Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = (r)/(sqrt(r^2 + 1))

Para isso, precisamos utilizar a regra da cadeia, que é dada da seguinte forma:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Também temos que lembrar da regra da divisão de derivadas, que é dada por:

((f (x))/(g (x)))^' = (f^' (x) g (x) - f (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

E aí? Bora lá palicar?? 😉

Mas antes, para começar, vamos primeiro dar uma arrumada nessa função:

y = (r)/(sqrt(r^2 + 1)) = (r)/((r^2 + 1)^((1)/(2)))

Passo 2

Aplicando a regra da divisão, vemos que:

f (r) = r

e

g (r) = (r^2 + 1)^((1)/(2))

Aplicando na fórmula, temos:

y^' = ((r)/((r^2 + 1)^((1)/(2))))^' :.

y^' = ((r) ' . ((r^2 + 1)^((1)/(2))) - (r) . ((r^2 + 1)^((1)/(2))) ')/(((r^2 + 1)^((1)/(2)))^2)

Passo 3

Vamos calcular f ' ( r ) , usando a regra do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

f^' (r) = (r)^' :.

f^' (r) = r^(1 - 1) :.

f^' (r) = r^0 :.

f^' (r) = 1

Passo 4

Com g ' ( r ) usamos a regra da cadeia fazendo u = r^2 + 1 :

g^' (r) = (d)/(d u) (u)^((1)/(2)) * (d)/(d r) (r^2 + 1) :.

g^' (r) = (1)/(2) (r^2 + 1)^((1)/(2) - 1) * (2 r^(2 - 1) + 0) :.

g^' (r) = (1)/(2) (r^2 + 1)^(- (1)/(2)) . 2 r^1 :.

g^' (r) = . r (r^2 + 1)^(- (1)/(2))

Passo 5

Agora voltamos a expressão do passo 2 para terminar:

y^' = ((r)/((r^2 + 1)^((1)/(2))))^' :.

y^' = ((r) ' . ((r^2 + 1)^((1)/(2))) - (r) . ((r^2 + 1)^((1)/(2))) ')/(((r^2 + 1)^((1)/(2)))^2) :.

y^' = (1 . ((r^2 + 1)^((1)/(2))) - (r) . r (r^2 + 1)^(- (1)/(2)))/(((r^2 + 1)^((1)/(2)))^2)

Vamos simplificar um pouco essa expressão:

y^' = (1 . ((r^2 + 1)^((1)/(2))) - (r) . r (r^2 + 1)^(- (1)/(2)))/(((r^2 + 1)^((1)/(2)))^2) :.

y^' = ((r^2 + 1)^((1)/(2)) - r^(2 (r^2 + 1)^(- (1)/(2))))/((r^2 + 1)^((2)/(2))) :.

y^' = (sqrt((r^2 + 1)) - (r^2)/(sqrt((r^2 + 1))))/(r^2 + 1) :.

y^' = ((r^2 + 1) - r^2)/((r^2 + 1)^(3 // 2)) :.

y^' = (1)/((r^2 + 1)^(3 // 2))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y^' = (1)/((r^2 + 1)^(3 // 2))

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