Responde Aí

Enunciado

Encontre a derivada da função.

y = r r 2 + 1

Passo 1

Pra começar vamos primeiro dar uma arrumada nessa função:

y = r r 2 + 1 = r r 2 + 1 1 2

Passo 2

Vamos usar a regra da divisão de primeira:

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f r = r

e

g r = r 2 + 1 1 2

Vamos agora só montar na fórmula:

y ' = r r 2 + 1 1 2 ' = r ' . r 2 + 1 1 2 - r . r 2 + 1 1 2 ' r 2 + 1 1 2 2

Passo 3

Vamos calcular f ' ( r ) , usando a regra do polinômio:

x n ' = n x n - 1

Assim:

f ' ( r ) = r ' = r 1 - 1 = r 0 = 1

Passo 4

Com g ' ( r ) usamos a regra da cadeia e da função constante, além da do polinômio :

c ' = 0

Assim:

g ' ( r ) = r 2 + 1 1 2 ' = 1 2 r 2 + 1 1 2 - 1 . r 2 + 1 ' = 1 2 r 2 + 1 - 1 2 . 2 r 2 - 1 + 0 = 1 2 r 2 + 1 - 1 2 . 2 r 1 = r r 2 + 1 - 1 2

Passo 5

Agora voltamos a expressão do passo 2 para terminar:

y ' = r r 2 + 1 1 2 ' = r ' . r 2 + 1 1 2 - r . r 2 + 1 1 2 ' r 2 + 1 1 2 2 = 1 . r 2 + 1 1 2 - r . r r 2 + 1 - 1 2 r 2 + 1 1 2 2

Vamos simplificar um pouco essa expressão:

y ' = 1 . r 2 + 1 1 2 - r . r r 2 + 1 - 1 2 r 2 + 1 1 2 2 = r 2 + 1 1 2 - r ² r 2 + 1 - 1 2 r 2 + 1 2 2 = r 2 + 1 1 2 - r ² r 2 + 1 - 1 2 r 2 + 1

Resposta

y ' = r 2 + 1 1 2 - r ² r 2 + 1 - 1 2 r 2 + 1

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