Método de Redução de Ordem
Produzido por Mariana PessanhaTeoria
Método de Redução de Ordem
Faaaaaala aí, gente boa! Como tu tá? Nem vou ficar de muito papo porque hoje o assunto é pa-pum! Imagina que você tenha essa EDO
“Isso é uma equação de Euler-Cauchy, já vi isso” Eu seeei, meu anjo. Porém, hoje nós vamos ver uma coisinha um pouquinho diferente. Suponha que apareça essa EDO na sua prova e apareça também uma das soluções .
O objetivo dessa teoria é te ensinar a descobrir uma solução quando outra já foi dada 😊
Como Reduzir a Ordem de uma EDO?
A gente vai supor que a outra solução é da forma
Precisamos então calcular as derivadas para substituirmos na EDO, certo? Vamos lá!
Substituindo isso na EDO, a gente fica com
Ajeitando tudo isso
Considerando ,
Agora simmmm! Chegamos ao ponto principal desse método! Vamos conseguir reduzir a ordem dele! Já viu como? Começa chamando
QUE TRUQUE FOI ESSE? PA
QUE TRUQUE FOI ESSE? QUE TÁ UM ARRASO!
Substituindo
Daí agora já vimos como se resolver! Vamos sempre encontrar uma equação de 1ª ordem!
Se chamarmos ... vai continuar sendo uma contante, certo?
Voltando lá o :
Viu como é de boa? A redução de ordem, na verdade, transforma a sua EDO de ordem em uma EDO linear de ordem.
Bora pros exercícios!!!
Como Reduzir a Ordem de uma EDO?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Exercício da Apostila EDA-UFF Aula 6
Resolva a equação de Clairaut
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à
Reorganizando...
Daí ficamos com o sistema porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Passo 2
Resolvendo
Substituindo isso na equação de Clairaut
Temos a família de retas.
Passo 3
Resolvendo
Fazendo (um parâmetro) ficamos com
E substituindo na equação
Resposta
Família de retas
Solução singular
Exercício Resolvido #2
Exercício nº 27 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2
Resolva a equação de Clairaut, obtenha uma solução singular
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à
Reorganizando...
Daí ficamos com o sistema
porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Passo 2
Resolvendo
Substituindo isso na equação de Clairaut
Temos a família de retas.
Passo 3
Resolvendo
Fazendo (um parâmetro) ficamos com
E substituindo na equação
Resposta
Família de retas
Solução singular
Exercício Resolvido #3
Exercício nº 27 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2
Resolva a equação de Clairaut
Passo 1
A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à
Reorganizando...
Daí ficamos com o sistema porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.
Passo 2
Resolvendo
Substituindo isso na equação de Clairaut
Temos a família de retas.
Passo 3
Resolvendo
Fazendo (um parâmetro) ficamos com
E substituindo na equação
Resposta
Família de retas
Solução singular
Exercício Resolvido #4
Dennis Zill, Equações diferenciais volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2007, pp93-16
Resolva
Passo 1
Essa equação ta parecendo muito uma equação de Clairaut. Vamos mexer um pouco pra ela ficar com aquela cara característica.
Agora é so partir pra resolução como a gente já sabe
Passo 2
Derivando a equação em relação a .
Disso temos.
Passo 3
Resolvendo para
Substituindo na equação.
Passo 4
Utilizando a nossa informação inicial .
Passo 5
Resolvendo para Tomando onde é um parâmetro.
Substituindo e na equação.
Passo 6
Vamos testar agora se essa solução singular que nos encontramos atende a condição inicial .
Para
Logo a solução singular atende a condição inicial.
Resposta
Reta
Solução singular