Teoria Completa
Introdução
Nesse capitulo eu vou te mostrar como encontrar um vetor paralelo e perpendicular a outro vetor e a um plano.
Mas fique na paz porque não vai doer nada, prometo!
Então vamos lá:
O que significa dizer que um vetor é paralelo a outro?
Significa apenas que um vetor é múltiplo do outro vetor.
E o que significa dizer que um vetor é perpendicular a outro?
Significa que o produto escalar entre eles é nulo.
Simples assim.
Então um vetor qualquer e o vetor tangente a uma curva parametrizada, por exemplo, são paralelos se:
E são perpendiculares se:
Sacou?
Vou te dar um exemplo agora:
Determine o instante em que a reta tangente a curva
É paralela ao plano .
Plano? WTF? A gente não tava falando só de vetores?
Ora, mas isso é exatamente sobre vetores!! Qualquer coisa que seja paralela ao plano , com certeza será perpendicular a qualquer coisa que seja perpendicular ao próprio plano. Então, podemos dizer que essa reta é perpendicular ao eixo !
Ou seja, o produto escalar entre o vetor tangente e o vetor diretor do eixo deve ser zero!
Ué, mas porque a gente não faz o vetor tangente como múltiplo de um vetor paralelo ao plano?
Bom, porque quando a gente tá falando de plano, o que a gente obtem facinho é um vetor normal a esse plano. Por isso a gente usa essa questão da ortogonalidade entre vetores. Tendeu?
Continuando então:
Então, no instante a reta tangente a curva é paralela ao plano .
Só para você não ficar assustado caso não lembre na hora da prova: tanto faz a ordem do produto escalar. Você pode fazer
Ou
Só alegria né? Então bora comigo fazer uns exercícios!
Exercício Resolvido #1
Encontre o ponto da curva parametrizada por , em que o vetor tangente é paralelo ao vetor .
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Para que o vetor tangente seja paralelo ao vetor , então isso significa que o vetor diretor da reta tangente é múltiplo do vetor ! Como o vetor diretor da reta tangente é a curva derivada, então,
Show?
Passo 2
Agora é encontrar esse vetor derivada!
Colocando esses valores na equação do passo anterior, teremos:
Colocando a equação de baixo na de cima, teremos:
E, como isso é um produto notável, teremos:
E, assim, !
Passo 3
Colocando na equação da curva, temos:
E aí está, o ponto no qual a reta tangente é paralela ao vetor é !
Resposta
Letra b
Exercício Resolvido #2
Uma partícula se move de acordo com a lei , para todo .
Determine, caso existam, as posições nos instantes em que o vetor velocidade é paralelo aos eixos , e , respectivamente.
Passo 1
Primeiro precisamos obter o vetor velocidade. Como o vetor velocidade é a derivada da trajetória, teremos:
Passo 2
Como vimos, o vetor velocidade é . Para ele ser paralelo ao eixo , então ele deve ser múltiplo de , logo, teríamos:
Olha a segunda equação,. O que podemos concluir? Isso mesmo! .
Agora, olha a primeira !
Então essa equação tem solução quando e . Quando , temos a posição:
Passo 3
Da mesma forma, para ser paralelo ao eixo , teríamos que ter:
Mas isso é impossível, pois não podemos ter pela igualdade da primeira coordenada! Logo, a velocidade nunca é paralela ao eixo .
Passo 4
Para ser paralela ao eixo , teríamos que ter:
Mesmo problema que o anterior... não podemos ter ! Assim, também nunca será paralelo ao eixo !
Resposta
Paralelo ao eixo em . Nunca será paralelo aos outros eixos!
Exercício Resolvido #3
Considere a hélice definida por . Mostre que a reta tangente, em cada ponto da hélice, faz um ângulo constante com o eixo , e que o cosseno dessa ângulo é .
Passo 1
Bom, para a reta tangente a hélice fazer um ângulo constante com o eixo o seu vetor diretor tem que fazer um ângulo constante com o vetor diretor do eixo .
Passo 2
Beleza, agora quem são esses vetores diretores?
O da reta tangente a gente já sabe que é o vetor tangente . Agora, o do eixo nada mais é do que o vetor Faz sentido, né?
Passo 3
Tá, agora para mostrar que o vetor tangente faz o mesmo ângulo com o vetor em qualquer ponto, podemos dizer que:
Onde é o ângulo entre os vetores e .
Queremos provar que é constante para qualquer valor de e que
Então vamos lá:
Calcular o vetor tangente a hélice num ponto qualquer:
Calcular :
Passo 4
Calcular :
Passo 5
Calcular o produto escalar :
Passo 6
Substituir esses termos em
E verificar se a igualdade é verdadeira.
Assim, provamos o que foi pedido na questão.
Resposta
Exercício Resolvido #4
A espiral logarítmica é a curva plana definida por .
Mostre que o vetor posição faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.
Passo 1
Para mostrar que o vetor posição faz o mesmo ângulo com o vetor tangente em qualquer ponto, então podemos dizer que:
Onde é o ângulo entre os vetores e .
Queremos provar que é constante para qualquer valor de .
Logo, queremos provar que:
Para isso, devemos encontrar o vetor tangente .
Passo 2
Calcular :
Passo 3
Calcular :
Passo 4
Calcular :
Passo 5
Calcular o produto escalar: :
Passo 6
Substituir todos esses termos:
Então , conforme queríamos mostrar.
Logo: o vetor posição faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.
Resposta
Exercício Resolvido #5
Considere a curva parametrizada plana definida por .
- Encontre apenas um parâmetro que corresponda a um ponto do traço de (imagem) onde o vetor velocidade é paralelo à reta .
- Seja a curva parametrizada espacial cujo traço está contido no gráfico de e cuja projeção de no plano é .
- Exiba uma parametrização de .
- Encontre apenas um ponto do traço de em que a reta tangente é paralela ao plano .
Passo 1
a) Bom, essa parametrização tem coisa ao cubo, ao quadrado, então muito bom terem pedido apenas um parâmetro hehehe
Beleza, vamos lá. Primeiro, o que é o vetor velocidade? Se temos uma trajetória qualquer, no caso, a curva parametrizada que foi dada, então a velocidade é o vetor tangente em cada ponto da curva! E o que quer dizer que o vetor velocidade é paralelo a algum outro? Significa que são múltiplos! Com essas duas informações, já podemos resolver o problema :D
Desenvolvendo a primeira parte, que dizemos que o vetor é tangente à trajetória, basta encontrarmos a derivada da curva em função de seu parâmetro:
E pronto, temos a expressão para o vetor velocidade para a curva !
Passo 2
Agora temos que encontrar o vetor diretor da reta e dizer que ele é múltiplo do vetor velocidade:
Essa parametrização é fácil de ver. Só dizer que e têm sempre o mesmo valor, logo, a reta é formada por pontos . Um vetor diretor pode ser o .
Como e são múltiplos, então,
ou seja,
Passo 3
Precisamos resolver esse sistema e encontrar pelo menos um valor para , como foi pedido. Se somarmos as duas equações, teremos:
Colocando na primeira equação, teremos:
E pronto :D conseguimos dois valores para !!
Passo 4
- Bom, se a projeção de em é a própria , então quer dizer que as duas primeiras coordenadas, e de são exatamente iguais as de ! Ou seja,
Em que essa terceira coordenada (que tem a interrrogação) é a que vamos descobrir com a função que foi dada, .
Passo 5
E agora? Tudo o que temos que fazer é colocar a primeira coordenada de como sendo na função, e a segunda como sendo , e fica assim:
E pronto, temos a coordenada , a altura do ponto de . Colocando essa expressão no lugar da interrogação, teremos:
Passo 6
Show! Só falta um ítem! E esse é clássico :D Lembra o que é necessário para uma reta tangente ser paralela ao plano ? Bom, qualquer coisa que seja paralela ao plano , com certeza será perpendicular a qualquer coisa que seja perpendicular ao próprio plano. Então, podemos dizer que essa reta é perpendicular ao eixo ! Assim o produto escalar entre seu vetor diretor e o vetor diretor do eixo deve ser zero!
Agora partiu colocar essa teoria em prática! O vetor diretor da reta tangente da é o vetor derivada:
E o produto (escalar) entre esse vetor e o vetor diretor do eixo , , deve ser :
Fazendo o produto escalar:
E aí temos que a derivada em relação à coordenada deve ser :D
Passo 7
Agora vem a parte fácil! Só derivar a coordenada e igualar a :
E vemos, como aparece em todos os produtos, que se ele for , então !
Colocando na equação de , temos:
Resposta
a)
b) e o ponto: