Teoria

Método de Redução de Ordem

Faaaaaala aí, gente boa! Como tu tá? Nem vou ficar de muito papo porque hoje o assunto é pa-pum! Imagina que você tenha essa EDO

x 2 y ' ' - 3 x y ' + 4 y = 0

“Isso é uma equação de Euler-Cauchy, já vi isso” Eu seeei, meu anjo. Porém, hoje nós vamos ver uma coisinha um pouquinho diferente. Suponha que apareça essa EDO na sua prova e apareça também uma das soluções y 1 = x 2 .

O objetivo dessa teoria é te ensinar a descobrir uma solução quando outra já foi dada 😊

Como Reduzir a Ordem de uma EDO?

A gente vai supor que a outra solução é da forma

y 2 x = ϕ ( x ) y 1 → y 2 x = ϕ ( x ) x 2

Precisamos então calcular as derivadas para substituirmos na EDO, certo? Vamos lá!

y 2 ' x = ϕ ' x 2 + 2 ϕ x

y 2 ' ' x = ϕ ' ' x 2 + 2 x ϕ ' + 2 ϕ

Substituindo isso na EDO, a gente fica com

ϕ ' ' x 2 + 4 x ϕ ' + 2 ϕ x 2 - 3 x ϕ ' x 2 + 2 ϕ x + 4 ϕ x 2 = 0

Ajeitando tudo isso

ϕ ' ' x 4 + x 3 ϕ ' = 0

Considerando x ≠ 0 ,

ϕ ' ' + 1 x ϕ ' = 0

Agora simmmm! Chegamos ao ponto principal desse método! Vamos conseguir reduzir a ordem dele! Já viu como? Começa chamando u = ϕ ' → u ' = ϕ ' '

QUE TRUQUE FOI ESSE? PA

QUE TRUQUE FOI ESSE? QUE TÁ UM ARRASO!

Substituindo

u ' + 1 x u = 0

Daí agora já vimos como se resolver! Vamos sempre encontrar uma equação de 1ª ordem!

u ' = - 1 x u

d u d x = - 1 x u

1 u d u = - 1 x d x

∫ 1 u d u = - ∫ 1 x d x

ln ⁡ u = - ln ⁡ x + C

Se chamarmos C = ln ⁡ K ... vai continuar sendo uma contante, certo?

ln ⁡ u = ln ⁡ K - ln ⁡ x

ln ⁡ u = ln ⁡ K x

u = K x → ϕ ' = K x → ϕ = K ln ⁡ x

Voltando lá o y 2 :

y 2 = ϕ x 2

y 2 = K x 2 ln ⁡ x

Viu como é de boa? A redução de ordem, na verdade, transforma a sua EDO de 2 ª ordem em uma EDO linear de 1 ª ordem.

Bora pros exercícios!!!

Como Reduzir a Ordem de uma EDO?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Resolva a equação de Clairaut

y = x * y' + (y')^3

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à x

y ' = x y ' ' + y ' + 3 y ' 2 y ' '

Reorganizando...

y ' ' x + 3 y ' 2 = 0

Daí ficamos com o sistema y ' ' = 0 x + 3 y ' 2 = 0 porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Passo 2

Resolvendo y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo isso na equação de Clairaut

y = x C + C 3

Temos a família de retas.

Passo 3

Resolvendo x + 3 y ' 2 = 0

Fazendo y ' = t (um parâmetro) ficamos com

x = - 3 t 2

E substituindo na equação

y = - 3 t 2 × t + t 3 = - 2 t 3

Resposta

Família de retas

y = x C + C 3

Solução singular

x = - 3 t 2 y = - 2 t 3

Exercício Resolvido #2

Resolva a equação de Clairaut, obtenha uma solução singular

x * y' - y = e^(y')

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à x

y ' + x y ' ' - y ' = e y ' y ' '

Reorganizando...

y ' ' x - e y ' = 0

Daí ficamos com o sistema

y ' ' = 0 x - e y ' = 0

porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Passo 2

Resolvendo y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo isso na equação de Clairaut

x C - y = e C

y = x C - e C

Temos a família de retas.

Passo 3

Resolvendo x - e y ' = 0

Fazendo y ' = t (um parâmetro) ficamos com

x = e t

E substituindo na equação

e t t - y = e t

y = t e t - e t

Resposta

Família de retas

y = x C - e C

Solução singular

x = e t y = t e t - e t

Exercício Resolvido #3

Resolva a equação de Clairaut

y = x * y' + ln(y^('))

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer numa equação de Clairaut é derivar em relação à x

y ' = x y ' ' + y ' + 1 y ' y ' '

Reorganizando...

y ' ' x + 1 y ' = 0

Daí ficamos com o sistema y ' ' = 0 x + 1 y ' = 0 porque um produto só é zero se pelo menos um dos fatores é igual a zero.

Passo 2

Resolvendo y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo isso na equação de Clairaut

y = x C + ln ⁡ C

Temos a família de retas.

Passo 3

Resolvendo x + 1 y ' = 0

Fazendo y ' = t (um parâmetro) ficamos com

x = - 1 t

E substituindo na equação

y = - 1 t t + ln ⁡ t = - 1 + ln ⁡ t

Resposta

Família de retas

y = x C + ln ⁡ C

Solução singular

x = - 1 t y = - 1 + ln ⁡ t

Exercício Resolvido #4

Resolva

-x * y' + y = (y' + 1)^2, y(0) = 0

Passo 1

Essa equação ta parecendo muito uma equação de Clairaut. Vamos mexer um pouco pra ela ficar com aquela cara característica.

y = x y ' + y ' + 1 2

Agora é so partir pra resolução como a gente já sabe

Passo 2

Derivando a equação em relação a x .

y ' = y ' + x y ' ' + 2 y ' + 1 y ' '

y ' ' x + 2 y ' + 1 = 0

Disso temos.

y ' ' = 0

o u

x + 2 y ' + 1 = 0  

Passo 3

Resolvendo para y ' ' = 0

y ' ' = 0 ⇒ y ' = C

Substituindo na equação.

y = x C + C + 1 2

Passo 4

Utilizando a nossa informação inicial y 0 = 0 .

y 0 = 0 + C + 1 2 = 0

C = - 1

y = - x

Passo 5

Resolvendo para x + 2 y ' + 1 = 0 . Tomando y ' = t , onde t é um parâmetro.

x + 2 t + 1 = 0

x = - 2 ( t + 1 )

Substituindo x e y ' na equação.

y = - 2 t + 1 t + t + 1 2

y = 1 - t 2

Passo 6

Vamos testar agora se essa solução singular que nos encontramos atende a condição inicial y 0 = 0 .

x = 0 = - 2 t + 1

t = - 1

Para t = - 1

y = 1 - - 1 2 = 0

Logo a solução singular atende a condição inicial.

Resposta

Reta

y = - x

Solução singular

x = - 2 t + 1 y = 1 - t 2  

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