EDO Linear

Teoria Completa

Olha o RespondeAi, aí de novo! Tudo bem mano? Vamos continuar nossos estudos de cálculo e entender como se calcula uma EDO Linear de 1ª Ordem não separável? Nossa que nome enorme! Calma, vamos da maneira como gostamos de fazer aqui no site e destrinchar isso aqui antes de seguir nosso raciocínio....

Uma EDO é uma equação que contém uma função, e também uma derivada em relação a variável dessa função.

Chamá-la de linear, significa dizer que ela só tem termos lineares, ou seja, não existe multiplicação entre a função da EDO e suas derivadas, ou entre suas derivadas de diferentes ordens:

Quando falamos da ordem de uma EDO, estamos falando, sobre a ordem da maior derivada que aparece na equação:

Dizemos que ela é não separável, porque não conseguimos separar as variáveis dependentes e independentes dentro da equação, e integrar em ambos os lados.

Ok, agora que já sabemos como será mais ou menos a carinha da nossa EDO Linear de 1ª Ordem não separável, vamos entender como faremos para resolver esse tipo de EDO. É muito importante saber identificar esse tipo de EDO, porque o método de resolução dela é bem simples.

Essas equações diferenciais são calculadas utilizando o método do fator integrante. O fator integrante é um termo que temos que descobrir, para transformar nossa EDO, em uma equação facilmente integrável.

Nossa EDO Linear de 1ª Ordem sempre vai poder ser organizada algebricamente, para ser colocada nesse formatinho:

$$y'(x)+A(x).y(x)=B(x)$$

📢OBS: É importante deixar claro que quando tivermos alterando algebricamente a EDO para colocá-la nesse formato o coeficiente da derivada $y'$ deve ser $1$.

E em seguida vamos calcular o fator integrante $I$ com a fórmula:

$$I(x)=e^{\int A(x)\text{ }dx}$$

E o fator integrante é muito importante, porque ele vai nos levar para a solução da EDO, que vai ter a forma:

$$y(x)=\frac{1}{I(x)} \Big(\int I(x).B(x)\text{ }dx \Big)$$

Ok... Mas agora chega de teoria e vamos ver um exemplo e depois dar uma olhada em uns exercícios com resolução Passo a Passo, preparado especialmente para você pela nossa equipe de Experts em Cálculo.

Exemplo

Vamos utilizar o método da resolução por fator integrante, na seguinte EDO:

$$y'=y+x$$

Passo 1

O primeiro passo é, verificar se realmente ela é uma EDO Linear de 1ª Ordem, como estamos tratando de um exemplo, sabemos que ela se encaixa nessa condição, então agora temos que organizá-la na forma $y'(x)+A(x).y(x)=B(x)$:

$$y'(x)-y(x)=x$$

Onde, $A(x)=-1$ e $B(x)=x$.

Passo 2

Em seguida, tendo em mente que teremos que utilizar o método do fator integrante, vamos calculá-lo:

$$I(x)=e^{\int A(x)\text{ }dx}$$

Então primeiro a integral:

$$\int A(x)\text{ }dx=\int(-1)\text{ }dx=-x$$

📢OBS: Nessa integral, não é necessário adicionar constante no final. Iremos considerar a constante apenas no último Passo.

Então nosso fator integrante vale:

$$I(x)=e^{-x}$$

Passo 3

Agora que já temos todos os dados, podemos montar nossa solução:

$$y(x)=\frac{1}{I(x)} \Big(\int I(x).B(x)\text{ }dx \Big) = \frac{1}{e^{-x}} \Big(\int e^{-x}.x\text{ }dx \Big)$$

Então primeiro vamos calcular a integral:

$$\int x.e^{-x}\text{ }dx$$

Para isso vamos usar integração por partes:

$$\int xe^{-x}\text{ }dx=-xe^{-x}+\int e^{-x}\text{ }dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C$$

Passo 4

Agora temos que a solução é:

$$y(x)=\frac{1}{e^{-x}}(-xe^{-x}-e^{-x}+C)$$

Logo:

$$y(x)=-x-1+C$$

E assim temos a solução.

Muitas vezes esses exercícios, são exercício de PVI, ou Problema do Valor Inicial, onde você terá um ponto, e utilizará esse dado para descobrir qual o valor da constante $C$, basta substituir os valores de $x$ e $y$ na solução. Vamos ver um exercício resolvido em vídeo por um de nossos Experts:

Exercício

Acompanhe a resolução Passo a Passo do seguinte PVI:

$$\begin{cases} x^2y'+xy=1 \\ y(1)=0 \\ x>0 \end{cases}$$

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET, EDO, Professor Hélder,P1 2014.2, Questão 1 item b

Resolva a seguinte equação diferencial:

y ' + cos ⁡ x y = 5 cos ⁡ x

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Passo 1

Ae a gente bate o olho e vê! Né não? É uma EDO linear de primeira ordem!

Já está na forma certa! Simbora resolver!

Passo 2

Identifique os paranauê:

A x = cos ⁡ x B x = 5 cos ⁡ x

Passo 3

Calcule a integral:

∫ A x d x = ∫ cos ⁡ ( x ) d x = sen ⁡ ( x )

Passo 4

Calcule o fator integrante:

I x = e ∫ A x d x = e sen ⁡ x

Passo 5

Calcule a integral:

∫ I x B x d x = ∫ e sen ⁡ x 5 . cos ⁡ x d x

Ae você pensa, “é soldado, não foi hoje que rolou aquele free point na prova”. Calma spartano(a), podemos resolver esse paranauê com uma substituição simples! Veja só

u = sen ⁡ ( x ) → d u = cos ⁡ ( x ) d x

Assim fica:

∫ I x B x d x = 5 ∫ e u d u = 5 e u

Aeee, acabou! Só que não, calma ae, temos que voltar a variável antiga!

∫ I x B x d x = 5 e sen ⁡ x

Passo 6

E finalmente ache a resposta:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C = 1 e sen ⁡ x 5 e sen ⁡ x + c = 5 + c e - sen ⁡ x

Resposta

y x = 5 + c e - sen ⁡ x

Exercício Resolvido #2

UERJ, Cálculo 3, Lista 3 do Professor Fernando Lopes, Questão 1 item c

Resolva a seguinte equação diferencial linear:

d y d x + y x - cotg ⁡ x x = 0

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Passo 1

Colocar a equação na forma y ' x + A x ⋅ y x = B ( x )

Se liga: a função cotg ⁡ x tem fluxos de descontinuidade, consideraremos 0 < x < π 2 .

Isso porque um parcela de continuidade da cotg ⁡ x seria de 0 < x < π , mas estou pegando um intervalo positivo para facilitar caso exista algum logaritmo pela frente.

Então fica:

y ' x + 1 x ⏟ A x y = cotg ⁡ x x ⏟ B x

Passo 2

Encontrar A ( x ) e B ( x )

A x = 1 x B x = cotg ⁡ x x

Passo 3

Calcular a integral ∫ A x d x sem adicionar a constante e ache I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x |

Assim ficou :

∫ A x d x = ln ⁡ | x |

I x = e ∫ A x d x

I x = e ln ⁡ x = x

Mas opa, vimos lá no início que:

0 < x < π 2

Então x = x !

Passo 4

Calcular a integral ∫ I x ⋅ B x d x + C

∫ cotg ⁡ x x ⋅ x d x + C = ∫ 1 x ⋅ cos ⁡ x sen ⁡ x ⋅ x   d x + C = ∫ cos ⁡ x sen ⁡ x d x + C

Por substituição simples:

t = sen ⁡ x

d t = cos ⁡ x d x

Substituindo na integral:

∫ 1 t d t + C = ln ⁡ | t | + C = ln ⁡ | sen ⁡ x | + C

E de novo sabemos que: 0 < x < π 2

Nesse intervado sen ⁡ x é positivo, logo podemos tirar o módulo:

ln ⁡ sen ⁡ x + C

Passo 5

Calcule finalmente y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

y x = 1 x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x + C

Resposta

y x = 1 x ⋅ ln ⁡ sen ⁡ x + C

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ, Cálculo 3, P1 2012.1, Questão 1 item ii

Ache a solução geral da equação seguinte:

x y ' + 2 y = x 2 - x + 1

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Passo 1

Bom, para resolver essa EDO

x y ' + 2 y = x 2 - x + 1

Começamos por dividir tudo por x .

y ' + 2 x y = x - 1 + 1 x

Passo 2

Como temos uma EDO de primeira ordem, que não é separável, vamos resolver pelo método do fator integrante. Comparando com a forma habitual, temos

A x = 2 x ,     B x = x - 1 + 1 x

Passo 3

O fator integrante é dado por:

I x = e ∫ A x d x = e ∫ 2 x d x = e 2 ln ⁡ x = e ln ⁡ x 2 = x 2

Passo 4

Calculando ∫ I x B x d x

∫ x 2 x - 1 + 1 x d x = ∫ x 3 d x - ∫ x 2 d x + ∫ x d x

∫ I x B x d x = x 4 4 - x 3 3 + x 2 2

Passo 5

Usando a nossa fórmula

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + c

y x = 1 x 2 x 4 4 - x 3 3 + x 2 2 + C

y = x 2 4 - x 3 + 1 2 + C x 2

Resposta

y = x 2 4 - x 3 + 1 2 + C x 2

Exercício Resolvido #4

Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp77-24

Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

1 - cos ⁡ x d y + ( 2 y s e n x - tan ⁡ x ) d x = 0

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Passo 1

Então galerinha, para encontrar essa solução geral, nós vamos utilizar a seguinte fórmula:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Deste modo, primeiro vamos reescrever essa equação para deixar mais claro o que vamos integrar depois!

Escrevendo no formato manjado de EDO de 1ª ordem,   y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) :

1 - cos ⁡ x d y + ( 2 y s e n x - tan ⁡ x ) d x = 0

1 - cos ⁡ x d y = - ( 2 y s e n x - tan ⁡ x ) d x

d y d x = - ( 2 y s e n x - tan ⁡ x ) 1 - cos ⁡ x

d y d x = - 2 s e n x 1 - cos ⁡ x y + tan ⁡ x 1 - cos ⁡ x  

d y d x + 2 s e n x 1 - cos ⁡ x y = tan ⁡ x 1 - cos ⁡ x  

A x = 2 s e n x 1 - cos ⁡ x

B x = tan ⁡ x 1 - cos ⁡ x  

Para isso já podemos perceber que cos ⁡ x ≠ 1 , pois o denominador não pode zerar, logo x ≠ 2 k π ,   k ∈ Z .

Passo 2

Vamos calcular o nosso fator integrante   I x . Para isso devemos fazer,

I x = e ∫ A x d x

Calculando a integral ∫ A x d x

∫ A x d x =   2 ∫ s e n x 1 - cos ⁡ x d x

Chamando ( 1 - cos ⁡ x ) = u , temos.

s e n x d x = d u

∫ A x d x = 2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ ( 1 - cos ⁡ x )

Lembrando que pra nossa receita de bolo dar certo nós não devemos adicionar a constante de integração nesse passo. Sendo assim:

I x = e ∫ A x d x = 1 - cos ⁡ x 2

Passo 3

Agora que obtivemos o nosso fator integrante, vamos resolver a nossa integral!

O cálculo da integral:

∫ I x . B x d x

∫ I x B x d x = ∫ 1 - cos ⁡ x 2 tan ⁡ x 1 - cos ⁡ x   d x = ∫ tan ⁡ x ( 1 - cos ⁡ x ) d x

∫ I x B x d x = ∫ tan ⁡ x d x - ∫ s e n x d x

∫ I x B x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + cos ⁡ x

Ainda não vamos colocar a constante de integração aqui. Ajeitando um pouco o resultado, veja que:

- ln ⁡ cos ⁡ x = ln ⁡ cos ⁡ x - 1 = ln ⁡   s e c x

Passo 4

Agora vamos jogar tudo na formula,

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

y x = 1 1 - cos ⁡ x 2 - ln ⁡ cos ⁡ x + cos ⁡ x + C

Onde C é uma constante.

Como não temos informações para achar a constante C   a nossa resposta é essa acima. Vamos lembrar que:

cos ⁡ x ≠ 1             cos ⁡ x ≠ 0

x ≠ 0 + 2 k π ,     k ∈ Z

x ≠ π 2 + k π ,     k ∈ Z

Como o problema pede pra determinarmos um intervalo onde y ( x ) está bem definida podemos escolher 0 < x < π 2 .

Resposta

y x = 1 1 - cos ⁡ x 2 - ln ⁡ cos ⁡ x + cos ⁡ x + C ,                     0 < x < π 2

Exercício Resolvido #5

James Stewart, Cálculo Vol. 2, 6ª ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010, página 630

Encontre a solução do PVI abaixo:

x 2 y ' + x y = 1 y 1 = 0 x > 0

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Passo 1

Colocar a equação na forma y ' x + p x ⋅ y x = g ( x ) :

x 2 y ' + x y = 1

Para que o coeficiente do termo y ' seja 1 devemos dividir tudo por x 2 :

⇒ 1 x 2 ( x 2 y ' + x y ) = 1 x 2 ( 1 )

Como colocamos o termo x 2 no denominador, temos que dizer que é diferente de zero:

x 2 ≠ 0

⇒ x ≠ 0

Mas como no próprio enunciado do problema ele já diz que x > 0 , então tudo em paz! x já não poderia ser zero de qualquer maneira!

⇒ y ' + 1 x y = 1 x 2

⇒ y ' x + 1 x y x = 1 x 2

Legal! Chegamos à forma que queríamos!

Passo 2

Encontrar A ( x ) e B ( x ) :

Comparando as duas equações:

y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) y ' x + 1 x ⋅ y x = 1 x 2

⇒ A x = 1 x B x = 1 x 2

Passo 3

Calcular a integral ∫ A x d x sem adicionar a constante:

∫ A x d x = ∫ 1 x d x = ln ⁡ | x |

Como x > 0 , então x = x .

Então, nesse caso temos que

⇒ ∫ A x   d x = ln ⁡ x

Passo 4

Calcular I x :

I x = e ∫ A x d x = e ln ⁡ x

⇒ I x = x

Passo 5

Calcular ∫ B ( x ) ⋅ I ( x ) d x sem adicionar a constante!

∫ B ( x ) ⋅ I ( x ) d x = ∫ 1 x 2 . x ⋅ d x = ∫ d x x

⇒ ∫ d x x = ln ⁡ x

⇒ ∫ B ( x ) ⋅ I ( x ) d x = ln ⁡ x

Passo 6

Encontrar a solução:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

⇒ y x = 1 x ln ⁡ x + c

⇒ y ( x ) = 1 x ( ln ⁡ x + c )

Passo 7

Encontrar solução particular caso seja um PVI:

y 1 = 0

Substituindo x = 1 na solução geral:

y 1 = 1 1 ln ⁡ 1 + c = 1 ( 0 + c )

⇒ y 1 = c

Substituindo na condição inicial:

y 1 = 0

⇒ c = 0

Substituindo a constante na solução geral:

y x = 1 x ( ln ⁡ x + c )

⇒ y x = 1 x ln ⁡ x

Resposta

y x = 1 x ln ⁡ x

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