Reta Tangente e Normal a Curva
Teoria
Equação da reta tangente
Imagine que nos deparamos com o seguinte problema:
Encontre a reta tangente da curva no ponto .
Para resolver essa questão, vamos fazer o seguinte passo a passo:
- Encontrar correspondente ao ponto :
- Calcular :
- Calcular :
- Temos um vetor tangente a curva e o ponto de tangência . Logo, basta montar a equação da reta tangente:
- Encontrar correspondente ao ponto ou vice-versa
- Calcular
- Calcular
- Substituir em , que é a equação da reta tangente.
- Encontrar correspondente ao ponto ou vice-versa
- Calcular
- Calcular
- Calcular
- Substituir em
- Encontrar correspondente ao ponto :
- Calcular :
- Calcular :
- Calcular :
- Substituir:
Comparando a terceira componente:
De maneira geral, o nosso passo a passo vai ficar:
Equação da reta normal
Assim como a gente pode encontrar a reta tangente a uma curva , podemos também encontrar uma reta normal a ela.
Beleza, mas como?
Exatamente do mesmo jeito que encontramos a reta tangente. Mesmo passo a passo, só que agora, usamos o vetor normal!
Beleza, sabemos então que a equação paramétrica da reta é dada por:
Onde é um ponto da reta e é um vetor na direção da reta.
Quando queremos encontrar a reta normal a uma curva, sabemos que o ponto pertence à reta e que o vetor está na direção da reta normal.
Opa! Então a reta normal à curva em é dada por:
Simples assim!
Vou te dar um passo a passo então pra ficar ainda mais simples:
Exemplo:
Encontre a reta normal a curva no ponto .
Comparando as três coordenadas:
Mole?
Agora vou te dar duas dicas muito importantes:
- Qualquer vetor pode ser obtido pela diferença entre dois pontos! Assim, se sabemos que nosso vetor normal passa por um ponto , para encontrar o vetor normal basta subtrair esse ponto de um outro ponto genérico .
- Para descobrir quem é esse ponto genérico, precisamos lembrar que o vetor normal é perpendicular ao vetor tangente e que o produto escalar entre dois vetores perpendiculares é nulo.
Assim, sabendo o vetor tangente a curva em , fazemos o produto escalar entre ele e o e encontramos o ponto .
Depois é só substituir em
Por exemplo:
Seja
O vetor tangente uma curva no ponto da curva.
O vetor normal a essa curva, neste mesmo ponto, será:
Tal que
Agora podemos escolher qualquer valor de e que satisfaçam essa equação.
Vamos escolher e .
Assim, nosso vetor normal será:
Agora é só substituir em
Tranquilo, né? Partiu exercícios então!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.134, exercício 2b.
Encontre a equação da reta tangente à trajetória dada, no ponto dado:
Passo 1
Tanquilo, tudo o que temos que fazer é seguir aquele passo a passo que te dei lá na teoria:
Encontrar ao ponto G correspondente a :
Aqui temos
Logo,
Então:
Passo 2
Calcular :
Passo 3
Calcular G:
Passo 4
Substituir em
Resposta
Exercício Resolvido #2
Apostila aprendendo cálculo de várias variáveis, Professor Waldecir Bianchini, exemplo 3.8
Determinar as equações paramétricas da reta tangente à elipse:
no ponto:
Passo 1
Neste caso, não temos a curva parametrizada, então precisamos parametrizar a elipse:
Então:
Então nossa curva fica assim:
Passo 2
Encontrar correspondente ao ponto ou vice-versa:
Neste caso, o problema deu o ponto, então devemos encontrar :
Igualando as duas coordenadas:
Como só tem funções trigonométricas na curva parametrizada, nem precisamos determinar o valor de , basta saber os valores do seno e cosseno!
Passo 3
Calcular :
Passo 4
Calcular :
Passo 5
Reta tangente:
Substituir em :
Resposta
Exercício Resolvido #3
UFRJ, Calculo Diferencial e Integral 2, P1 2014.2, exercício 3, múltipla escolha
Considere a curva parametrizada por , onde é uma constante. Para que valor de a reta tangente a no ponto passa pelo ponto ?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Vamos calcular a equação da reta tangente a no ponto , basta seguir o passo-a-passo!
Primeiro vamos encontrar o no qual :
Então vamos ter o sisteminha
Passo 2
Beleza, agora temos que calcular . Com a regra da cadeia, temos
Portanto,
Passo 3
Show! Agora vamos achar
Passo 4
Então a equação da reta tangente a em , para um genérico, é:
Queremos que a reta passe pelo ponto , então
A primeira equação dá . Substituindo na segunda, obtemos
Resposta
Alternativa (e)
Exercício Resolvido #4
PUC-RJ, Calculo 3, P1 2012.2, questão 2
O movimento de uma partícula no intervalo de tempo é descrito pela curva parametrizada .
a) Encontre a equação paramétrica da reta tangente a curva no instante .
b) Suponha que no instante a partícula sai pela tangente em movimento retilíneo uniforme. Ache a posição da partícula no instante .
Passo 1
Aqui temos que encontrar a equação paramétrica da reta tangente. Para isso, precisamos saber antes de mais nada qual é o ponto para o parâmetro ! Substituindo esse valor na equação da trajetória, teremos:
Beleza, então queremos a reta tangente no ponto !
Passo 2
Agora, vamos encontrar o vetor diretor da reta tangente, que é o vetor derivada da função da curva.
Para , o vetor é:
E o vetor diretor da nossa reta é
Passo 3
Agora que temos o ponto e o vetor diretor, basta colocar na equação da reta!
E pronto, aí está :D
Passo 4
Para saber a posição da partícula que agora anda seguindo a equação da reta, basta colocar o parâmetro que corresponde a ! Como a equação de começa em , que é quando está em , então existe um “atraso” de entre os parâmetros, percebe? Assim, quando estamos em , estamos em , pegou a ideia?
Colocando , teremos:
Resposta
a) A equação da reta é
b) O ponto é
Exercício Resolvido #5
UFRJ, Calculo Diferencial e Integral 2, P1 2014.2, questão 1
Considere as duas superfícies dadas por e .
1. Esboce, separadamente, as duas superfícies, mostrando as curvas de interseção com os planos coordenados.
2. Parametrize a curva obtida pela interseção das 2 superfícies.
3. Calcule a reta tangente a no ponto .
4. Existe algum ponto de no qual a reta tangente passe na origem? Justifique.
Passo 1
1.
Vamos focar na primeira superfície, beleza?
Ela é dada por
então temos algo do tipo
portanto, essa superfície é um plano :)
Passo 2
Agora vamos ter que esboçar a figura, mostrando suas interseções com os planos coordenados. Então vamos pôr a mão na massa!
Vamos zerar uma a uma as coordenadas , e e assim determinar como o nosso plano intercepta os planos , e , respectivamente. Vamos fazer um desenho e ir completando aos poucos, beleza? Então partiu!
Fazendo vamos ter a reta
e
Então, no plano , a reta passa pelos pontos e .
Passo 3
Fazendo temos a reta
e
Ou seja, a reta passa pelos pontos e .
Passo 4
Fazendo temos:
e
Então a reta passa pelos pontos e . Vamos completar de novo o desenho:
Passo 5
Então esse triângulo daí é composto pelas retas de interseção do nosso plano com os planos coordenados Ele vai ser a base do esboço do plano:
Desse ângulo dá pra ter uma visão melhor:
Passo 6
Ainda temos a outra superfície!
A equação dela é:
Isolando o fica:
Identificamos uma superfície do tipo