Reta Tangente e Normal a Curva

Teoria Completa

Equação da reta tangente

Imagine que nos deparamos com o seguinte problema:

Encontre a reta tangente da curva σ t = ( t 2 + 1 ,   2 + ln ⁡ ( t + 1 ) ,   e t ) no ponto ( 1,2 , 1 ) .

Para resolver essa questão, vamos fazer o seguinte passo a passo:

  1. Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ t 0 = ( 1,2 , 1 ) :
  2. ⇒ t 0 2 + 1 ,   2 + ln ⁡ t 0 + 1 ,   e t 0 = ( 1,2 , 1 )

    Comparando a terceira componente:

    t 0 = 0

  3. Calcular σ ' ( t ) :
  4. σ ' t = 2 t ,   1 t + 1 ,   e t

  5. Calcular σ ' ( t 0 ) :
  6. t 0 = 0

    σ ' 0 = ( 0,1 , 1 )

  7. Temos um vetor tangente a curva σ ' 0 = ( 0,1 , 1 ) e o ponto de tangência σ 0 = ( 1,2 , 1 ) . Logo, basta montar a equação da reta tangente:
  8. r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t

    r t = σ 0 + σ ' 0 ⋅ t

    ⇒ r t = 1,2 , 1 + 0,1 , 1 ⋅ t

    ⇒ r t = 1 ,   2 + t ,   1 + t

    De maneira geral, o nosso passo a passo vai ficar:

    1. Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ ( t 0 ) ou vice-versa
    2. Calcular σ ' ( t )
    3. Calcular σ ' t 0
    4. Substituir em r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t , que é a equação da reta tangente.
    5. Equação da reta normal

      Assim como a gente pode encontrar a reta tangente a uma curva σ t = x t , y t , z t , podemos também encontrar uma reta normal a ela.

      Beleza, mas como?

      Exatamente do mesmo jeito que encontramos a reta tangente. Mesmo passo a passo, só que agora, usamos o vetor normal!

      Beleza, sabemos então que a equação paramétrica da reta é dada por:

      r t = P 0 + n → t

      Onde P 0 é um ponto da reta e n → é um vetor na direção da reta.

      Quando queremos encontrar a reta normal a uma curva, sabemos que o ponto σ t 0 pertence à reta e que o vetor σ ' ' ( t 0 ) está na direção da reta normal.

      Opa! Então a reta normal à curva σ ( t ) = x t , y t , z t em t 0 é dada por:

      r t = σ t 0 + σ ' ' t 0 ⋅ t

      Simples assim!

      Vou te dar um passo a passo então pra ficar ainda mais simples:

    6. Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ ( t 0 ) ou vice-versa
    7. Calcular σ ' ( t )
    8. Calcular σ ' ' t
    9. Calcular σ ' ' t 0
    10. Substituir em r t = σ t 0 + σ ' ' t 0 ⋅ t

    Exemplo:

    Encontre a reta normal a curva σ t = ( t 2 + 1 ,   2 + ln ⁡ ( t + 1 ) ,   e t ) no ponto ( 1,2 , 1 ) .

  9. Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ t 0 = ( 1,2 , 1 ) :
  10. σ t 0 = 1,2 , 1

    ⇒ t 0 2 + 1 ,   2 + ln ⁡ t 0 + 1 ,   e t 0 = ( 1,2 , 1 )

    Comparando as três coordenadas:

    t 0 = 0

  11. Calcular σ ' ( t ) :
  12. σ ' t = 2 t ,   1 t + 1 ,   e t

  13. Calcular σ ' ' ( t ) :
  14. σ ' ' t = 2 , - 1 t + 1 2 , e t

  15. Calcular σ ' ' ( t 0 ) :
  16. t 0 = 0

    σ ' ' 0 = ( 2 , - 1,1 )

  17. Substituir:

r t = σ 0 + σ ' ' 0 ⋅ t

⇒ r t = 1,2 , 1 + ( 2 , - 1,1 ) ⋅ t

⇒ r t = ( 1 + 2 t ,   2 - t ,   1 + t )

Mole?

Agora vou te dar duas dicas muito importantes:

  • Qualquer vetor pode ser obtido pela diferença entre dois pontos! Assim, se sabemos que nosso vetor normal σ ' ' t 0 = v n → passa por um ponto P 0 ( x 0 , y 0 ) , para encontrar o vetor normal basta subtrair esse ponto de um outro ponto genérico ( x , y ) .
  • v → n = ( x - x 0 , y - y 0 )

  • Para descobrir quem é esse ponto genérico, precisamos lembrar que o vetor normal é perpendicular ao vetor tangente e que o produto escalar entre dois vetores perpendiculares é nulo.

Assim, sabendo o vetor tangente σ ' t 0 = v → t a curva em P 0 ( x 0 , y 0 ) , fazemos o produto escalar entre ele e o v → n = ( x - x 0 , y - y 0 ) e encontramos o ponto ( x , y ) .

v → t   .   v → n = 0

Depois é só substituir em

r t = σ t 0 + v → n t 0 . t

Por exemplo:

Seja

v → t = - 2   , 1

O vetor tangente uma curva no ponto - 4   ,   6 da curva.

O vetor normal a essa curva, neste mesmo ponto, será:

v → n = ( x - x 0 , y - y 0 )

v → n = x + 4 , y - 6

Tal que

v → t   .   v → n = 0

- 2   , 1 ∙ x + 4 , y - 6 = 0

- 2 x - 8 + y - 6 = 0

y = 2 x + 14

Agora podemos escolher qualquer valor de x e y que satisfaçam essa equação.

Vamos escolher x = 0 e y = 14 .

Assim, nosso vetor normal será:

v → n = 0 + 4,14 - 6 = ( 4,8 )

Agora é só substituir em

r t = σ t 0 + v → n t 0 . t

r t = - 4   ,   6 + 4,8 . t

Tranquilo, né? Partiu exercícios então!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.134, exercício 2b.

Encontre a equação da reta tangente à trajetória dada, no ponto dado:

G t = t 2 , t ,   G ( 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Tanquilo, tudo o que temos que fazer é seguir aquele passo a passo que te dei lá na teoria:

Encontrar ao ponto G ( t 0 ) correspondente a t 0 :

Aqui temos

G 1

Logo,

t 0 = 1

Então:

G t 0 = 1 2 , 1 = ( 1,1 )

Passo 2

Calcular G ' ( t ) :

G t = t 2 , t

G ' t = ( 2 t , 1 )

Passo 3

Calcular G ' ( t 0 ) :

t 0 = 1

G ' ( 1 ) = 2 1 , 1 = ( 2,1 )

Passo 4

Substituir em r t = G t 0 + G ' t 0 ⋅ t

r t = ( 1,1 ) + ( 2,1 ) ⋅ t

r t = ( 1 + 2 t , 1 + t )

Resposta

r t = ( 1 + 2 t , 1 + t )

t ∈ R

Exercício Resolvido #2

Apostila aprendendo cálculo de várias variáveis, Professor Waldecir Bianchini, exemplo 3.8

Determinar as equações paramétricas da reta tangente à elipse:

x 2 9 + y 2 4 = 1

no ponto:

T = 3 2 2 ,   2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Neste caso, não temos a curva parametrizada, então precisamos parametrizar a elipse:

x 2 9 + y 2 4 = 1

⇒ x 3 2 + y 2 2 = 1

Então:

x 3 = cos ⁡ t ⇒ x = 3 cos ⁡ t

y 2 = sen ⁡ t ⇒ y = 2 sen ⁡ t

Então nossa curva fica assim:

σ t = 3 cos ⁡ t , 2 sen ⁡ t

Passo 2

Encontrar t 0 correspondente ao ponto σ ( t 0 ) ou vice-versa:

T = 3 2 2 ,   2

Neste caso, o problema deu o ponto, então devemos encontrar t 0 :

σ t 0 = T

3 cos ⁡ t 0 , 2 sen ⁡ t 0 = 3 2 2 ,   2