Derivação Implícita

Resumo Completo

Uma aplicação interessante da regra da cadeia é quando nós temos uma função implícita.

Pode-se pedir a derivada de y com respeito a x sem que você tenha uma forma explícita do tipo:

y = f ( x )

Mas sim algo como:

x 2 + y 2 = 1

Aqui não temos uma função, é apenas uma relação entre x e y .

Se liga que podemos encontrar sua derivada mesmo assim. Vamos tentar calculá-la, então!

Vamos sempre começar da mesma forma para resolver essas derivadas: tomar a derivada com respeito a x em ambos os lados da equação.

x 2 + y 2 = 1                     d d x x 2 + y 2 = d d x 1

Como a derivada de constante é 0 ...

d d x x 2 + y 2 = 0

E a derivada da soma é a soma das derivadas...

d d x x 2 + d d x y 2 = 0

Não se assuste com essas derivadas, que eu vou te passar agora um método mara para a resolução dessas derivas aí:

  1. Primeiro você vai derivar normalmente cada uma dessas incógnitas:
  2. 2 x _ _ _ + 2 y _ _ _ = 0

  3. A nossa segunda missão será completar esses vácuos aí. Para fazer isso, você vai colocar a derivada novamente no buraco:
  4. 2 x d d x + 2 y d d x = 0

  5. Na frente das derivadas, você vai colocar as variáveis que você derivou, veja só:

d d x x 2 + d d x y 2 = 0                                         2 x d x d x + 2 y d y d x = 0

No primeiro colocamos o x , pois foi em relação a ele que derivamos, e no segundo o y !

O termo d x / d x é sempre igual a 1 e o d y / d x = y ' (a derivada de y com relação a x que buscávamos implicitamente) !

2 x + 2 y y ' = 0

Podemos então seguir com o nosso problema, isolando o y ' que era o que se queria:

2 y y ' + 2 x = 0

y ' = - x y

OBS: Se liga que nesse tipo de questão é muito comum o resultado ter tanto x quanto y no gabarito, não tem problema nenhum.

Outro detalhe, se numa questão aparecerem misturas de x e y como produto ou quociente, como em:

x 2 y = 2

É só usar a regra do produto e quociente normalmente, aplicando o macete acima:

  1. Primeiro:
  2. d d x x 2 y = d d x 2      

    d d x x 2 y = 0        

    Aplicando a regra do produto no primeiro parênteses

    d d x x 2 y = x 2 d d x y + y d d x x 2 = 0

  3. Segundo:
  4. x 2 _ _ _ + 2 x y _ _ _ = 0  

  5. Terceiro:

x 2 d y d x + 2 x y d x d x = 0    

x 2 y ' + 2 x y = 0  

y ' = - 2 y x         ,         p a r a   x 0

Com a prática você vai pegando a manha e vai fazendo sem passar pelo passo 2 ;)

Para que isso aconteça antes da nossa prova, vamos para os exercícios?!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.209-37

No exercício, use a derivada implícita para determinar d y / d x .

x 2 + y 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos derivar os dois lados em função de x :

x 2 ' + y 2 ' = 1 '

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y ' :

2 x + 2 y y ' = 0

2 x + 2 y y ' = 0

Passo 2

Agora é só evidenciar o y ' :

2 y y ' = - 2 x

y ' = - 2 x 2 y = - x y

Resposta

d y d x = - x y

Exercício Resolvido #2

Enunciado

Elaboração Própria

Encontre a derivada y ' no ponto P = ( 1 ,   0 ) da curva definida implicitamente abaixo:

x 3 + x y - y 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Derivando em ambos os lados, obtemos:

3 x 2 + x ' y + x y ' - y 2 ' = 0

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, teremos

y 2 = 2 y y '

Assim,

3 x 2 + y + x y ' - 2 y y ' = 0

Passo 3

Isolando a variável y ' :

y ' x - 2 y = - y - 3 x 2

y ' = - y - 3 x 2 x - 2 y

Passo 4

Substituindo os valores:

P = ( 1 ,   0 )

y ' 1 ,   0 = - 0 - 3 × 1 2 1 - 2 × 0

Resposta

y ' 1 ,   0 = - 3

Exercício Resolvido #3

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.209-44

Se x y + y 2 = 1 , encontre o valor de d y / d x no ponto 0 , - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos derivar os dois lados em função de x :

x y ' + y 2 ' = 1 '

Aplicamos a Regra do Produto no primeiro cara

x ' y + x y ' + y 2 ' = 1 '

Passo 2

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y ' :

1 y + x y ' + 2 y y ' = 0

y + x y ' + 2 y y ' = 0

Passo 3

Agora é só evidenciar o y ' :

y + y ' x + 2 y = 0

y ' x + 2 y = - y

y ' = - y x + 2 y

Passo 4

Usando x , y = 0 , - 1 teremos:

y ' = - - 1 0 + 2 - 1

= - - 1 - 2 = - 1 2

Resposta

d y d x 0 , - 1 = - 1 2

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração própria

Encontre d y d x no ponto ( 1,1 ) diferenciando implicitamente a curva definida por

x y = 2 x 3 y 2 - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Bom, ele pediu a derivada de y em relação a x . Para isso ele pede que a gente faça derivação implícita. Lembra que a derivação se caracteriza por adicionar um y ' (pela Regra da Cadeia) na derivação, que é justamente quem a gente procura, no ponto ( 1,1 ) .

x y ' = 2 x 3 y 2 - 1 '

Passo 2

Para o primeiro termo, temos que derivar a raiz e depois adicionar, pela Regra da Cadeia, a derivada do que está dentro dela:

x y ' = 1 2 1 x y x y '

Passo 3

Para o termo da derivada ali em cima, usamos a Regra do Produto, lembrando que y é derivada de forma implícita:

1 2 1 x y x y ' = 1 2 1 x y 1 y + x y ' = 1 2 1 x y y + x y '

Passo 4

Para o segundo termo basta derivar direto, usando a Regra do Produto no segundo termo:

2 x 3 y 2 - 1 ' = 2 3 x 2 y 2 + 2 x 3 2 y y ' + 0 = 6 x 2 y 2 + 4 x 3 y y '

Passo 5

Juntando tudo:

x y ' = 2 x 3 y 2 - 1 '

1 2 x y y + x y ' = 6 x 2 y 2 + 4 x 3 y y '

Substituindo x ,   y por ( 1,1 ) :

1 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) y ' = 6 1 2 1 2 + 4 1 3 1 y '

1 2 1 + y ' = 6 + 4 y '

1 2 + y ' 2 = 6 + 4 y '

Multiplicando tudo por 2:

1 + y ' = 12 + 8 y '

7 y ' = - 11

y ' = - 11 7

Resposta

y ' = d y d x = - 11 7

Exercício Resolvido #5

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp 209 – 62

O fólio de Descartes

a Encontre o coeficiente angular do fólio de Descartes, x 3 + y 3 - 9 x y = 0 nos pontos 4,2 e 2,4

b Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangente horizontal?

c Encontre as coordenadas do ponto A da figura, onde o fólio tem uma tangente vertical.

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

a O cara nos pediu o coeficiente angular,   a . O que eu te contei na teoria? O coeficiente angular é a derivada da função avaliada nos pontos que ele nos deu. Então vamos precisar derivar a expressão do fólio.

Passo 2

Vamos achar a derivada y ' por Derivação Implícita:

x 3 + y 3 - 9 x y ' = 0 '

x 3 ' + y 3 ' - 9 x y ' = 0

Observa que para o termo 9 x y , vamos precisar usar a regra do produto

3 x 2 + 3 y 2 y ' - 9 x ' y - 9 x y ' = 0

3 x 2 + 3 y 2 y ' - 9 y - 9 x y ' = 0

y ' 3 y 2 - 9 x = 9 y - 3 x 2

y ' = 9 y - 3 x 2 3 y 2 - 9 x

Passo 3

Aplicando os pontos, ficamos com:

y ' 4,2 = 9 2 - 3 4 2 3 2 2 - 9 4 = 18 - 48 12 - 36

= - 30 - 24 = 5 4

y ' 2,4 = 9 4 - 3 2 2 3 4 2 - 9 2 = 36 - 12 48 - 18

= 24 30 = 4 5

Passo 4

b Ele pede que achemos o ponto onde a tangente é horizontal.

Ora, uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, seu coeficiente angular é nulo. Portanto, o que queremos achar é:

y ' = 9 y - 3 x 2 3 y 2 - 9 x = 0

9 y - 3 x 2 = 0

y = x 2 3

Ou seja, todos os pontos que satisfazem essa igualdade vão zerar a derivada.

Passo 5

Para encontrar o ponto que vem dessa igualdade, jogamos ela na equação da curva:

x 3 + y 3 - 9 x y = 0

x 3 + x 6 27 - 9 x x 2 3 = 0

x 3 + x 6 27 - 3 x 3 = 0

x 6 27 - 2 x 3 = 0

Multiplicando tudo por 27

x 6 - 54 x 3 = 0

x 6 - 54 x 3 = 0

x 3 x 3 - 54 = 0

Como ele pede para desconsiderar o ponto da origem, a solução x 3 = 0 não nos interessa.

x 3 = 54 x = 3 2 3

Passo 6

O y para esse valor de x vai ser:

y = x 2 3

y = 3 2 3 2 3

y = 3 4 3

O ponto será, portanto:

3 2 3 , 3 4 3

Passo 7

c Ele pede que achemos uma tangente vertical agora.

Ora, uma reta vertical tem inclinação “infinita”, ou seja, seu coeficiente angular é explode para ± . Portanto, o que queremos achar é:

y ' = 9 y - 3 x 2 3 y 2 - 9 x = ±

Isso acontecerá quando o denominador zerar sem que haja indeterminação 0 0 . Ou seja, queremos que

3 y 2 - 9 x = 0

x = y 2 3

Para encontrar o ponto que vem dessa igualdade, jogamos ela no termo inicial:

x 3 + y 3 - 9 x y = 0

y 6 27 + y 3 - 9 y y 2 3 = 0

y 6 - 54 y 3 = 0

y 3 y 3 - 54 = 0

Passo 8

Como ele pede para desconsiderar o ponto da origem, a solução y 3 = 0 não nos interessa.

y 3 = 54 y = 3 2 3

O x para esse valor de y vai ser:

x = y 2 3

x = 3 2 3 2 3

x = 3 4 3

O ponto A será, portanto:

3 4 3 , 3 2 3

Resposta

a   y ' 4,2 = 5 4

y ' 2,4 = 4 5

b   3 2 3 , 3 4 3

c   A = 3 4 3 , 3 2 3

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