Teoria

Já vimos o que são EDOs, agora vamos dar uma olhada em um tipo específico e como resolvê-las. Vamos supor que a gente tenha essas EDOs aqui:

y ' = x y

y ' + sen ⁡ x y = 0

y ' - x = y

y ' = sen ⁡ x tg ⁡ y

Vamos dizer que elas são separáveis se, isolando a derivada a gente ficar com o produto entre uma função de x e outra de y

y ' x = f x g ( y )

Obs: Podem ser funções de t e p , m e n , tanto faz ok? Estamos usando x e y aqui como notação aqui mas outras podem ser usadas pra mesma coisa.

Repara que nas equações alí em cima, a primeira e a última são desse tipo, são separáveis, nas outras a gente não consegue colocar nesse formato.

Ok! Já vimos como é uma EDO separável. Mas e agora? Como vamos resolver?

Vamos pegar a primeira ali de cima como exemplo:

y ' x = x y x

Vamos reescrever ela assim ó:

d y d x = x y

É importante que a derivada esteja isolada em um lado da equação, no nosso caso já está. Agora, vamos SEPARAR tudo que é x para um lado e tudo que é y para o outro.

d y y = x d x

Show! A próxima coisa a fazer vai ser integrar dos dois lados de forma independente.

∫ d y y = ∫ x d x

ln ⁡ y + c 1 = x 2 2 + c 2

A gente não precisa de duas constantes aqui não, podemos juntar C 1 e C 2 em uma só C .

ln ⁡ y = x 2 2 + C

Então ótimo! Encontramos a solução geral! Pode ser que precisemos dar a resposta do exercício como um y em função de x , aí é só a gente isolar (tem alguns casos que não vai ter como mesmo, acontece, não desespera!). No nosso caso

ln ⁡ y = x 2 2 + C

y = e x 2 2 ∙ e C

Aqui, temos uma liberdade poética de tirar o módulo sem muita preocupação, ficando assim:

y = K e x 2 2

A gente pode colocar e C = K pra ficar melhor.

Problema de Valor Inicial

Te contei quase tudo que você precisa sobre EDO, faltou um detalhezinho. Imagina que o seu professor pede para resolver esse problema aqui:

d y d x = x y y 0 = 1

Já resolvemos

d y d x = x y

Agora só falta aplicar a condição y 0 = 1 , que chamamos de condição inicial do problema. Ela vai nos ajudar a encontrar o valor de K . Vamos usar essa condição na solução geral que a gente encontrou.

y 0 = 1 = K e 0 ∴ K = 1

Então a solução do problema de valor inicial será

y x = 1 . e x 2 2

Sacou? Vou te passar um passo a passo para resolver uma EDO separável:

  1. Coloque a derivada na forma d y d x em vez de y ' ( x ) e escreva apenas y em vez de y ( x )
  2. Isole o termo d y d x de um lado da equação e coloque o resto do outro lado
  3. Tente separar tudo que tem x para o lado do d x e tudo que tem y para o lado do d y
  4. Conseguiu? Agora é só integrar os dois lados e correr pro abraço!
  5. Caso seja necessário, isole y ( x )
  6. Caso seja um problema de valor inicial, ache o valor da constante usando a condição inicial!

Partiu exercícios!

Problema de Valor Inicial

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