Conjunto Fundamental de Solução

Teoria Completa

Introdução

Fala, gente! Tudo tranquilo? Vamos começar dando uma rápida revisada em como calcular o Wronskiano .

Vimos na seção anterior que o Wronskiano pode ser calculado da seguinte forma:

W f 1 , f 2 , , f n = f 1 f 2 f n f 1 ' f 2 ' f n ' f 1 n - 1 f 2 n - 1 f n n - 1

.

Qualquer dúvida é só voltar na seção: “ Dependência e Independência Linear”. Beleza?

Definição:

Podemos definir o conjunto fundamental de soluções de uma EDO homogênea de ordem n como sendo qualquer conjunto y 1 , y 2 , y n de n soluções linearmente independentes em um intervalo I .

Agora vamos ver um teorema que utiliza o Wronskiano para verificar o conjunto fundamental de soluções de uma EDO de 2ª ordem.

Considere a EDO a seguir:

y " + p ( x ) y ' + q ( x ) y = 0

Seja y 1 e y 2 soluções dessa EDO. Seja também I o intervalo onde p ( x ) e q ( x ) são contínuas.

y 1 e y 2 formam o conjunto fundamental de soluções em I se W y 1 , y 2 0 para todo x I .

Vamos ver um exemplo para entender melhor como utilizar esse teorema:

Considere a seguinte EDO:

y " - 4 y = 0

O problema afirma que essa EDO possui duas soluções:

y 1 = e - 2 x

y 2 = e 2 x

Essas soluções y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da EDO?

Para verificar isso, vamos utilizar o teorema que acabamos de ver:

Veja que p x e q x são constantes e portanto não há descontinuidades. Logo I = - ,

Vamos agora calcular as derivadas:

y 1 ' = - 2 e - 2 x

y 2 ' = 2 e 2 x

Calculando o Wronskiano temos:

W y 1 , y 2 = e - 2 x e 2 x - 2 e - 2 x 2 e 2 x = 2 e 2 x e - 2 x - - 2 e - 2 x e 2 x = 2 + 2 = 4

Como o Wronskiano não se anula para nenhum valor de x ( - , ) , podemos afirmar que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de solução para todo x   ( - , )

Solução Geral EDO Homogênea:

A solução geral de uma EDO homogênea de ordem n é dada por:

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + + c n y n

Onde y 1 , y 2 , , y n são os elementos que formam o conjunto fundamental de soluções dessa EDO.

No exemplo anterior, verificamos que y 1 = e - 2 x ,   y 2 = e 2 x formam o conjunto fundamental de soluções da EDO y " - 4 y = 0 .

Logo, podemos afirmar que a solução geral dessa EDO é:

y = c 1 e - 2 x + c 2 e 2 x

Solução Geral EDO Não Homogênea:

A solução geral de uma EDO não homogênea de ordem n é dada por:

y = y h + y p

Onde y h é a solução geral da equação homogênea associada, e y p é a solução particular dessa EDO não homogênea.

Bora pros exercícios?!

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Exercício Resolvido #1

PUC-RJ - Cálculo 3 - P1 2014.1 - 3b

Classifique em Verdadeiro ou Falso a afirmação abaixo, justificando.

Todas as soluções da equação diferencial

t 2 y ' ' - 2 y = 0 ,   t > 0

São dadas pela fórmula y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1 , onde C 1 e C 2 são constantes.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar vendo se t 2 é solução

y 1 t = t 2

y 1 ' t = 2 t

y 1 ' ' t = 2

Substituindo na equação

t 2 2 - 2 t 2 = 2 t 2 - 2 t 2 = 0

Beleza ele é solução.

Vamos ver se t - 1 também vai ser

y 2 t = t - 1

y 2 ' t = - t - 2

y 2 ' ' t = 2 t - 3

Substituindo na equação

t 2 2 t - 3 - 2 t - 1 = 2 t - 1 - 2 t - 1 = 0

Pronto, as duas funções são soluções, precisamos ver agora se elas são soluções linearmente independentes.

Passo 2

Para ver se são linearmente independentes temos que calcular o Wroskiano e ver se ele é ou não zero.

O Wroskiano é o determinante abaixo

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

W = t 2 t - 1 2 t - t - 2 = t 2 - t - 2 - 2 t t - 1 = - 1 - 2 = - 3 0

Passo 3

-

Vamos reescrever agora a nossa EDO da seguinte forma

y ' ' - 2 t 2 y = 0

A função - 2 t 2 é contínua no intervalo - , 0 ( 0 , ) .

Como o Wroskiano é diferente de 0 , essas duas funções são soluções linearmente independentes e a solução da função vai ser

y t = C 1 t 2 + C 2 t - 1

No intervalo - , 0 ( 0 , )

Logo essa afirmação é verdadeira

Resposta

Exercício Resolvido #2

UNICAMP - Cálculo 3 - P1 2014 Manhã - 2

Considere a equação diferencial

x 2 y ' ' - x x + 2 y ' + x + 2 y = 0

  1. Enuncie o teorema de Wronskiano de soluções para equações lineares de ordem 2
  2. Mostre que y 1 x = x e y 2 x = x e x formam um conjunto fundamental de soluções em 0 ,
  3. Porque o Wronskiano ser igual a zero em x = 0 não contradiz esse teorema?
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

O teorema diz

Sejam y 1 e y 2 duas soluções da equação diferencial

y ' ' + p x y ' + q x y = 0

Onde p x e q x são continuas em um intervalo aberto I .

Então y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções em I se o wronskiano é tal que para todo t que pertence ao intervalo vamos ter o wronskiano sendo diferente de 0 .

O wronskiano é definido por

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

Passo 2

b)

Para vermos se essas duas soluções formam um conjunto fundamental de soluções primeiro temos que ver se elas são realmente soluções da nossa EDO

x 2 y ' ' - x x + 2 y ' + x + 2 y = 0

Vamos começar fazendo

y 1 = x

y 1 ' = 1

y 1 ' ' = 0

Substituindo na equação vamos ter

x 2 . 0 - x x + 2 . 1 + x + 2 . x = 0

0 - x 2 - 2 x + x 2 + 2 x = 0

0 = 0

Então ela é uma solução da nossa EDO

Vamos fazer agora

y 2 = x e x

y 2 ' = e x + x e x

y 2 ' ' = e x + e x + x e x = 2 e x + x e x

Substituindo na nossa EDO

x 2 . 2 e x + x e x - x x + 2 . e x + x e x + x + 2 . x e x = 0

2 x 2 e x + x 3 e x - x 2 + 2 x e x + x e x + x 2 e x + 2 x e x = 0

2 x 2 e x + x 3 e x - x 2 e x - x 3 e x - 2 x e x - 2 x 2 e x + x 2 e x + 2 x e x = 0

0 = 0

Então ela é uma solução da nossa EDO

Passo 3

Agora que conferimos que elas são soluções vamos calcular seu Wronskiano

W = y 1 y 2 y 1 ' y 2 '

Então

W = x x e x 1 e x + x e x = x e x + x 2 e x - x e x = x 2 e x

E vamos ter que W é zero somente em x = 0 , como o intervalo que ele deu não inclui o zero, temos que y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções em 0 ,

Passo 4

c)

Se escrevermos a nossa equação diferencial da forma que está no teorema vamos ter

y ' ' - x + 2 x y ' + x + 2 x 2 y = 0

Repare que o ponto x = 0 não está nas hipóteses do teorema já que as funções

p x = - x + 2 x

E

q x = x + 2 x 2

São descontinuas em x = 0 , então não teremos um intervalo I que tenha o 0 .

Resposta

Exercício Resolvido #3

Denis G. Zill, Equações Diferenciais Volume I , 3ª ed. São Paulo: PEARSON, 2001, pp. 165 - 43

Verifique que a dada família a dois parâmetros de funções é a solução geral para a equação diferencial não homogênea no intervalo indicado.

y " - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2 ,     ( - , )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vimos na teoria que a solução geral de uma EDO não homogênea é dada por :

y = y h + y p

Onde y h é a solução geral da equação homogênea associada e y p é a solução particular da equação não homogênea.

Podemos identificar y p = x 2 e 2 x + x - 2 como sendo a solução particular pois os termos não estão multiplicados por constantes como c 1 e c 2 .

Logo y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x

Passo 2

Já identificamos y p , agora vamos substituir na equação não homogênea a fim de verificar se é mesmo solução da não homogênea. Primeiro vamos encontrar suas derivadas.

y p = x 2 e 2 x + x - 2

y p ' = 2 x e 2 x + 2 x 2 e 2 x + 1

y p " = 2 e 2 x + 4 x e 2 x + 4 x e 2 x + 4 x 2 e 2 x = 4 x 2 e 2 x + 8 x e 2 x + 2 e 2 x

Substituindo na EDO temos:

y " - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12

4 x 2 e 2 x + 8 x e 2 x + 2 e 2 x - 4 2 x e 2 x + 2 x 2 e 2 x + 1 + 4 x 2 e 2 x + x - 2 = 2 e 2 x + 4 x - 12

Ajeitando o lado esquerdo temos:

4 x 2 e 2 x - 8 x 2 e 2 x + 4 x 2 e 2 x + 8 x e 2 x - 8 x e 2 x + 2 e 2 x + 4 x - 4 - 8 = 2 e 2 x + 4 x - 12

Portanto temos:

2 e 2 x + 4 x - 12 = 2 e 2 x + 4 x - 12

Logo y p é mesmo solução particular da equação não homogênea.

Passo 3

Agora vamos analisar y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x , que é a solução geral da equação não homogênea associada.

Vimos que a solução geral da equação não homogênea de ordem 2 é dada por:

y h = c 1 y 1 + c 2 y 2

Onde y 1 e y 2 formam o conjunto fundamental de soluções da equação não homogênea.

Temos:

y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x

Logo:

y 1 = e 2 x

y 2 = x e 2 x

Agora, temos de verificar se y 1 e y 2 formam mesmo o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada:

y " - 4 y ' + 4 y = 0

E como faremos isso? Primeiro temos de verificar se y 1 = e 2 x e y 2 = x e 2 x satisfazem equação acima e depois utilizar o teorema do Wrosnkiano para verificar se eles formam mesmo o conjunto fundamental de soluções da EDO.

Passo 4

Vamos verificar primeiro se y 1 = e 2 x é solução da EDO homogênea associada.Calculando as derivadas temos:

y 1 ' = 2 e 2 x

y 1 " = 4 e 2 x

Substituindo temos:

y " - 4 y ' + 4 y = 0

4 e 2 x - 4 2 e 2 x + 4 e 2 x = 0

0 = 0

Portanto y 1 = e 2 x é mesmo solução da homogênea.

Vamos verificar agora se y 2 = x e 2 x é solução da EDO homogênea associada.Calculando as derivadas temos:

y 2 ' = e 2 x + 2 x e 2 x

y 2 " = 2 e 2 x + 2 e 2 x + 4 x e 2 x = 4 x e 2 x + 4 e 2 x

Substituindo temos:

y " - 4 y ' + 4 y = 0

4 x e 2 x + 4 e 2 x - 4 e 2 x + 2 x e 2 x + 4 x e 2 x = 0

Ajeitando:

4 x e 2 x - 8 x e 2 x + 4 x e 2 x + 4 e 2 x - 4 e 2 x = 0

0 = 0

Portanto y 2 = x e 2 x é mesmo solução da homogênea.

Passo 5

Agora só falta verificar se y 1 e y 2 formam o conjunto fundamental de soluções da parte homogênea. O teorema diz assim:

Considere a EDO a seguir:

y " + p ( x ) y ' + q ( x ) y = 0

Seja y 1 e y 2 soluções dessa EDO. Seja também I o intervalo onde p ( x ) e q ( x ) são contìnuas.

y 1 e y 2 formam o conjunto fundamental de soluções em I se W y 1 , y 2 0 para todo x I .

No nosso caso, a EDO é:

y " - 4 y ' + 4 y = 0

Nosso y 1 = e 2 x e y 2 = x e 2 x . Temos também p x = - 4 e q x = 4 , que são contínuas em I = ( - , ) . Vamos agora calcular o Wronskiano. Temos:

W y 1 , y 2 = e 2 x x e 2 x 2 e 2 x e 2 x + 2 x e 2 x = e 4 x + 2 x e 4 x - 2 x e 4 x = e 4 x

Podemos ver que W y 1 , y 2 nunca se anula.

Logo, y 1 = e 2 x e y 2 = x e 2 x formam o conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea associada.

Passo 6

Verificamos então que y p = x 2 e 2 x + x - 2 é mesmo solução particular da EDO não homogênea, e verificamos também que y h = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x é a solução geral da equação homogênea associada.

Portanto y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2 é mesmo a solução geral da EDO y " - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12 no intervalo ( - , ) .

Resposta

y = c 1 e 2 x + c 2 x e 2 x + x 2 e 2 x + x - 2 é mesmo solução geral da equação y " - 4 y ' + 4 y = 2 e 2 x + 4 x - 12 no intervalo ( - , ) .

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