Derivadas Parciais pela Definição

Teoria Completa

Como calcular?

Existem alguns casos em que a função é definida por partes, isto é, ela tem duas definições: uma para um ponto e outra para fora desse ponto. Assim:

f x , y = x 3 + y ³ x 2 + y 2     ,     x , y ≠ 0,0 0   ,     x , y = 0,0

Para calcular a derivada parcial nesse ponto ( 0,0 ) a gente não pode simplesmente derivar o 0.

Aí seria fácil demais né?!

Mas, como sempre tem que ter algo pra complicar, nesses casos a gente vai ter que calcular as derivadas parciais usando a definição de derivada parcial, que nada mais é do que um limite.

Mas relaxa, nem é tão difícil assim. Você já conhece definição de derivada, então não vai ser uma parada tão diferente assim! Olha:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

Vamos então calcular as derivadas parciais em ( 0,0 ) da nossa função:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = l i m x → 0 x 3 x 2 - 0 x = l i m x → 0   1 = 1

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = l i m y → 0 y 3 y 2 - 0 y = l i m y → 0   1 = 1

Viu, nem é tão difícil assim!

Você só precisa ficar atento a essas situações em que a função é defnida num ponto e depois fora dele. Aí você vai ter que usar a definição de derivada parcial pra calcular a derivada parcial nesse ponto.

Tá, mas e as derivadas parciais mistas de funções definidas em um ponto e depois fora dele?

Bem, se pra calcular as derivadas parciais de funções assim a gente tem que usar a definição, já era de se esperar que pra calcular as derivadas parciais mistas a gente também tivesse que usar a definição, né? Afinal, as derivadas parciais mistas são derivadas parciais das derivadas parciais.

A definição de derivadas parciais mistas também é um limite. Assim:

∂ 2 f ∂ y ∂ x x 0 , y 0 = ∂ f ∂ y ∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ ∂ f ∂ x x 0 , y - ∂ f ∂ x x 0 , y 0 y - y 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y x 0 , y 0 = ∂ f ∂ x ∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ ∂ f ∂ y x , y 0 - ∂ f ∂ y x 0 , y 0 x - x 0

Beleza?

Agora vamos calcular as derivadas parciais mistas desse exemplo:

f x , y = x y ³ x 2 + y 2     ,     x , y ≠ 0,0 0   ,     x , y = 0,0

Começando por

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = lim y → 0 ⁡ ∂ f ∂ x 0 , y - ∂ f ∂ x 0,0 y - 0

Primeiro vamos calcular ∂ f ∂ x 0,0 do jeito que eu disse ali em cima:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = l i m x → 0 0 - 0 x = 0

Agora precisamos calcular

∂ f ∂ x 0 , y

Para isso, vamos considerar ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) . Assim, basta calcular a derivada parcial em relação a x normalmente, para a definição da nossa função quando ( x , y ) ≠ ( 0,0 ) .

∂ f ∂ x x , y = y ³ x 2 + y 2 - 2 x ( x y 3 ) x 2 + y 2 2 = x 2 y 3 + y 5 - 2 x ² y ³ x 2 + y 2 2 = y 5 - x ² y ³ x 2 + y 2 2

No ponto 0 , y :

∂ f ∂ x 0 , y = y 5 - ( 0 ) 2 y 3 0 ² + y 2 2 = y 5 y 4 = y

Agora vamos substituir:

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = lim y → 0 ⁡ ∂ f ∂ x 0 , y - ∂ f ∂ x 0,0 y - 0

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = l i m y → 0 y - 0 y = 1

Vamos calcular agora

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = lim x → 0 ⁡ ∂ f ∂ y x , 0 - ∂ f ∂ y 0,0 x - 0

Primeiro temos que calcular

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y = 0

Agora:

∂ f ∂ y x , 0

Considerando x , y ≠ 0,0

∂ f ∂ y x , y = 3 x y 2 x 2 + y 2 - 2 y x y 3 x 2 + y 2 2 = 3 x 3 y 2 + 3 x y 4 - 2 x y 4 x 2 + y 2 2 = 3 x 3 y 2 + x y 4 x 2 + y 2 2

No ponto ( x , 0 ) :

∂ f ∂ y x , 0 = 3 x 3 0 2 + x 0 4 x 2 + 0 2 2 = 0

Agora vamos substituir:

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = lim x → 0 ⁡ ∂ f ∂ y x , 0 - ∂ f ∂ y 0,0 x - 0

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x = 0

Então

∂ 2 f ∂ y ∂ x 0,0 = 1

∂ 2 f ∂ x ∂ y 0,0 = 0

Repara que, nesse caso, as derivadas parciais mistas não foram iguais.

Lembra que eu disse que as derivadas parciais mistas f x y e f y x QUASE sempre seriam iguais?

Então, esse quase entra aqui. Quando as derivadas parciais de segunda ordem não forem contínuas num ponto, então as derivadas parciais mistas não serão iguais nesse ponto. Foi isso que aconteceu aqui.

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 318, exercício 56.

Seja w = f ( x , y , z ) uma função de três variáveis independentes. Use a definição para encontrar ∂ f ∂ y ( - 1,0 , 3 ) para a função

f x , y , z = - 2 x y 2 + y z ²

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Para funções de duas variáveis, a definição é

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

Para três variáveis vai ficar:

∂ f ∂ y x 0 , y 0 , z o = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y , z 0 - f x 0 , y , 0 , z 0 y - y 0

Colocando x 0 , y 0 , z 0 = ( - 1,0 , 3 ) , teremos:

∂ f ∂ y ( - 1,0 , 3 ) = lim y → 0 ⁡ f - 1 , y , 3 - f ( - 1,0 , 3 ) y - 0

Passo 2

Vamos calcular f - 1,0 , 3

f - 1,0 , 3 = - 2 - 1 0 2 + 0 3 2 = 0

Agora vamos substituir:

∂ f ∂ y - 1,0 , 3 = lim y → 0 ⁡ - 2 - 1 y 2 + y 3 2 - 0 y = lim y → 0 ⁡ 2 y 2 + 9 y y = lim y → 0 ⁡ y 2 y + 9 y

∂ f ∂ y - 1,0 , 3 = l i m y → 0   2 y + 9 = 9

Resposta

δ f δ y = 9

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 318, exercício 53.

Use a definição de derivada parcial como limite para calcular as derivadas parciais da função

f x , y = 1 - x + y - 3 x ² y

No ponto 1,2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar pela derivada parcial em relação a x .

Pela definição:

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 1,2 , teremos:

∂ f ∂ x 1,2 = lim x → 1 ⁡ f x , 2 - f 1,2 x - 1

Vamos calcular f 1,2

f 1,2 = 1 - 1 + 2 - 3 1 2 2 = - 4

Agora vamos substituir:

∂ f ∂ x 1,2 = lim x → 1 ⁡ 1 - x + 2 - 6 x ² - ( - 4 ) x - 1 = lim x → 1 ⁡ 7 - x - 6 x ² x - 1

Usando a regra de L’Hospital:

∂ f ∂ x 1,2 = lim x → 1 ⁡ 7 - x - 6 x ² x - 1 = l i m x → 1 - 1 - 12 x 1 = - 13

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

∂ f ∂ y 1,2 = lim y → 2 ⁡ f 1 , y - f 1,2 y - 2

Como f 1,2 = - 4 ,

∂ f ∂ y 1,2 = lim y → 2 ⁡ 1 - 1 + y - 3 ( 1 ) ² y - ( - 4 ) y - 2 = lim y → 2 ⁡ - 2 y + 4 y - 2

Pela regra de L’Hospital:

∂ f ∂ y 1,2 = lim y → 2 ⁡ - 2 y + 4 y - 2 = l i m y → 2 - 2 1 = - 2

Resposta

δ f δ x = - 13

δ f δ y = - 2

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009,p.103, exercício 9a

Seja

f x , y = x 2 + y 2 sen ⁡ 1 x 2 + y 2 , s e   x , y ≠ 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .

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Passo 1

Aqui vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar 0 ! Então vamos lá, para a derivada em relação a x ,

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 0,0 , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x 2 - 0 x = l i m x → 0   x sen ⁡ 1 x 2 = 0

Pois sen ⁡ 1 x 2 é uma função limitada.

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ y 2 sen ⁡ 1 y 2 - 0 y = lim y → 0 ⁡ y sen ⁡ 1 y 2 = 0

Resposta

δ f δ x = 0

δ f δ y = 0

Exercício Resolvido #4

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009,p.114, exercício 9a

Considere a função

f x , y = x y ² x 2 + y 2 , s e   x , y ≠ 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar 0 ! Então vamos lá, para a derivada em relação a x ,

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 0,0 , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ 0 - 0 x = 0

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 - 0 y = 0

Resposta

δ f δ x = 0

δ f δ y = 0

Exercício Resolvido #5

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2014 Noite questão 1, item b

Considere a função:

f x , y = x y 2 x 2 + y 4 , s e   x , y ≠ 0,0   0 , s e   x , y = 0,0

Determine as derivadas parciais δ f δ x 0,0 e δ f δ y 0,0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Aqui vamos ter que usar a definição de derivada parcial, por que né, não dá pra simplesmente derivar 0 ! Então vamos lá, para a derivada em relação a x ,

∂ f ∂ x x 0 , y 0 = lim x → x 0 ⁡ f x , y 0 - f x 0 , y 0 x - x 0

Colocando x 0 , y 0 = 0,0 , teremos:

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ x 0,0 = lim x → 0 ⁡ 0 x 2 - 0 x - 0 = 0 x 3 = 0

E aí está! Nossa derivada em relação a x é 0 !

Passo 2

Agora vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a y . Pela definição,

∂ f ∂ y x 0 , y 0 = lim y → y 0 ⁡ f x 0 , y - f x 0 , y 0 y - y 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0

Como f 0,0 = 0 ,

∂ f ∂ y 0,0 = lim y → 0 ⁡ 0 y 4 - 0 y - 0 = 0 y 5 = 0

Novamente, nossa derivada deu 0 . Derivada parcial em relação a y é 0 !

Resposta

δ f δ x = 0 , δ f δ y = 0

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