Equação de Riccati

Teoria Completa

Introdução

Mais uma das equações especiais que estudaremos é a de Riccati. Apresentarei um método de solução que precisamos necessariamente já conhecer uma solução particular y p da equação. Mais tarde, quando falarmos de equações de ordens superiores citarei outro método.

Equação de Riccati

Uma equação diferencial ordinária é dita ser de Riccati se tiver a forma:

y ' = P x y 2 + Q x y + R x

Conhecendo uma solução particular y p dessa equação, o método de solução consiste em transformar, por meio da mudança z = y - y p , a equação de Riccati numa equação de Bernoulli e resolver como se resolve uma equação de Bernoulli. Sempre lembrando de voltar à variável original no final de tudo.

Simples, não? Vamos ver como isso acontece.

Fazendo z = y - y p na equação: y ' = P x y 2 + Q x y + R x

temos

z ' + y p ' = P x z 2 + 2 z y p + y p 2 + Q x z + y p + R x

Sabendo que y p é uma solução particular, ou seja, y p ' = P x y p 2 + Q x y p + R x , a equação

z ' + y p ' = P x z 2 + 2 z y p + y p 2 + Q x z + y p + R x

fica

z ' + [ P x y p 2 + Q x y p + R x ] = P x z 2 + 2 z y p + y p 2 + Q x z + y p + R x

z ' = P x z 2 + Q x + 2 P x y p z

Que é uma equação de Bernoulli em z . Não enxergou? Calma aí!

z ' - Q x + 2 P x y p z = P x z 2

E agora consegue perceber que é de Bernoulli? Uma EDO é de Bernoulli se ela é de primeira ordem (essa é de primeira ordem), o coeficiente da derivada é o número um 1 (é um), tem uma função apenas de x como coeficiente de z ( Q x + 2 P x ) y p é função apenas de x e outra função apenas de x como coeficiente de z α (nesse caso α = 2 ).

Viu só? É de Bernoulli, daí é só resolver como se resolve Bernoulli lembrando que y = z + y p .

Exemplo 1

Sabendo que y x = 1 é uma solução da equação d y d x = y + x y 2 - 1 - x determine a solução geral da equação.

Essa equação, de fato, é de Riccati

y ' = x y 2 + y + - 1 - x

Fazendo a substituição y = 1 + z

z ' = x 1 + z 2 + 1 + z + - 1 - x

z ' = x 1 + 2 z + z 2 + 1 + z - 1 - x

z ' = x + 2 x z + x z 2 + z - x

z ' = 2 x z + x z 2 + z

z ' = 1 + 2 x z + x z 2

1) Dividindo por z 2

z - 2 z ' = 1 + 2 x z - 1 + x

2) Fazedno u = z - 1

u = z - 1 ⇒ u ' = - z - 2 z '

- u ' = 1 + 2 x u + x

u ' = - 1 + 2 x u - x

3) Resolvendo a linear

u ' + 1 + 2 x u = - x

Calculando I x

I x = e ∫ A x d x = e ∫ 1 + 2 x   d x = e x + x 2

Calculando ∫ I x ⋅ B x d x

∫ I x ⋅ B x d x = ∫ e x + x 2 ⋅ - x d x = - ∫ x e x + x 2 d x

u x = 1 e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

Voltando para a variável z

z - 1 = 1 e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

z = e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

Voltando para a variável y

y - 1 = e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

y = 1 + e x + x 2 c - ∫ x e x + x 2 d x

Ufa...limpe o suor e vambora pros exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Exercício nº 25 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Identifique que tipo de equação é essa e resolva conhecendo uma solução particular

d y d x = 2 x 2 + 1 x y - 2 y 2 ,           y 1 = x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Só de olhar já conseguimos ver que essa é uma equação de Riccati

y ' = - 2 y 2 + 1 x y + 2 x 2

Aí já sabemos que o procedimento é: transformar ela numa de Bernoulli e depois numa linear, resolver a linear e voltar substituindo as variáveis.

Passo 2

Vamos fazer a substituição z = y - y 1 que equivale y = z + y 1 então y = z + x

z + x ' = - 2 z + x 2 + 1 x z + x + 2 x 2

z ' + 1 = - 2 z 2 + 2 z x + x 2 + z x + 1 + 2 x 2

z ' = - 1 - 2 z 2 - 4 z x - 2 x 2 + z x + 1 + 2 x 2

z ' + 4 x - 1 x z = - 2 z 2

Que é de Bernoulli.

Passo 3

Resolvendo Bernoulli

z ' + 4 x - 1 x z = - 2 z 2

Dividindo a equação por z 2

z ' z 2 + 4 x - 1 x z z 2   = - 2 z 2 z 2

z - 2 z ' + 4 x - 1 x z - 1 = - 2

Fazendo a substituição u = z - 1 temos u ' = - z - 2 z ' logo - u ' = z - 2 z ' então a equação fica

- u ' + 4 x - 1 x u = - 2

u ' - 4 x - 1 x u = 2

Que agora é linear.

Passo 4

Resolvendo a linear

u ' - 4 x - 1 x u = 2

Calculando I x

∫ - 4 x - 1 x d x = - 4 x 2 2 + ln ⁡ x = - 2 x 2 + ln ⁡ x

Então I x = e - 2 x 2 + ln ⁡ x = e - 2 x 2 .   e ln ⁡ x = x e - 2 x 2

Calculando ∫ I x . B x d x

∫ x e - 2 x 2 . 2 d x = 2 ∫ x e - 2 x 2 d x

Para resolver essa integral temos que separa em dois casos, quando x ≥ 0 e quando x < 0 . Vamos começar resolvendo para x ≥ 0 , isso nos diz que

x = x

2 ∫ x e - 2 x 2 d x = 2 ∫ x e - 2 x 2 d x

Para resolver essa integral basta fazer uma substituição simples a = 2 x 2 fazendo as contas vocês acham

2 ∫ x e - 2 x 2 d x = - 2 e - 2 x 2 4 = - e - 2 x 2 2

Então a solução em u é (Lembra que estamos fazendo x > 0 , tudo que tem x fica x ):

u = 1 x e - 2 x 2 - e - 2 x 2 2 + C 1 = - 1 2 x + C 1 e 2 x 2 x

Passo 5

Voltando para a variável z

z - 1 = - 1 2 x + C 1 e 2 x 2 x = - 1 + 2 C 1 e + 2 x 2 2 x

z = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2

Passo 6

Voltando para a variável y

y = z + x

y = 2 x - 1 + 2 C 1 e 2 x 2 + x

Passo 7

Devemos agora fazer essa conta toda para x < 0 , isso implica que sempre que tivermos x ele vai passar a ser – x

Então I x = e - 2 x 2 + ln ⁡ x = e - 2 x 2 .   e ln ⁡ x = x e - 2 x 2 = - x e - 2 x 2

Calculando ∫ I x . B x d x