Equação de Riccati

Teoria Completa

Introdução

Mais uma das equações especiais que estudaremos é a de Riccati. Apresentarei um método de solução que precisamos necessariamente já conhecer uma solução particular y p da equação. Mais tarde, quando falarmos de equações de ordens superiores citarei outro método.

Equação de Riccati

Uma equação diferencial ordinária é dita ser de Riccati se tiver a forma:

y ' = P x y 2 + Q x y + R x

Conhecendo uma solução particular y p dessa equação, o método de solução consiste em transformar, por meio da mudança z = y - y p , a equação de Riccati numa equação de Bernoulli e resolver como se resolve uma equação de Bernoulli. Sempre lembrando de voltar à variável original no final de tudo.

Simples, não? Vamos ver como isso acontece.

Fazendo z = y - y p na equação: y ' = P x y 2 + Q x y + R x

temos

z ' + y p ' = P x z 2 + 2 z y p + y p 2 + Q x z + y p + R x

Sabendo que y p é uma solução particular, ou seja, y p ' = P x y p 2 + Q x y p + R x , a equação

z ' + y p ' = P x z 2 + 2 z y p + y p 2 + Q x z + y p + R x

fica

z ' + [ P x y p 2 + Q x y p + R x ] = P x z 2 + 2 z y p + y p 2 + Q x z + y p + R x

z ' = P x z 2 + Q x + 2 P x y p z

Que é uma equação de Bernoulli em z . Não enxergou? Calma aí!

z ' - Q x + 2 P x y p z = P x z 2

E agora consegue perceber que é de Bernoulli? Uma EDO é de Bernoulli se ela é de primeira ordem (essa é de primeira ordem), o coeficiente da derivada é o número um 1 (é um), tem uma função apenas de x como coeficiente de z ( Q x + 2 P x ) y p é função apenas de x e outra função apenas de x como coeficiente de z α (nesse caso α = 2 ).

Viu só? É de Bernoulli, daí é só resolver como se resolve Bernoulli lembrando que y = z + y p .

Exemplo 1

Sabendo que y x = 1 é uma solução da equação d y d x = y + x y 2 - 1 - x determine a solução geral da equação.

Essa equação, de fato, é de Riccati

y ' = x y 2 + y + - 1 - x

Fazendo a substituição y = 1 + z

z ' = x 1 + z 2 + 1 + z + - 1 - x

z ' = x 1 + 2 z + z 2 + 1 + z - 1 - x

z ' = x + 2 x z + x z 2 + z - x

z ' = 2 x z + x z 2 + z

z ' = 1 + 2 x z + x z 2

1) Dividindo por z 2

z - 2 z ' = 1 + 2 x z - 1 + x

2) Fazedno u = z - 1

u = z - 1 u ' = - z - 2 z '

- u ' = 1 + 2 x u + x

u ' = - 1 + 2 x u - x

3) Resolvendo a linear

u ' + 1 + 2 x u = - x

Calculando I x

I x = e A x d x = e 1 + 2 x   d x = e x + x 2

Calculando I x B x d x

I x B x d x = e x + x 2 - x d x = - x e x + x 2 d x

u x = 1 e x + x 2 c - x e x + x 2 d x

Voltando para a variável z

z - 1 = 1 e x + x 2 c - x e x + x 2 d x

z = e x + x 2 c - x e x + x 2 d x

Voltando para a variável y

y - 1 = e x + x 2 c - x e x + x 2 d x

y = 1 + e x + x 2 c - x e x + x 2 d x

Ufa...limpe o suor e vambora pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Exercício nº 25 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Identifique que tipo de equação é essa e resolva conhecendo uma solução particular

d y d x = 2 x 2 + 1 x y - 2 y 2 ,           y 1 = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Só de olhar já conseguimos ver que essa é uma equação de Riccati

y ' = - 2 y 2 + 1 x y + 2 x 2

Aí já sabemos que o procedimento é: transformar ela numa de Bernoulli e depois numa linear, resolver a linear e voltar substituindo as variáveis.

Passo 2

Vamos fazer a substituição z = y - y 1 que equivale y = z + y 1 então y = z + x

z + x ' = - 2 z + x 2 + 1 x z + x + 2 x 2

z ' + 1 = - 2 z 2 + 2 z x + x 2 + z x + 1 + 2 x 2

z ' = - 1 - 2 z 2 - 4 z x - 2 x 2 + z x + 1 + 2 x 2

z ' + 4 x - 1 x z = - 2 z 2

Que é de Bernoulli.

Passo 3

Resolvendo Bernoulli

z ' + 4 x - 1 x z = - 2 z 2

Dividindo a equação por z 2

z ' z 2 + 4 x - 1 x z z 2   = - 2 z 2 z 2

z - 2 z ' + 4 x - 1 x z - 1 = - 2

Fazendo a substituição u = z - 1 temos u ' = - z - 2 z ' logo - u ' = z - 2 z ' então a equação fica

- u ' + 4 x - 1 x u = - 2

u ' - 4 x - 1 x u = 2

Que agora é linear.

Passo 4

Resolvendo a linear

u ' - 4 x - 1 x u = 2

Calculando I x

- 4 x - 1 x d x = - 4 x 2 2 + ln x = - 2 x 2 + ln x

Então I x = e - 2 x 2 + ln x = e - 2 x 2 .   e ln x = x e - 2 x 2

Calculando I x . B x d x

x e - 2 x 2 . 2 d x = 2 x e - 2 x 2 d x

Para resolver essa integral temos que separa em dois casos, quando x 0 e quando x < 0 . Vamos começar resolvendo para x 0 , isso nos diz que

x = x

2 x e - 2 x 2 d x = 2 x e - 2 x 2 d x

Para resolver essa integral basta fazer uma substituição simples a = 2 x 2 fazendo as contas vocês acham

2 x e - 2 x 2 d x = - 2 e - 2 x 2 4 = - e - 2 x 2 2

Então a solução em u é (Lembra que estamos fazendo x > 0 , tudo que tem x fica x ):

u = 1 x e - 2 x 2 - e - 2 x 2 2 + C 1 = - 1 2 x + C 1 e 2 x 2 x

Passo 5

Voltando para a variável z

z - 1 = - 1 2 x + C 1 e 2 x 2 x = - 1 + 2 C 1 e + 2 x 2 2 x

z = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2

Passo 6

Voltando para a variável y

y = z + x

y = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2 + x

Passo 7

Devemos agora fazer essa conta toda para x < 0 , isso implica que sempre que tivermos x ele vai passar a ser x

Então I x = e - 2 x 2 + ln x = e - 2 x 2 .   e ln x = x e - 2 x 2 = - x e - 2 x 2

Calculando I x . B x d x

- x e - 2 x 2 . 2 d x = - 2 x e - 2 x 2 d x

Para resolver essa integral basta fazer uma substituição simples a = 2 x 2 fazendo as contas vocês acham

- 2 x e - 2 x 2 d x = 2 e - 2 x 2 4 = e - 2 x 2 2

Então a solução em u é:

u = 1 - x e - 2 x 2 e - 2 x 2 2 + C 2 = - 1 2 x - C 2 e 2 x 2 x

Passo 8

Voltando para a variável z

z - 1 = - 1 2 x - C 2 e 2 x 2 x = - 1 - 2 C 2 e + 2 x 2 2 x

z = 2 x - 1 - 2 C 2 e 2 x 2

Passo 9

Voltando para a variável y

y = z + x

y = 2 x - 1 - 2 C 2 e 2 x 2 + x

Passo 10

A função vai ficar

y = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2 + x , x 0 2 x - 1 - 2 C 2 e 2 x 2 + x , x < 0

Resposta

y = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2 + x , x 0 2 x - 1 - 2 C 2 e 2 x 2 + x , x < 0

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Resolva a equação abaixo

y ' = sec 2 x - tan x y + y 2 ,           y 1 = tan x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Só de olhar já conseguimos ver que essa é uma equação de Riccati

y ' = y 2 - tan x y + sec 2 x

Aí já sabemos que o procedimento é: transformar ela numa de Bernoulli e depois numa linear, resolver a linear e voltar substituindo as variáveis.

Passo 2

Vamos fazer a substituição z = y - y 1 que equivale y = z + y 1 então y = z + tan x

z + tan x ' = z + tan x 2 - tan x z + tan x + sec 2 x

z ' + sec 2 x = z 2 + 2 z tan x + tan 2 x - z tan x - tan 2 x + sec 2 x

z ' = z 2 + 2 z tan x - z tan x

z ' - tan x z = z 2

Que é de Bernoulli.

Passo 3

Resolvendo Bernoulli

z ' - tan x z = z 2

Dividindo a equação por z 2

z ' z 2 - tan x z z 2 = z 2 z 2

z - 2 z ' - tan x z - 1 = 1

Fazendo a substituição u = z - 1 temos u ' = - z - 2 z ' logo - u ' = z - 2 z ' então a equação fica

- u ' - tan x u = 1

u ' + tan x u = - 1

Que agora é linear.

Passo 4

Resolvendo a linear

u ' + tan x u = - 1

Calculando I x

tan x d x = ln sec x

Então I x = e ln sec x = sec x

Temos um problema de módulo aqui, nesse caso para facilitar um pouco as contas vamos considerar apenas o caso onde a secante é positiva.

Então I x = sec x

Calculando I x . B x d x

sec x . - 1 d x = - sec x d x = - ln sec x + tan x

Aqui não precisamos facilitar as contas tirando esse módulo porque essa já é a última integral que vamos fazer.

Então a solução em u é:

u = 1 sec x - ln sec x + tan x + C = cos x - ln sec x + tan x + C

Passo 5

Voltando para a variável z

z - 1 = cos x - ln sec x + tan x + C

z = 1 cos x - ln sec x + tan x + C

Passo 6

Voltando para a variável y

y = z + tan x

y = 1 cos x - ln sec x + tan x + C + tan x

Resposta

y = 1 cos x - ln sec x + tan x + C + tan x

Exercício Resolvido #3

Exercício nº 26 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Identifique que tipo de equação é essa e resolva conhecendo uma solução particular

y ' = 9 + 6 y + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Essa também é de Riccati neh

y ' = y 2 + 6 y + 9

Mas note que não temos uma solução particular dela. E agora?

Vamos tentar encontrar uma solução particular, porque senão não conseguiremos aplicar o método que a gente sabe para resolver equações de Riccati.

Temos uma derivada igual a um polinômio não é? Se encontrarmos uma raiz desse polinômio teremos uma solução particular, por que a derivada de uma constante é zero e quando substituirmos a raiz no polinômio vamos ter como resultado zero também, ou seja, teremos uma solução particular. Todo mundo aqui já é safo em polinômios certo? Então procurando um pouco as raízes encontramos y 1 = - 3 como raiz e solução particular. Pronto agora é só aplicar o método.

Passo 2

Vamos fazer a substituição z = y - y 1 que equivale y = z + y 1 então y = z - 3

z - 3 ' = z - 3 2 + 6 z - 3 + 9

z ' = z 2 - 6 z + 9 + 6 z - 18 + 9

z ' = z 2

Que é de Bernoulli. Não tem um termo, mas é de Bernoulli.

z ' + 0 z = z 2

Passo 3

Resolvendo Bernoulli

z ' = z 2

Dividindo a equação por z 2

z ' z 2 = z 2 z 2

z - 2 z ' = 1

Fazendo a substituição u = z - 1 temos u ' = - z - 2 z ' logo - u ' = z - 2 z ' então a equação fica

- u ' = 1

u ' = - 1

Que agora é linear.

Passo 4

Resolvendo a linear

u ' = - 1

Essa nem precisamos usar o método pra resolver. Pensa comigo queremos uma função u x que tem derivada igual a - 1 . E a gente já conhece u x = - x

A solução geral é

u = - x + C

Passo 5

Voltando para a variável z

z - 1 = - x + C

z = 1 - x + C

Passo 6

Voltando para a variável y

y = z - 3

y = 1 - x + C - 3

Resposta

y = 1 C - x - 3

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