Teoria Completa
O que são expressões implícitas?
Imagina que a gente tem uma função desse jeitinho aqui
E a gente queria que ela tivesse esse formato aqui:
Ou seja, do lado esquerdo da equação temos a variável sozinha e do lado direito temos alguma expressão que depende só da variável . Para sabermos quem vamos derivar.
Puuts, como que a gente isola o nesse caso para chegar no nosso formato, meio sinistro né?
Isso acaba acontecendo as vezes porque são expressões onde o e o ficam misturados de qualquer jeito. Nesse caso falamos que são expressões implícitas. Pra gente não ter que ficar desesperado para separar o vamos começar a ver um novo jeito de fugir dessa dor de cabeça!
Achando a derivada de uma expressão implícita
Tá bom, muito bonitinho esse nome, mas será que tem como a gente a derivar uma expressão dessas em relação a , mesmo sem conseguir isolar o como geralmente fazemos???
Conseguimos sim meu jovemmm! Quer ver? Vamos tentar achar a derivada dessa expressão aqui:
Pra resolver essas derivadas a gente vai sempre começar da mesma forma: vamos tomar a derivada em relação a em ambos os lados da equação.
Como a derivada de constante é , ficamos com o seguinte:
A derivada da soma é a soma das derivadas, então podemos separar os termos:
O primeiro termo depende só da variável , certo? Então nós podemos derivar normalmente usando as regrinhas que já conhecemos. Nesse caso, usamos a regra de derivação de polinômios:
Show, então chegamos à parte das novidades. E agora como fazemos pra derivar com respeito a essas expressões que dependem da variável ?
Mas como é uma função (que é desconhecida) de , podemos escrever como não podemos considerar ela como uma constante, temos que considerá-la uma função!!
Acaba que na prática gente faz uma regra da cadeia, derivando a função de fora que seria derivar normalmente e depois multiplicar pela derivada da função de dentro
“Ixi, não entendi nada” Vou explicar melhor com um exemplo aqui!
Quando a gente tava la no calculo de uma variável e davam pra gente uma função
E pediam pra gente derivar, a gente ficava com
Beleza, mas agora e se te pedissem a derivada de ?? Azedou né? Haha é ai que entra a regra da cadeia que eu tô te falando! A gente ia fazer
Pra derivada implícita a gente não sabe quem é a que a gente ta chamando de , então a gente ficaria com:
Belezinha? Vou te passar agora um método maravilhoso para a resolução dessas derivadas aí, se liga aqui:
Prontinho! Se liga que nesse tipo de questão é muito comum o resultado ter tanto quanto no gabarito, não tem problema nenhum.
Caso tenha o produto ou quociente de e
Em algumas questões você vai encontrar misturas de e como produto ou quociente, como em:
Nesse exemplo até conseguiríamos isolar o e derivar normalmente. Seria até mais fácil. Maaaas vamos deixar assim pra praticar a derivação implícita. Tudo bem?
Então, nesse caso vamos precisar usar a Regra do Produto junto com a Derivação Implícita. Assusta, mas não é tão ruim assim. Vamos lembrar que começamos derivando dos dois lados em relação a :
Aplicamos a Regra do Produto:
A derivada do termo com já sabemos fazer. Derivamos normalmente:
Agora vamos usar o método mara que vimos no exemplo anterior:
- Derivamos os termos com normalmente, deixando aquele espaço pra preenchermos no próximo passo:
- Colocamos um no espaço que deixamos separado:
- Isolamos o :
Legal né? Só fica atento que se tivéssemos um quociente de e , como por exemplo um polinômio do tipo:
A ideia seria bem parecida, mas teríamos que usar a Regra do Quociente junto com a Derivação Implícita. Sacou?
É basicamente essa a ideia, dá um pouco de trabalho, mas com a prática você vai pegando a manha e vai começar a fazer mais rápido! 😉
Para que isso aconteça antes da nossa prova, vamos para os exercícios?!
Exercício Resolvido #1
No exercício, use a derivada implícita para determinar .
Passo 1
Vamos derivar os dois lados em função de :
Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de diretamente e as derivadas em função de nós derivamos para adicionando, no fim, um :
Passo 2
Agora é só evidenciar o :
Resposta
Exercício Resolvido #2
Se , encontre o valor de no ponto .
Passo 1
Vamos derivar os dois lados em função de :
Aplicamos a Regra do Produto no primeiro cara
Passo 2
Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de diretamente e as derivadas em função de nós derivamos para adicionando, no fim, um :
Passo 3
Agora é só evidenciar o :
Passo 4
Usando teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Encontre a derivada no ponto da curva definida implicitamente abaixo:
Passo 1
Derivando em ambos os lados, obtemos:
Passo 2
Aplicando a regra da cadeia, teremos
Assim,
Passo 3
Isolando a variável :
Passo 4
Substituindo os valores:
O que, continuando as contas, resulta em:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Encontre no ponto diferenciando implicitamente a curva definida por
Passo 1
Bom, ele pediu a derivada de em relação a . Para isso ele pede que a gente faça derivação implícita. Lembra que a derivação se caracteriza por adicionar um (pela Regra da Cadeia) na derivação, que é justamente quem a gente procura, no ponto .
Passo 2
Para o primeiro termo, temos que derivar a raiz e depois adicionar, pela Regra da Cadeia, a derivada do que está dentro dela:
Passo 3
Para o termo da derivada ali em cima, usamos a Regra do Produto, lembrando que é derivada de forma implícita:
Passo 4
Para o segundo termo basta derivar direto, usando a Regra do Produto no segundo termo:
Passo 5
Juntando tudo:
Substituindo por :
Multiplicando tudo por 2:
Resposta
Exercício Resolvido #5
O fólio de Descartes
Encontre o coeficiente angular do fólio de Descartes, nos pontos e
Em qual ponto, além da origem, o fólio tem uma tangente horizontal?
Encontre as coordenadas do ponto da figura, onde o fólio tem uma tangente vertical.
Passo 1
O cara nos pediu o coeficiente angular,. O que eu te contei na teoria? O coeficiente angular é a derivada da função avaliada nos pontos que ele nos deu. Então vamos precisar derivar a expressão do fólio.
Passo 2
Vamos achar a derivada por Derivação Implícita:
Observa que para o termo , vamos precisar usar a regra do produto
Passo 3
Aplicando os pontos, ficamos com:
Passo 4
Ele pede que achemos o ponto onde a tangente é horizontal.
Ora, uma reta horizontal tem inclinação zero, ou seja, seu coeficiente angular é nulo. Portanto, o que queremos achar é:
Ou seja, todos os pontos que satisfazem essa igualdade vão zerar a derivada.
Passo 5
Para encontrar o ponto que vem dessa igualdade, jogamos ela na equação da curva:
Multiplicando tudo por
Como ele pede para desconsiderar o ponto da origem, a solução não nos interessa.
Passo 6
O para esse valor de vai ser:
O ponto será, portanto:
Passo 7
Ele pede que achemos uma tangente vertical agora.
Ora, uma reta vertical tem inclinação “infinita”, ou seja, seu coeficiente angular é explode para . Portanto, o que queremos achar é:
Isso acontecerá quando o denominador zerar sem que haja indeterminação . Ou seja, queremos que
Para encontrar o ponto que vem dessa igualdade, jogamos ela no termo inicial:
Passo 8
Como ele pede para desconsiderar o ponto da origem, a solução não nos interessa.
O para esse valor de vai ser:
O ponto será, portanto: