Regra do Produto e do Quociente

Resumo Completo

Regra do Produto

Essa Regra é uma das mais importantes para a derivação. Usamos ela para derivar produtos, como o nome já diz. Sugiro que você imprima ela em um pôster e coloque em frente à sua cama para lembrar dela todos os dias. Essa vai ser uma amiga pra vida:

f x g x ' = f ' x g x + f ( x ) g ' ( x )

Muita gente cai no engano de achar que a derivada do Produto é o produto das derivadas, isso é errado!

f x g x ' f ' x g ' x

Ex: Deriva esse cara

y = sen x ln x

y ' = sen x ' ln x + sen x ln x '

= cos x ln x + sen x 1 x

= cos x ln x + sen x x

Regra para produto de 3 funções

Vamos supor que agora tenhamos um produto de 3 funções como mostrado abaixo

x cos x e x '

Caso você chame duas delas de uma função auxiliar (digamos, z x = x cos x ), poderia fazer:

z x h x ' = ( x cos x ) ' e x + x cos x e x

Onde, a derivada de z x é:

z ' x = x cos x ' = cos x - x sen x

Substituindo os valores de z e de z ' x na expressão, teríamos:

z x h x ' = x cos x e x ' = cos x - x sen x e x + x cos x e x

= cos x e x - x sen x e x + x cos x e x

De uma forma geral podemos escrever que

f   x g x h x ' = f ' x g x h x + f x g ' x h x + f   x g x h ' x

Repara, acabou que a Regra do Produto nesse caso será apenas a soma da derivada de cada função multiplicada pelas outras. Quer dizer primeiro derivamos f , multiplicamos por g e h . Depois derivamos g , multiplicamos por f e h . Então derivamos h , e multiplicamos por f e g . Somamos tudo, por fim!

OBS: Para um produto de n funções, teríamos esse mesmo padrão sendo gerado:

f x g x n x ' = f ' x g x n x + f x g ' x n x + + f x g x n ' x

Regra do Quociente

A Regra do Quociente é tão importante quanto a última e até lembra a Regra do Produto, com o detalhe de um sinal de menos ali no segundo termo e um denominador.

A dica, para não ter erro, é você lembrar que o menos vai no termo que tem a derivada da função de baixo:

f x g x ' = f ' x g x - f ( x ) g ' ( x ) g 2 ( x )

Ex: Derive y em função de x

y = cos x x 2

y ' = cos x ' x 2 - cos x x 2 ' x 2 2

= - sen x x 2 - cos x 2 x x 4

C o r t a n d o   u m   x   e m   c i m a   e   e m b a i x o ,   t e m o s :

= - sen x x - 2 cos x x 3

Partiu exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Elaboração Própria

Encontre a derivada da função:

y = s e n ( x ) cos x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Lembrando da regra do produto

f g ' = f ' g + f g '

Obtemos:

y ' = s e n ( x ) ' cos x + s e n x   cos x '

Passo 2

Substituindo as derivadas:

y ' = cos x cos x + s e n ( x ) - s e n ( x )

y ' = cos 2 ( x ) - sen 2 ( x )

Resposta

y ' = cos 2 ( x ) - sen 2 ( x )

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.220-24

No exercício, determine a derivada de y em relação a x , conforme o caso:

y = x 3 3 ln x - x 3 9

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos que derivar esse cara aplicando a Regra do Produto no primeiro termo e derivando direto no segundo. Da Regra do Produto, temos:

f g ' = f ' g + f g '

A derivada de y , pelas propriedades de derivação, será:

y ' = x 3 3 ln x ' - x 3 9 '

Passo 2

Então, a primeira derivada fica:

x 3 3 ln x ' = x 3 3 ' ln x + x 3 3 ln x '

= 3 x 2 3 ln x + x 3 3 1 x

= x 2 ln x + x 2 3

Passo 3

Para a segunda derivada, fazemos pela derivada do polinômio direto:

x 3 9 ' = 3 x 2 9

= x 2 3

Logo,

y ' = x 3 3 ln x ' - x 3 9 '

= x 2 ln x + x 2 3 - x 2 3

= x 2 ln x

Resposta

y ' = x 2 ln x

Exercício Resolvido #3

Enunciado

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2013.1 - 4 b

Calcule f ' ( x ) onde:

f x = ( cos x ) ( 12 x + 3 x )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para derivar isso aí basta a gente usar a Regra do Produto:

h g ' = h ' g + h g '

Escrevi com h e não f a fórmula da Regra do Produto para não confundir com o f da questão.

f ' x = cos x ' 12 x + 3 x + cos x 12 x + 3 x '

Passo 2

Vamos fazer os dois termos derivados e adicionar lá. Primeiro derivada do cosseno:

cos x ' = - sen x

Agora para derivar o outro termo temos um polinômio e uma exponencial. Pela definição, derivamos assim:

12 x + 3 x ' = ln ( 12 ) 12 x + 3

Passo 3

Junta tudo agora:

f ' x = cos x ' 12 x + 3 x + cos x 12 x + 3 x '

- sen x 12 x + 3 x + cos x ln 12 12 x + 3

Resposta

f ' x = - sen x 12 x + 3 x + cos x ln 12 12 x + 3

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule a derivada da função abaixo:

y = x 2 x + 2 ( x 3 + 1 )

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como se trata de um produto de 3 funções, vamos utilizar a regra do produto para 3 termos:

y ' = f   x g x h x ' = f ' x g x h x + f x g ' x h x + f   x g x h ' x

Vamos agora derivar cada uma das três.

f x = x 2

g x = x + 2

h x = x 3 + 1

Passo 2

Derivando f x , g x e h x :

f ' x = x 2 ' = 2 x

g ' x = x + 2 ' = 1 2 x 1 2 - 1 + 0 = 1 2 x

h ' x = x 3 + 1 ' = 1 3 x - 2 3 + 0 = 1 3 x - 2 3

Passo 3

Aplicando isso na fórmula do Passo 1 teremos:

f   x g x h x ' = f ' x g x h x + f x g ' x h x + f   x g x h ' x

Então,

x 2 x + 2 x 3 + 1 '

= 2 x x + 2 x 3 + 1 + x 2 1 2 x x 3 + 1 + x 2 x + 2 1 3 x - 2 3

= 2 x x + 4 x + x x 2 x 3 + 1 + x 4 3 x + 2 3

= 5 x x 2 + 4 x x 3 + 1 + x 4 3 x + 2 3

Resposta

y ' = 5 x x 2 + 4 x x 3 + 1 + x 4 3 x + 2 3

Exercício Resolvido #5

Enunciado

UNICAMP - Cálculo 1 - Exame 2012 Noturno - 1 b

Calcule:

g ' x ,     s e   g x = 1 - e x 1 + e x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Derivamos esse cara pela Regra do Quociente:

g ' x = 1 - e x ' 1 + e x - 1 - e x 1 + e x ' 1 + e x 2

Passo 2

Como a derivada de e x é o próprio e x , teremos:

1 - e x ' = - e x         ;         1 + e x ' = e x

Passo 3

Substituindo

= - e x 1 + e x - 1 - e x e x 1 + e x 2

= - e x - e 2 x - e x + e 2 x 1 + e x 2

= - 2 e x 1 + e x 2

É isso!

Resposta

g ' x = - 2 e x 1 + e x 2

Exercício Resolvido #6

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule a derivada da seguinte função:

y = ln x - x x + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Como a derivada da soma é a soma das derivadas:

y ' = ln x ' - x x + x 2 '

Passo 2

A derivada do logaritmo nós conhecemos:

ln x ' = 1 x

Passo 3

De resto temos que usar a regra do quociente:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

x x + x 2 ' = x ' x + x 2 - x x + x 2 ' x + x 2 2

x x + x 2 ' = x + x 2 - x 1 2 x - 1 2 + 2 x x + x 2 2

= x + x 2 - x 2 + 2 x 2 x + x 2 2 = x 2 - x 2 x + x 2 2

Passo 4

Somando tudo, obtemos:

y ' = ln x ' - x x + x 2 '

= 1 x - x 2 - x 2 x + x 2 2

Resposta

y ' = 1 x - x 2 - x 2 x + x 2 2

Exercício Resolvido #7

Enunciado

Elaboração Própria

Calcule a derivada da função definida abaixo:

y = x s e n ( x ) + x 2

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Aplicando a regra do quociente:

f g ' = f ' g - f g ' g 2

Nós chegamos a:

y ' = x ' s e n ( x ) + x 2 - x s e n ( x ) + x 2 ' s e n ( x ) + x 2 2

Passo 2

Calculando as derivadas:

x ' = 1 2 x 1 2   - 1 = 1 2 x - 1 2

Temos também:

s e n ( x ) + x 2 ' = cos x + 2 x

Passo 3

Finalmente, substituindo:

y ' = 1 2 x - 1 2 s e n ( x ) + x 2 - x cos x + 2 x s e n ( x ) + x 2 2

Colocando 1 2 em evidência:

y ' = 1 2 x - 1 2 sen x + x 2 - 2 x cos x + 2 x sen x + x 2 2

Resposta

y ' = x - 1 2 sen ( x ) + x 2 - 2 x cos x + 2 x 2 sen ( x ) + x 2 2

Exercício Resolvido #8

Enunciado

UNICAMP - Cálculo 1 - P1 2013.1 - 4 a

Calcule f ' ( x ) onde:

a   f x = x + sen x 4 x + x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Temos um quociente, adivinha que regra começamos usando? Duuh, a do Quociente.

f ' x = x + sen x ' 4 x + x - x + sen x 4 x + x ' 4 x + x 2

Passo 2

Agora calculamos as duas derivadas que ficaram sobrando do outro termo. Uma de cada vez:

x + sen x ' = x 1 2 ' + sen x ' = 1 2 x - 1 2 + cos x

4 x + x ' = ln ( 4 ) 4 x + 1

Passo 3

Vamos aglomerar tudo na fórmula original:

f ' x = x + sen x ' 4 x + x - x + sen x 4 x + x ' 4 x + x 2

= 1 2 x - 1 2 + cos x 4 x + x - x + sen x ln 4 4 x + 1 4 x + x 2

Resposta

f ' x = 1 2 x - 1 2 + cos x 4 x + x - x + sen x ln 4 4 x + 1 4 x + x 2

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