Derivada de Funções Hiperbólicas

Resumo Completo

Derivadas de funções hiperbólicas

Relebrando, é bom a gente dizer como são definidas as funções de senh x e cosh x :

senh x = e x - e - x 2

cosh x = e x + e - x 2

Ainda relembrando, a partir delas definimos tanh x , coth x , sech x e cossech x , com definições iguais às das trigonométricas.

Ex:

tgh x = senh x cosh x       ;       cossech x = 1 senh x

Para derivá-las de primeira, aqui vai a fórmula direta:

f x = senh x       ;       f ' x = senh x ' = cosh x

f x = cosh x       ;       f ' x = cosh x ' = senh x

Essas aqui de cima são as que você mais vai precisar. Repara, são iguais às derivadas de seno e cosseno, exceto que na derivada de cosh x não aparece um sinal de menos.

As derivadas das outras são:

f x = tanh x       ;       f ' x = sech 2 x

f x = coth x       ;       f ' x = - cossech 2 x

f x = sech x       ;       f ' x = - sech x tanh x

f x = cossech x       ;       f ' x = - coth x cossech x

Bem parecido com as derivadas das funções trigonométricas normais né?

Na real, é raro aparecer uma hiperbólica diferente de seno ou cosseno, (ou no máximo a da tangente), então foca principalmente em gravar essas derivadas!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Enunciado

Derive:

y = 1 2 e x + 3 2 senh x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para derivar essa soma, fazemos aqui a soma das derivadas:

y ' = 1 2 e x ' + 3 2 senh x '

y ' = 1 2 e x ' + 3 2 senh x '

Passo 2

Sabemos que a derivada da e x é ela mesma:

e x ' = e x

Já a derivada do seno hiperbólico é cosh x :

senh x ' = cosh x

Passo 3

Sendo assim,

y ' = 1 2 e x ' + 3 2 senh x '

y ' = 1 2 e x + 3 2 cosh x

Resposta

y ' = 1 2 e x + 3 2 cosh x

Exercício Resolvido #2

Enunciado

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.263-3b modificado

Mostre que a função y = a senh x + b cosh x satisfaz a seguinte equação

y ' ' = y

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Vamos lembrar a fórmula das derivadas da funções hiperbólicas

( senh x ) ' = c o s h   x

cosh x ' = senh x

Passo 2

O que ele quer nessa questão é ver se a segunda derivada é igual a própria função! Então vamos derivar esse cara duas vezes.

A primeira derivada, fica assim:

y = a senh x + b cosh x

y ' = a senh x ' + b cosh x '

y ' = a cosh x + b senh x

Passo 3

Segunda derivada:

y ' ' = a cosh x ' + b senh x '

= a senh x + b cosh x

É, confirmou-se. O y ' ' é igual ao y original. Provamos que

y ' ' = y

Resposta

Exercício Resolvido #3

Enunciado

Derive:

y = e x - e - x e x + e - x + 4 tanh x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Ok, não fazemos ideia de como derivar essa divisão de exponenciais aí.

Contudo, se vc for parar para se lembrar de como são definidos seno e cosseno hiperbólico, vai lembrar isso aqui:

senh x = e x - e - x 2

cosh x = e x + e - x 2

Bom, olhando isso, que tal a gente dividir uma equação pela outra?

senh x cosh x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

Cara, a divisão de seno hiperbólico por cosseno hiperbólico resulta na tangente hiperbólica!

tanh x = e x - e - x e x + e - x

Passo 2

Aplicando isso na equação, teremos:

y = e x - e - x e x + e - x + 4 tanh x

= tanh x + 4 tanh x

= 5 tanh x

Muito melhor para derivar agora!

Passo 3

Derivando o termo, podemos botar a constante para fora:

y ' = 5 tanh x '

= 5 tanh x '

Sabemos que a derivada da tanh x é ela mesma:

tanh x ' = sech 2 x

O resultado, portanto, vai ser:

y ' = 5 tanh x '

y ' = 5 sech 2 x

Resposta

y ' = 5 sech 2 x

Exercício Resolvido #4

Enunciado

Derive:

y = 3 x - 7 x 8 + 43 cossech x - 20 log 14 x + 5 cosh x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Para derivar essa soma, fazemos aqui a soma das derivadas:

y ' = 3 x ' - 7 x 8 ' + 43 cossech x ' - 20 log 14 x ' + 5 cosh x '

y ' = 3 x ' - 7 x 8 ' + 43 cossech x ' - 20 log 14 x ' + 5 cosh x '

Passo 2

Vamos fazer uma derivada de cada vez. Começamos pela exponencial:

3 x ' = 3 x ln 3

Derivamos o polinômio agora:

x 8 ' = 8 x 7

A cossech x pode ser derivada pelo que apresentamos na teoria:

cossech x ' = - coth x cossech x

Deriva-se o logaritmo:

log 14 x ' = 1 x ln 14

Agora basta derivar o cosseno hiperbólico:

cosh x ' = senh x

Passo 3

Sendo assim,

y ' = 3 x ' - 7 x 8 ' + 43 cossech x ' - 20 log 14 x ' + 5 cosh x '

y ' = 3 x ln 3 - 7 8 x 7 + 43 - coth x cossech x - 20 1 x ln 14 + 5 senh x

y ' = 3 x ln 3 - 56 x 7 - 43 coth x cossech x - 20 x ln 14 + 5 senh x

Resposta

y ' = 3 x ln 3 - 56 x 7 - 43 coth x cossech x - 20 x ln 14 + 5 senh x

Exercício Resolvido #5

Enunciado

Derive:

y = x sinh x

MOSTRAR SOLUÇÃO PASSO A PASSO

Passo 1

Quando a gente olha pra uma função elevada a uma função já dá um nó na cabeça, não é mesmo? Parece difícil a beça e já da um medo! Mas calma, tem uma propriedade das exponenciais que salva muito a gente nesses casos, dá uma olhada:

a = e ln a

Sendo a um número qualquer. Ok, mas se ao invés de a tivéssemos uma função?

f x = e ln f x

Nada de diferente pessoal! Nada mesmo! Então vamos usar essa propriedade e escrever:

y = e ln y = e ln x sinh x

E, pra fechar esse passo, vamos usar mais uma propriedade importante, dessa vez dos logaritmos:

ln a b = b ln a

E se você acha que isso vale também pra funções, achou certo! Vamos ter então:

y = e ln x sinh x = e sinh x     ln x

Opa, agora talvez fique mais tranquilo da gente derivar! Vamo que vamo então:

Passo 2

Se lembrarmos bem, quando derivamos e elevado a alguma função, pela regra da cadeia, ficamos com:

e g x ' = g ' x     e g x

Olhando bem pra nossa função e comparando com a regra da cadeia em cima

y = e sinh x     ln x

A gente vê bem que é esse g x . No caso, vai ser:

g x = sinh x     ln x

Bem, vai faltar só derivar agora! E a derivada dessa função então vai ser, pela regra do produto:

g ' x = sinh x   '   ln x +   sinh x     ln x '

g ' x = cosh x ln x + sinh x x

Passo 3

Fechamos a questão então galera! Próximo passo é só juntar tudo que encontramos, que foi:

y ' = e g x ' = g ' x     e g x

g x = sinh x     ln x

g ' x = cosh x ln x + sinh x x

Juntando tudo:

y ' = cosh x ln x + sinh x x   e sinh x     ln x

E lá do primeiro passo, pescando essa informação importantíssima:

x sinh x = e sinh x     ln x

Fechamos a questão com:

y ' =   x sinh x   cosh x ln x + sinh x x

Resposta

y ' =   x sinh x   cosh x ln x + sinh x x

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas