Equação de Bernoulli

Teoria Completa

Introdução

Até o momento, você já é capacitado para resolver sem grandes problemas uma EDO como esta daqui:

y ' - y = e - 3 x

Uma EDO linear com esse formato:

y ' + P x y = Q x

E que pode ser resolvido sem mistérios usando o conceito de fator integrante:

I x = e ∫ P x d x

y = 1 I x ∫ I x ⋅ Q x d x + C

Agora, e se você tiver que resolver uma EDO como esta daqui:

y ' - y = e - 3 x y 4

Ela é bem parecida, mas não é a EDO linear. Com esse y 4 multiplicando o termo Q x , estamos falando das Equações de Bernoulli:

y ' + P x y = Q x ⋅ y α

Onde α é um número real qualquer que não pode ser 1 ou 0 , pois se for, ela vira Linear que já sabemos resolver!

Tá ok, vimos um padrão. Mas como resolve isso?

Resolvendo EDO de Bernoulli

Vamos resolver a primeira equação

y ' - y = e - 3 x y 4

Para isso basta seguir os três passos:

  1. Dividir toda a equação por y α
  2. Aqui, α = 4 . Então vamos fazer

    y ' y 4 - y y 4 = e - 3 x y 4 y 4

    y - 4 y ' - y - 3 = e - 3 x

  3. Fazer uma substituição de variáveis u = y 1 - α
  4. Aqui, vamos ter

    u = y 1 - 4 = y - 3

    Precisamos achar u ' ! Você tem que derivar usando a regra da cadeia:

    u x = y x - 3       →

    u ' x = - 3 y x - 4 ⋅ y ' x     →

    Onde a gente pode omitir esse x :

    u ' = - 3 y - 4 ⋅ y '

  5. Jogando isso na EDO:
  6. y - 4 y ' - y - 3 = e - 3 x   →

    y - 4 y ' ⏟ - u ' 3 - y - 3 ⏟ u = e - 3 x   →

    - u ' 3 - u = e - 3 x

    Multiplicando por - 3 todo mundo...

    u ' + 3 u = - 3 e - 3 x

    O que é isso?! UMA EDO LINEAR !

  7. Agora é só resolver essa EDO linear da forma que a gente aprendeu:
  8. Usando o fator integrante:

    I x = e ∫ P x d x

    y = 1 I x ∫ I x ⋅ Q x d x + C

    Resolvendo essas integrais aí, vamos achar:

    u = C - 3 x e - 3 x

  9. Agora, não se esqueça de que precisamos voltar para y (quem de fato queremos):
  10. u = y - 3 → y - 3 = C - 3 x e - 3 x

    Podemos isolar o y ou não, depende só se ele pede isso na questão. Vou isolar aqui, mas lembre-se: não precisa fazer isso se não for pedido.

    y - 3 = C - 3 x e - 3 x     →             1 y 3 =           →

    1 C - 3 x e - 3 x = y 3       →

    Extraindo a raiz cúbica de ambos os lados:

    y = 1 C - 3 x e - 3 x 3

  11. Às vezes o cara pede para resolver a EDO e uma condição inicial. A gente fala que temos que resolver o problema de valor inicial. Essa condição inicial é algo do tipo y 0 = 1 . É tranquilo só precisamos achar o valor de C que satisfaz essa condição. Na prática o que a gente vai fazer é isso aqui

y 0 = 1 → y - 3 0 = C - 3.0 e - 3.0 ∴ C = 1

Assim, a solução do problema de valor inicial será

y - 3 = 1 - 3 x e - 3 x

Partiu Exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Exercício nº 19 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Resolva a equação diferencial de Bernoulli

y ' - 2 x y - 4 x y 1 2 = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

De cara ela já é de Bernoulli, o expoente não é inteiro, mas para ser de Bernoulli basta que ele seja real. Então vamos já dividir toda a equação por y 1 2 .

y ' y - 1 2 - 2 x y y - 1 2 = 4 x y 1 2 y - 1 2

y - 1 2 y ' - 2 x y 1 2 = 4 x

Passo 2

Agora vamos fazer a nossa velha e conhecida substituição para resolver a equação de Bernoulli, a saber, t = y 1 2 , que implica em t ' = 1 2 y - 1 2 y ' que por sua vez implica em 2 t ' = y - 1 2 y '

2 t ' - 2 x t = 4 x

t ' - x t = 2 x

Que, como esperávamos, é linear do tipo

t ' + A x t = B ( x )

Passo 3

Resolvendo a linear t ' - x t = 2 x

Calculando o   I = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ - x d x = - x 2 2

Então

I = e - x 2 / 2

Calculando ∫ I x B x d x , temos

∫ e - x 2 2 . 2 x d x = 2 ∫ x e - x 2 2 d x = - 2 e - x 2 2

Logo, como

t = 1 I x ∫ I x B x d x + C

t = 1 e - x 2 2   - 2 e - x 2 2 + C = e x 2 2 - 2 e - x 2 2 + C = C e x 2 2 - 2

Passo 4

Voltando para a variável y e lembrando que y 1 / 2 = t

y 1 2 = C e x 2 2 - 2

y = C e x 2 2 - 2 2

Resposta

y = C e x 2 2 - 2 2

Exercício Resolvido #2

Exercício nº 20 da lista 10 de Cálculo II-A UFF – 2010-2

Resolva a equação diferencial de Bernoulli

x y ' - y 2 ln ⁡ x = y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos manipular algebricamente essa equação para colocarmos ela na forma que conhecemos da equação de Bernoulli

x y ' - y 2 ln ⁡ x = y 2 ⇒ y ' - y 2 ln ⁡ x x = y 2 x

Pronto agora ela está bonitinha do jeito que a gente quer.

y ' - 1 2 x ln ⁡ x y = 1 x y 2

Passo 2

Vamos começar a resolver a equação agora. A primeira coisa a fazer é dividir toda equação por y 2 , que é a mesma coisa de multiplicar por y - 2 .

y - 2 y ' - 1 2 x ln ⁡ x y y - 2 = 1 x y 2 y - 2

y - 2 y ' - 1 2 x ln ⁡ x y - 1 = 1 x

Passo 3

Fazendo agora a substituição t = y - 1 que implica em t ' = - y - 2 y ' ficamos com

- t ' - 1 2 x ln ⁡ x t = 1 x

t ' + 1 2 x ln ⁡ x t = - 1 x

E como já era de se esperar, a equação virou linear. Que resolvemos com uma fórmula conhecida.

Passo 4

Agora basta resolver essa EDO linear

t ' + 1 2 x ln ⁡ x t = - 1 x

Que é do tipo

t ' + A x t = B ( x )

A solução disso aí é

t x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Com I x = e ∫ A x d x

(Se isso te parece estranho, dá uma olhada no nosso material de EDO linear de 1ª ordem 😉)

Calculando ∫ A x d x

∫ 1 2 x ln ⁡ x d x = 1 2 ∫ 1 x ln ⁡ x d x = 1 2 ln ⁡ ln ⁡ x = ln ⁡ ln ⁡ x 1 2

Como raiz já impõem que a função tem que ser maior que zero, vamos tirar o módulo.

Logo I ( x ) é

I ( x ) = e ln ⁡ ln ⁡ x 1 2 = ln ⁡ x 1 2

Calculando ∫ I x B x d x :

∫ I x B x d x = ∫ ln ⁡ x 1 2 ⋅ - 1 x d x = - ∫ ln ⁡ x . 1 x d x ∫ I x B x d x = - 2 3 ln ⁡ x 3

OBS: Para resolver a integral ∫ ln ⁡ x . 1 x d x faça uma substituição simples:

w = ln ⁡ x → d w = 1 x d x

Então, continuando:

t = 1 I x ∫ I x B x d x + C = 1 ln ⁡ x   - 2 3 ln ⁡ x 3 + C

t x = - 2 3 ln ⁡ x + C ln ⁡ x - 1 / 2