Regra do Produto e do Quociente

Teoria Completa

Regra do Produto

Essa Regra é uma das mais importantes para a derivação. Usamos ela para derivar produtos, como o nome já diz. Sugiro que você imprima ela em um pôster e coloque em frente à sua cama para lembrar dela todos os dias. Essa vai ser uma amiga pra vida:

f x g x ' = f ' x g x + f ( x ) g ' ( x )

Muita gente cai no engano de achar que a derivada do Produto é o produto das derivadas, isso é errado!

f x g x ' ≠ f ' x g ' x

Ex: Deriva esse cara

y = sen ⁡ x ln ⁡ x

y ' = sen ⁡ x ' ln ⁡ x + sen ⁡ x ln ⁡ x '

= cos ⁡ x ln ⁡ x + sen ⁡ x 1 x

= cos ⁡ x ln ⁡ x + sen ⁡ x x

Regra para produto de 3 funções

Vamos supor que agora tenhamos um produto de 3 funções como mostrado abaixo

x cos ⁡ x e x '

Caso você chame duas delas de uma função auxiliar (digamos, z x = x cos ⁡ x ), poderia fazer:

z x h x ' = ( x cos ⁡ x ) ' e x + x cos ⁡ x e x

Onde, a derivada de z x é:

z ' x = x cos ⁡ x ' = cos ⁡ x - x sen ⁡ x

Substituindo os valores de z e de z ' x na expressão, teríamos:

z x h x ' = x cos ⁡ x e x ' = cos ⁡ x - x sen ⁡ x e x + x cos ⁡ x e x

= cos ⁡ x e x - x sen ⁡ x e x + x cos ⁡ x e x

De uma forma geral podemos escrever que

f   x g x h x ' = f ' x g x h x + f x g ' x h x + f   x g x h ' x

Repara, acabou que a Regra do Produto nesse caso será apenas a soma da derivada de cada função multiplicada pelas outras. Quer dizer primeiro derivamos f , multiplicamos por g e h . Depois derivamos g , multiplicamos por f e h . Então derivamos h , e multiplicamos por f e g . Somamos tudo, por fim!

OBS: Para um produto de n funções, teríamos esse mesmo padrão sendo gerado:

f x g x … n x ' = f ' x g x … n x + f x g ' x … n x + … + f x g x … n ' x

Regra do Quociente

A Regra do Quociente é tão importante quanto a última e até lembra a Regra do Produto, com o detalhe de um sinal de menos ali no segundo termo e um denominador.

A dica, para não ter erro, é você lembrar que o menos vai no termo que tem a derivada da função de baixo:

f x g x ' = f ' x g x - f ( x ) g ' ( x ) g 2 ( x )

Ex: Derive y em função de x

y = cos ⁡ x x 2

y ' = cos ⁡ x ' x 2 - cos ⁡ x x 2 ' x 2 2

= - sen ⁡ x x 2 - cos ⁡ x 2 x x 4

C o r t a n d o   u m   x   e m   c i m a   e   e m b a i x o ,   t e m o s :

= - sen ⁡ x x - 2 cos ⁡ x x 3

Partiu exercícios!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Encontre a derivada da função:

y = s e n ( x ) cos ⁡ x

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Passo 1

Lembrando da regra do produto

f g ' = f ' g + f g '

Obtemos:

y ' = s e n ( x ) ' cos ⁡ x + s e n x   cos ⁡ x '

Passo 2

Substituindo as derivadas:

y ' = cos ⁡ x cos ⁡ x + s e n ( x ) - s e n ( x )

y ' = cos 2 ⁡ ( x ) - sen 2 ⁡ ( x )

Resposta

y ' = cos 2 ⁡ ( x ) - sen 2 ⁡ ( x )

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.220-24

No exercício, determine a derivada de y em relação a x , conforme o caso:

y = x 3 3 ln ⁡ x - x 3 9

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Passo 1

Temos que derivar esse cara aplicando a Regra do Produto no primeiro termo e derivando direto no segundo. Da Regra do Produto, temos:

f g ' = f ' g + f g '

A derivada de y , pelas propriedades de derivação, será:

y ' = x 3 3 ln ⁡ x ' - x 3 9 '

Passo 2

Então, a primeira derivada fica:

x 3 3 ln ⁡ x ' = x 3 3 ' ln ⁡ x + x 3 3 ln ⁡ x '

= 3 x 2 3 ln ⁡ x + x 3 3 1 x

= x 2 ln ⁡ x + x 2 3

Passo 3

Para a segunda derivada, fazemos pela derivada do polinômio direto:

x 3 9 ' = 3 x 2 9

= x 2 3

Logo,

y ' = x 3 3 ln ⁡ x ' - x 3 9 '

= x 2 ln ⁡ x + x 2 3 - x 2 3

= x 2 ln ⁡ x

Resposta

y ' = x 2 ln ⁡ x

Exercício Resolvido #3

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2013.1 - 4 b

Calcule f ' ( x ) onde:

f x = ( cos ⁡ x ) ( 12 x + 3 x )

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Passo 1

Para derivar isso aí basta a gente usar a Regra do Produto:

h g ' = h ' g + h g '

Escrevi com h e não f a fórmula da Regra do Produto para não confundir com o f da questão.

f ' x = cos ⁡ x ' 12 x + 3 x + cos ⁡ x 12 x + 3 x '

Passo 2

Vamos fazer os dois termos derivados e adicionar lá. Primeiro derivada do cosseno:

cos ⁡ x ' = - sen ⁡ x

Agora para derivar o outro termo temos um polinômio e uma exponencial. Pela definição, derivamos assim:

12 x + 3 x ' = ln ⁡ ( 12 ) 12 x + 3

Passo 3

Junta tudo agora:

f ' x = cos ⁡ x ' 12 x + 3 x + cos ⁡ x 12 x + 3 x '

- sen ⁡ x 12 x + 3 x + cos ⁡ x ln ⁡ 12 12 x + 3

Resposta

f ' x = - sen ⁡ x 12 x + 3 x + cos ⁡ x ln ⁡ 12 12 x + 3

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Calcule a derivada da função abaixo:

y = x 2 x + 2 ( x 3 + 1 )

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Passo 1

Como se trata de um produto de 3 funções, vamos utilizar a regra do produto para 3 termos:

y ' = f   x g x h x '

y ' = f ' x ∙ g x ∙ h x + f x ∙ g ' x ∙ h x + f x ∙ g x ∙ h ' x

Vamos agora derivar cada uma das três.

f x = x 2

g x = x + 2

h x = x 3 + 1

Passo 2

Derivando f x , g x e h x :

f ' x = x 2 ' = 2 x

g ' x = x + 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 + 0 = 1 2 x

h ' x = x 3 + 1 ' = 1 3 x - 2 3 + 0 = 1 3 x - 2 3 = 1 3 x 2 3

Passo 3

Aplicando isso na fórmula do Passo 1 teremos:

y ' = f ' x ∙ g x ∙ h x + f x ∙ g ' x ∙ h x + f x ∙ g x ∙ h ' x

Então, cada um desses três termos vai ficar:

f ' x ∙ g x ∙ h x = 2 x x + 2 ( x 3 + 1 )

f x ∙ g ' x ∙ h x = x 2 1 2 x ( x 3 + 1 )

f x ∙ g x ∙ h ' x = x 2 x + 2 1 3 x 2 3

Como y '