Teoria
Já vimos o que são EDOs, agora vamos dar uma olhada em um tipo específico e como resolvê-las. Vamos supor que a gente tenha essas EDOs aqui:
Vamos dizer que elas são separáveis se, isolando a derivada a gente ficar com o produto entre uma função de e outra de
Obs: Podem ser funções de e , e , tanto faz ok? Estamos usando e aqui como notação aqui mas outras podem ser usadas pra mesma coisa.
Repara que nas equações alí em cima, a primeira e a última são desse tipo, são separáveis, nas outras a gente não consegue colocar nesse formato.
Ok! Já vimos como é uma EDO separável. Mas e agora? Como vamos resolver?
Vamos pegar a primeira ali de cima como exemplo:
Vamos reescrever ela assim ó:
É importante que a derivada esteja isolada em um lado da equação, no nosso caso já está. Agora, vamos SEPARAR tudo que é para um lado e tudo que é para o outro.
Show! A próxima coisa a fazer vai ser integrar dos dois lados de forma independente.
A gente não precisa de duas constantes aqui não, podemos juntar e em uma só .
Então ótimo! Encontramos a solução geral! Pode ser que precisemos dar a resposta do exercício como um em função de , aí é só a gente isolar (tem alguns casos que não vai ter como mesmo, acontece, não desespera!). No nosso caso
Aqui, temos uma liberdade poética de tirar o módulo sem muita preocupação, ficando assim:
A gente pode colocar pra ficar melhor.
Problema de Valor Inicial
Te contei quase tudo que você precisa sobre EDO, faltou um detalhezinho. Imagina que o seu professor pede para resolver esse problema aqui:
Já resolvemos
Agora só falta aplicar a condição , que chamamos de condição inicial do problema. Ela vai nos ajudar a encontrar o valor de . Vamos usar essa condição na solução geral que a gente encontrou.
Então a solução do problema de valor inicial será
Sacou? Vou te passar um passo a passo para resolver uma EDO separável:
- Coloque a derivada na forma em vez de e escreva apenas em vez de
- Isole o termo de um lado da equação e coloque o resto do outro lado
- Tente separar tudo que tem para o lado do e tudo que tem para o lado do
- Conseguiu? Agora é só integrar os dois lados e correr pro abraço!
- Caso seja necessário, isole
- Caso seja um problema de valor inicial, ache o valor da constante usando a condição inicial!
Partiu exercícios!