira coordenada! Logo, a velocidade nunca é paralela ao eixo y .

Passo 4

Para ser paralela ao eixo z , teríamos que ter:

2,2 t , 2 t = λ 0,0 , 1

Mesmo problema que o anterior... não podemos ter 2 = λ . 0 ! Assim, também nunca será paralelo ao eixo z !

Resposta

Paralelo ao eixo x em r 0 = 0 , - 1,1 . Nunca será paralelo aos outros eixos!

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.17. questão 20.

Considere a hélice definida por σ θ = acos ⁡ θ ,   a s e n   θ ,   b θ . Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo z , e que o cosseno dessa ângulo é b a 2 + b 2 .

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Passo 1

Bom, para a reta tangente a hélice fazer um ângulo constante com o eixo z o seu vetor diretor tem que fazer um ângulo constante com o vetor diretor do eixo z .

Passo 2

Beleza, agora quem são esses vetores diretores?

O da reta tangente a gente já sabe que é o vetor tangente σ ' ( θ ) . Agora, o do eixo z nada mais é do que o vetor v → = 0,0 , 1 . Faz sentido, né?

Passo 3

Tá, agora para mostrar que o vetor tangente σ ' ( θ ) faz o mesmo ângulo com o vetor v → = 0,0 , 1 em qualquer ponto, podemos dizer que:

v → ⋅ σ ' θ = v → . σ ' θ . cos ⁡ α

Onde α é o ângulo entre os vetores σ ' ( θ ) e v → .

Queremos provar que α é constante para qualquer valor de θ e que

cos ⁡ α = v → . σ ' θ v → σ ' θ = b a 2 + b 2 = c o n s t a n t e  

Então vamos lá:

Calcular o vetor tangente a hélice num ponto qualquer:

σ ' θ = ( - a s e n   θ , acos ⁡ θ , b )

Calcular σ ' θ :

σ ' θ = - a s e n   θ 2 + acos ⁡ θ 2 + b 2 = a 2 + b 2

Passo 4

Calcular v → :

v → = 0 2 + 0 2 + 1 2 = 1

Passo 5

Calcular o produto escalar v → ⋅ σ ' θ :

v → ⋅ σ ' θ = 0,0 , 1 . - a s e n   θ , acos ⁡ θ , b = 0 - a s e n   θ + 0 acos ⁡ θ + 1 b = b

Passo 6

Substituir esses termos em

cos ⁡ α = v → ⋅ σ ' θ v → σ ' θ

E verificar se a igualdade é verdadeira.

cos ⁡ α = b 1 . a 2 + b 2

Assim, provamos o que foi pedido na questão.

Resposta

Exercício Resolvido #4

UFRJ, Cálculo Diferencial e Integral 2, P1 2012.2, questão 3.1

A espiral logarítmica é a curva plana definida por γ t = ( e - t cos ⁡ t , e - t sen ⁡ t ) .

Mostre que o vetor posição γ ( t ) faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

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Passo 1

Para mostrar que o vetor posição γ ( t ) faz o mesmo ângulo com o vetor tangente γ ' ( t ) em qualquer ponto, então podemos dizer que:

γ t . γ ' t = γ ( t ) . γ ' t . cos ⁡ θ

Onde θ é o ângulo entre os vetores γ ( t ) e γ ' ( t ) .

Queremos provar que θ é constante para qualquer valor de t .

Logo, queremos provar que:

cos ⁡ θ = γ t . γ ' t γ ( t ) . γ ' t = c o n s t a n t e  

Para isso, devemos encontrar o vetor tangente γ ' ( t ) .

Passo 2

Calcular γ ' ( t ) :

γ ' t = ( - cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t , cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t )  

Passo 3

Calcular γ ( t ) :

γ ( t ) = e - t cos ⁡ t 2 + e - t sen ⁡ t 2 )  

γ ( t ) = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 e - 2 t  

γ ( t ) = e - t

Passo 4

Calcular γ ' ( t ) :

γ ' ( t ) = - sen ⁡ t - cos ⁡ t e - t 2 + - sen ⁡ t + cos ⁡ t e - t 2

γ ' ( t ) = - cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t 2 + cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t 2

γ ' ( t ) = - cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 e - 2 t + cos ⁡ t - sen ⁡ t 2 e - 2 t

γ ' ( t ) = cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 + 2 cos ⁡ t sen ⁡ t e - 2 t + cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 - 2 cos ⁡ t sen ⁡ t e - 2 t

γ ' ( t ) = 2 e - 2 t

γ ' ( t ) = 2 e - t

Passo 5

Calcular o produto escalar: γ t ⋅ γ ' ( t ) :

γ t ⋅ γ ' t = e - t cos ⁡ t . - cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t + e - t sen ⁡ t . ( cos ⁡ t - sen ⁡ t e - t )

γ t ⋅ γ ' t = - e - 2 t ( cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t ⏟ 1 + sen ⁡ t cos ⁡ t - sen ⁡ t cos ⁡ t )

γ t ⋅ γ ' t = - e - 2 t

Passo 6

-

Substituir todos esses termos:

cos ⁡ θ = γ t . γ ' t γ t . γ ' t

cos ⁡ θ = - e - 2 t e - t . 2 e - t

⇒ cos ⁡ θ = - 1 2

Então cos ⁡ θ = c o n s t a n t e , conforme queríamos mostrar.

Logo: o vetor posição γ ( t ) faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.

Resposta

Exercício Resolvido #5

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2014.2, questão 2

Considere a curva parametrizada plana α definida por α t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 .

  1. Encontre apenas um parâmetro t que corresponda a um ponto do traço de α (imagem) onde o vetor velocidade V t é paralelo à reta y = x .
  2. Seja β : R → R 3 a curva parametrizada espacial cujo traço está contido no gráfico de z = y - 1 2 - x - 2 2 e cuja projeção de β t no plano x y é α .
  1. Exiba uma parametrização de β .
  2. Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 , z 0 do traço de β em que a reta tangente r é paralela ao plano O x y .
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Passo 1

a) Bom, essa parametrização tem coisa ao cubo, ao quadrado, então muito bom terem pedido apenas um parâmetro hehehe

Beleza, vamos lá. Primeiro, o que é o vetor velocidade? Se temos uma trajetória qualquer, no caso, a curva parametrizada que foi dada, então a velocidade é o vetor tangente em cada ponto da curva! E o que quer dizer que o vetor velocidade é paralelo a algum outro? Significa que são múltiplos! Com essas duas informações, já podemos resolver o problema :D

Desenvolvendo a primeira parte, que dizemos que o vetor é tangente à trajetória, basta encontrarmos a derivada da curva em função de seu parâmetro:

α t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1

α ' t = 2 t - 3 t 2 + 1 ,   2 t + 3 t 2 - 1

E pronto, temos a expressão para o vetor velocidade para a curva α t !

Passo 2

Agora temos que encontrar o vetor diretor da reta y = x e dizer que ele é múltiplo do vetor velocidade:

x = y → r t = 1,1 . t = t , t

Essa parametrização é fácil de ver. Só dizer que x e y têm sempre o mesmo valor, logo, a reta é formada por pontos t , t . Um vetor diretor pode ser o 1,1 .

Como α ' t = 2 t - 3 t 2 + 1 ,   2 t + 3 t 2 - 1 e 1,1 são múltiplos, então,

2 t - 3 t 2 + 1 ,   2 t + 3 t 2 - 1 = k . 1,1

ou seja,

2 t - 3 t 2 + 1 = k 2 t + 3 t 2 - 1 = k

Passo 3

Precisamos resolver esse sistema e encontrar pelo menos um valor para t , como foi pedido. Se somarmos as duas equações, teremos:

4 t = 2 k

k = 2 t

Colocando k = 2 t na primeira equação, teremos:

2 t - 3 t 2 + 1 = 2 t

3 t 2 = 1

t = ± 1 3

E pronto :D conseguimos dois valores para t !!

Passo 4

  1. Bom, se a projeção de β em O x y é a própria α , então quer dizer que as duas primeiras coordenadas, x e y de β são exatamente iguais as de α ! Ou seja,

β t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 ,   ?

Em que essa terceira coordenada (que tem a interrrogação) é a que vamos descobrir com a função que foi dada, z = y - 1 2 - x - 2 2 .

Passo 5

E agora? Tudo o que temos que fazer é colocar a primeira coordenada de β t como sendo x na função, e a segunda como sendo y , e fica assim:

z = t 2 + t 3 - t + 1 - 1 2 - t 2 - t 3 + t + 2 - 2 2

z = t 2 + t 3 - t 2 - t 2 - t 3 + t 2

E pronto, temos a coordenada z , a altura do ponto de β t . Colocando essa expressão no lugar da interrogação, teremos:

β t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 ,   t 2 + t 3 - t 2 - t 2 - t 3 + t 2

Passo 6

Show! Só falta um ítem! E esse é clássico :D Lembra o que é necessário para uma reta tangente ser paralela ao plano O x y ? Bom, qualquer coisa que seja paralela ao plano x y , com certeza será perpendicular a qualquer coisa que seja perpendicular ao próprio plano. Então, podemos dizer que essa reta é perpendicular ao eixo z ! Assim o produto escalar entre seu vetor diretor e o vetor diretor do eixo z deve ser zero!

Agora partiu colocar essa teoria em prática! O vetor diretor da reta tangente da β t é o vetor derivada:

β ' t = x ' t , y ' t , z ' t

E o produto (escalar) entre esse vetor e o vetor diretor do eixo z , 0,0 , 1 , deve ser 0 :

x ' t , y ' t , z ' t . 0,0 , 1 = 0

Fazendo o produto escalar:

0 . x ' t + 0 . y ' t + 1 . z ' t = 0

E aí temos que a derivada em relação à coordenada z deve ser 0 :D

Passo 7

Agora vem a parte fácil! Só derivar a coordenada z e igualar a 0 :

z t = t 2 + t 3 - t 2 - t 2 - t 3 + t 2

z ' t = 2 t 2 + t 3 - t 2 t + 3 t 2 - 1 - 2 t 2 - t 3 + t 2 t - 3 t 2 + 1

E vemos, como t aparece em todos os produtos, que se ele for 0 , então z ' t = 0 !

Colocando t = 0 na equação de β t , temos:

β 0 = 0 2 - 0 3 + 0 + 2 ,   0 2 + 0 3 - 0 + 1 ,   0 2 + 0 3 - 0 2 - 0 2 - 0 3 + 0 2

β 0 = 2,1 , 0

Resposta

a)   t = ± 1 3

b)   β t = t 2 - t 3 + t + 2 ,   t 2 + t 3 - t + 1 ,   t 2 + t 3 - t 2 - t 2 - t 3 + t 2 e o ponto: β 0 = 2,1 , 0

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