Diferenciabilidade de funções de duas variáveis

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Teoria

Fala aí! Você está no Responde Aí! Vamos lá aprender tudo sobre diferenciabilidade de funções de duas variáveis

Teoremas da diferenciabilidade de funções de duas variáveis

Para saber se uma função de mais de uma variável é diferenciável, existem três teoremas:

  1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
  2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
  3. Se e existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

E é basicamente isso! Com esses teoremas podemos determinar se uma função é ou não é diferenciável!

O detalhe é que isso vale para qualquer função de várias variáveis!

Reescrevendo os teoremas diferenciabilidade de funções de várias variáveis

Talvez você tenha achado os teoremas acima meio confusos. Não se preocupe, isso é normal.

Uma forma de contornar essa dificuldade é pensar nos teoremas de forma invertida, que ficam assim:

  1. Se ela não é contínua, então ela não é diferenciável
  2. Se ela não possui derivadas parciais, então ela não é diferenciável
  3. Se ela não é diferenciável, então as derivadas parciais não são contínuas (mas podem existir)

Ficou melhor agora, né! Pra ficar mais claro, vamos dar uma olhada numa video-aula!

Agora que você já está manjando de diferenciabilidade, que tal dar uma olhada nos exercícios resolvidos aqui em baixo 👇!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f x , y é continua no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  2. Se f x , y é diferenciável no ponto a , b então f x , y é continua no ponto a , b
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  1. i )   F             i i )   V             i i i )   F
  2. i )   V             i i )   F             i i i )   F
  3. i )   V             i i )   F             i i i )   V
  4. i )   F             i i )   V             i i i )   V
  5. i )   F             i i )   F             i i i )   F

Passo 1

i)

Se uma função é diferenciável num certo ponto, então ela é contínua nesse ponto. A recíproca é falsa. Portanto, a afirmativa é falsa.

Passo 2

ii)

Mesma justificativa: diferenciabilidade implica continuidade. Afirmativa verdadeira.

Passo 3

iii)

Não basta que as derivadas parciais existam: elas também têm que ser contínuas no ponto. Então a afirmativa é falsa.

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #2

A função

f x , y = x 2 x 2 + y 2 , s e x , y ≠ 0,0 0 , s e x , y = 0,0

é diferenciável na origem?

Passo 1

Vamos primeiro testar a continuidade da função.

Para essa função ser contínua na origem, basta que o limite dela, na origem, seja o proprio valor que ela assume no ponto ( 0,0 ) , ou seja,

l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = 0 ⁡

Mas, aqui vem um truque: é muito mais fácil provar que o limite não existe!

Não custa nada, e quer ver como é rápido de fazer isso?

Passo 2

Podemos calcular o valor do limite pra uma infinidade de caminhos, então vamos escolher os mais fáceis! Uma boa é testar primeiro x = 0 e y = 0 . Então vamos lá:

x = 0 ⇒ l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = l i m y → 0 0 0 + y 2 = 0

Passo 3

Agora testando y = 0 :

y = 0 ⇒ l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = l i m x → 0 x 2 x 2 + 0 = 1

Opa! Obtivemos 2 resultados diferentes! Portanto o limite não existe, e a função não é contínua na origem.

Passo 4

E sabemos que

n ã o   c o n t í n u a ⇒ n ã o   d i f e r e n c i á v e l

Logo, f não é diferenciável na origem.

Resposta

A função não é diferenciável em ( 0,0 ) .

Exercício Resolvido #3

Seja a função

f x , y = x 5 y 2 x 8 + y 4 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

  1. Mostre que o lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0 , ao longo de qualquer reta y = m x .
  2. Analise a continuidade da função no ponto ( 0,0 ) .
  3. Analise a diferenciabilidade da função no ponto ( 0,0 ) .

Passo 1

(a)

Basicamente vamos substituir y = m x na expressão da função e calcular o limite, só isso! Inclusive vai ser um limite estilo cálculo 1, teoricamente mais tranquilo de calcular.

Então vamos lá:

lim x → 0 ⁡ f x , m x = l i m x → 0 x 5 m x 2 x 8 + m 4 x 4

Fatorando pelo termo de maior grau do numerador (lembra disso? haha), temos:

l i m x → 0 m x 6 x 6 2 x 2 + m 4 x 2 = l i m x → 0 m 2 x 2 + m 4 x 2

E

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + m 4 x 2 = + ∞  

Logo

l i m x → 0 m 2 x 2 + m 4 x 2 = 0

Portanto, ao longo de qualquer reta y = m x temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Passo 2

(b)

Agora ele quer saber se a função é contínua na origem. Ou seja, se pra qualquer caminho que a gente usar pra calcular o limite vamos ter

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Acabamos de provar isso pelos caminhos do tipo y = m x .

Então partiu!

A gente pode tentar aplicar o teorema do sanduíche. Vamos dar uma olhada na função:

f x , y = x 5 y 2 x 8 + y 4

Repare que não temos nenhum termos do tipo

x 2 x 2 + y 2 ,   x x + y     o u   x x 2 + y 2

nem funções trigonométricas. Também podemos ver que o grau do numerados (6) é menor que o grau do denominador (8).

Então não tá muito promissor pro teorema do sanduba. Vai ser mais fácil tentar provar que o limite não existe!

Passo 3

Já vimos que fazendo y = m x tá tudo ok com o limite, então vamos tentar por outros caminhos!

Digamos y = m x ² . Vamos ter

lim x → 0 ⁡ f x , m x 2 = l i m x → 0 x 5 m x 2 2 x 8 + m 4 x 8 = lim x → 0 ⁡ x 7 m x 7 ( 2 x + m 4 x )

Simplificando isso aí:

lim x → 0 ⁡ m 2 x + m 4 x = ∞

Ou seja, esse limite não existe! Porque o denominador vai a zero mais rápido que o numerador, e aí essa bagaça toda vai pro infinito.

Assim, como por um caminho o limite existe e por outro ele não existe, então na real ele não pode existir né? Porque pra existir ele precisava não depender do caminho.

Portanto, a função não é contínua na origem!

Passo 4

(c)

Pra essa questão não vai ter muito mistério não! Queremos saber se f é diferenciável na origem, mas já vimos que ela não é contínua nesse ponto. E temos, para um função f ( x , y ) em algum ponto:

n ã o   c o n t í n u a   ⇒     n ã o   d i f e r e n c i á v e l

Toda função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto, então a f não sendo contínua na origem, acabou o problema: ela não também não é diferenciável na origem!

Resposta

(a)

lim x → 0 ⁡ f x , m x = l i m x → 0 x 5 m x 2 x 8 + m 4 x 4 = 0

(b) A função não é contínua na origem.

(c) A função não é diferenciável na origem.

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1. Verifique que a função dada é diferenciável.b) f x , y = x 4 + y 3
1. Verifique que a função dada é diferenciável.a) f x , y = e x - y 2
1. Verifique que a função dada é diferenciável.e) f x , y = x c o s x
Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, enc