Derivada de Funções Hiperbólicas

Teoria Completa

Derivadas de funções hiperbólicas

Relebrando, é bom a gente dizer como são definidas as funções de senh ⁡ x e cosh ⁡ x :

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Ainda relembrando, a partir delas definimos tanh ⁡ x , coth ⁡ x , sech ⁡ x e cossech ⁡ x , com definições iguais às das trigonométricas.

Ex:

tgh ⁡ x = senh ⁡ x cosh ⁡ x       ;       cossech ⁡ x = 1 senh ⁡ x

Para derivá-las de primeira, aqui vai a fórmula direta:

f x = senh ⁡ x       ;       f ' x = senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

f x = cosh ⁡ x       ;       f ' x = cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

Essas aqui de cima são as que você mais vai precisar. Repara, são iguais às derivadas de seno e cosseno, exceto que na derivada de cosh ⁡ x não aparece um sinal de menos.

As derivadas das outras são:

f x = tanh ⁡ x       ;       f ' x = sech 2 ⁡ x

f x = coth ⁡ x       ;       f ' x = - cossech 2 ⁡ x

f x = sech ⁡ x       ;       f ' x = - sech ⁡ x tanh ⁡ x

f x = cossech ⁡ x       ;       f ' x = - coth ⁡ x cossech ⁡ x

Bem parecido com as derivadas das funções trigonométricas normais né?

Na real, é raro aparecer uma hiperbólica diferente de seno ou cosseno, (ou no máximo a da tangente), então foca principalmente em gravar essas derivadas!

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Exercício Resolvido #1

Derive:

y = 1 2 e x + 3 2 senh ⁡ x

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Passo 1

Para derivar essa soma, fazemos aqui a soma das derivadas:

y ' = 1 2 e x ' + 3 2 senh ⁡ x '

y ' = 1 2 e x ' + 3 2 senh ⁡ x '

Passo 2

Sabemos que a derivada da e x é ela mesma:

e x ' = e x

Já a derivada do seno hiperbólico é cosh ⁡ x :

senh ⁡ x ' = cosh ⁡ x

Passo 3

Sendo assim,

y ' = 1 2 e x ' + 3 2 senh ⁡ x '

y ' = 1 2 e x + 3 2 cosh ⁡ x

Resposta

y ' = 1 2 e x + 3 2 cosh ⁡ x

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.263-3b modificado

Mostre que a função y = a senh ⁡ x + b cosh ⁡ x satisfaz a seguinte equação

y ' ' = y

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Passo 1

Vamos lembrar a fórmula das derivadas da funções hiperbólicas

( senh ⁡ x ) ' = c o s h   x

cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

Passo 2

O que ele quer nessa questão é ver se a segunda derivada é igual a própria função! Então vamos derivar esse cara duas vezes.

A primeira derivada, fica assim:

y = a senh ⁡ x + b cosh ⁡ x

y ' = a senh ⁡ x ' + b cosh ⁡ x '

y ' = a cosh ⁡ x + b senh ⁡ x

Passo 3

Segunda derivada:

y ' ' = a cosh ⁡ x ' + b senh ⁡ x '

= a senh ⁡ x + b cosh ⁡ x

É, confirmou-se. O y ' ' é igual ao y original. Provamos que

y ' ' = y

Resposta

Exercício Resolvido #3

Derive:

y = e x - e - x e x + e - x + 4 tanh ⁡ x

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Passo 1

Ok, não fazemos ideia de como derivar essa divisão de exponenciais aí.

Contudo, se vc for parar para se lembrar de como são definidos seno e cosseno hiperbólico, vai lembrar isso aqui:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Bom, olhando isso, que tal a gente dividir uma equação pela outra?

senh ⁡ x cosh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

Cara, a divisão de seno hiperbólico por cosseno hiperbólico resulta na tangente hiperbólica!

tanh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Passo 2

Aplicando isso na equação, teremos:

y = e x - e - x e x + e - x + 4 tanh ⁡ x

= tanh ⁡ x + 4 tanh ⁡ x

= 5 tanh ⁡ x

Muito melhor para derivar agora!

Passo 3

Derivando o termo, podemos botar a constante para fora:

y ' = 5 tanh ⁡ x '

= 5 tanh ⁡ x '

Sabemos que a derivada da tanh ⁡ x é ela mesma:

tanh ⁡ x ' = sech 2 ⁡ x

O resultado, portanto, vai ser:

y ' = 5 tanh ⁡ x '

y ' = 5 sech 2 ⁡ x

Resposta

y ' = 5 sech 2 ⁡ x

Exercício Resolvido #4

Derive:

y = 3 x - 7 x 8 + 43 cossech ⁡ x - 20 log 14 ⁡ x + 5 cosh ⁡ x

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Passo 1

Para derivar essa soma, fazemos aqui a soma das derivadas:

y ' = 3 x ' - 7 x 8 ' + 43 cossech ⁡ x ' - 20 log 14 ⁡ x ' + 5 cosh ⁡ x '

y ' = 3 x ' - 7 x 8 ' + 43 cossech ⁡ x ' - 20 log 14 ⁡ x ' + 5 cosh ⁡ x '

Passo 2

Vamos fazer uma derivada de cada vez. Começamos pela exponencial:

3 x ' = 3 x ln ⁡ 3

Derivamos o polinômio agora:

x 8 ' = 8 x 7

A cossech ⁡ x pode ser derivada pelo que apresentamos na teoria:

cossech ⁡ x ' = - coth ⁡ x cossech ⁡ x

Deriva-se o logaritmo:

log 14 ⁡ x ' = 1 x ln ⁡ 14

Agora basta derivar o cosseno hiperbólico:

cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

Passo 3

Sendo assim,

y ' = 3 x ' - 7 x 8 ' + 43 cossech ⁡ x ' - 20 log 14 ⁡ x ' + 5 cosh ⁡ x '

y ' = 3 x ln ⁡ 3 - 7 8 x 7 + 43 - coth ⁡ x cossech ⁡ x - 20 1 x ln ⁡ 14 + 5 senh ⁡ x