Diferenciabilidade

Teoria Completa

Para saber se uma função de mais de uma variável é diferenciável, existem três teoremas:

  1. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela é contínua nesse ponto;
  2. Se uma função é diferenciável em um ponto, então ela possui derivadas parciais nesse ponto;
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

Atenção! As recíprocas desses teoremas são falsas!

Portanto, uma função ser contínua ou possuir derivadas parciais num ponto não implica ela ser diferenciável nesse ponto. E se ela for diferenciável, suas derivadas parciais não são obrigatoriamente contínuas!

Mas repare que podemos interpretar esses teoremas de outra forma. Considerando uma função num certo ponto, temos:

  1. Se ela não é contínua, então ela não é diferenciável
  2. Se ela não possui derivadas parciais, então ela não é diferenciável
  3. Se ela não é diferenciável, então as derivadas parciais não são contínuas (mas podem existir).

Esse primeiro item é muito importante e nos ajuda a resolver muitas questões.

Por exemplo, a função f abaixo é diferenciável na origem?

f x , y = x x + y s e   x , y ≠ 0 ,   0 0 s e   x , y = 0 ,   0

A primeira coisa que temos que fazer é testar a continuidade da função.

Pra ela ser contínua na origem, devemos ter

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ f x , y = f 0 ,   0       ⇒     lim x , y → 0 ,   0 ⁡ x x + y = 0

Em vez de calcular esse limite, nesse caso (e geralmente será assim) parece melhor mostrar que ele não existe. Isso porque não tem nenhuma expressão típica de teorema do Sanduíche e o grau do numerador é igual ao grau do denominador (1).

Assim, se tentarmos calcular esse limite primeiro pelo caminho x = 0 e depois pelo caminho y = 0 , chegaremos a resultados diferentes, portanto o limite não existe.

Logo, a função não é contínua na origem. E não sendo contínua, ela também não é diferenciável nesse ponto.

Já se o limite existir, a função vai ser contínua e diferenciável.

Então geralmente o procedimento vai ser esse: pegar uma função definida por partes, provar que o limite não existe e mostrar, assim, que a função não é nem contínua nem diferenciável no ponto.

Expandir

Exercício Resolvido #1

Cálculo 2 UFRJ, P2 2014.1, questão 2

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se f x , y é continua no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  2. Se f x , y é diferenciável no ponto a , b então f x , y é continua no ponto a , b
  3. Se ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y existem no ponto a , b então f x , y é diferenciável no ponto a , b
  1. i )   F             i i )   V             i i i )   F
  2. i )   V             i i )   F             i i i )   F
  3. i )   V             i i )   F             i i i )   V
  4. i )   F             i i )   V             i i i )   V
  5. i )   F             i i )   F             i i i )   F
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

i)

Se uma função é diferenciável num certo ponto, então ela é contínua nesse ponto. A recíproca é falsa. Portanto, a afirmativa é falsa.

Passo 2

ii)

Mesma justificativa: diferenciabilidade implica continuidade. Afirmativa verdadeira.

Passo 3

iii)

Não basta que as derivadas parciais existam: elas também têm que ser contínuas no ponto. Então a afirmativa é falsa.

Resposta

Alternativa (a)

Exercício Resolvido #2

Cálculo 2 CEFET-RJ, P1 Prof. Rodrigo Peres, questão 2

A função

f x , y = x 2 x 2 + y 2 , s e x , y ≠ 0,0 0 , s e x , y = 0,0

é diferenciável na origem?

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Passo 1

Vamos primeiro testar a continuidade da função.

Para essa função ser contínua na origem, basta que o limite dela, na origem, seja o proprio valor que ela assume no ponto ( 0,0 ) , ou seja,

l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = 0 ⁡

Mas, aqui vem um truque: é muito mais fácil provar que o limite não existe!

Não custa nada, e quer ver como é rápido de fazer isso?

Passo 2

Podemos calcular o valor do limite pra uma infinadade de caminhos, então vamos escolher os mais fáceis! Uma boa é testar primeiro x = 0 e y = 0 . Então vamos lá:

x = 0 ⇒ l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = l i m y → 0 0 0 + y 2 = 0

Passo 3

Agora testando y = 0 :

y = 0 ⇒ l i m x , y → 0,0 x 2 x 2 + y 2 = l i m x → 0 x 2 x 2 + 0 = 1

Opa! Obtivemos 2 resultados diferentes! Portanto o limite não existe, e a função não é contínua na origem.

Passo 4

E sabemos que

n ã o   c o n t í n u a ⇒ n ã o   d i f e r e n c i á v e l

Logo, f não é diferenciável na origem.

Resposta

A função não é diferenciável em ( 0,0 ) .

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Seja a função

f x , y = x 5 y 2 x 8 + y 4 , x , y ≠ 0,0 0 , x , y = 0,0

  1. Mostre que o lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0 , ao longo de qualquer reta y = m x .
  2. Analise a continuidade da função no ponto ( 0,0 ) .
  3. Analise a diferenciabilidade da função no ponto ( 0,0 ) .
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

(a)

Basicamente vamos substituir y = m x na expressão da função e calcular o limite, só isso! Inclusive vai ser um limite estilo cálculo 1, teoricamente mais tranquilo de calcular.

Então vamos lá:

lim x → 0 ⁡ f x , m x = l i m x → 0 x 5 m x 2 x 8 + m 4 x 4

Fatorando pelo termo de maior grau do numerador (lembra disso? haha), temos:

l i m x → 0 m x 6 x 6 2 x 2 + m 4 x 2 = l i m x → 0 m 2 x 2 + m 4 x 2

E

lim x → 0 ⁡ 2 x 2 + m 4 x 2 = + ∞  

Logo

l i m x → 0 m 2 x 2 + m 4 x 2 = 0

Portanto, ao longo de qualquer reta y = m x temos:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Passo 2

(b)

Agora ele quer saber se a função é contínua na origem. Ou seja, se pra qualquer caminho que a gente usar pra calcular o limite vamos ter

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Acabamos de provar isso pelos caminhos do tipo y = m x .

Então partiu!

A gente pode tentar aplicar o teorema do sanduíche. Vamos dar uma olhada na função:

f x , y = x 5 y 2 x 8 + y 4

Repare que não temos nenhum termos do tipo

x 2 x 2 + y 2 ,   x x + y     o u   x x 2 + y 2

nem funções trigonométricas. Também podemos ver que o grau do numerados (6) é menor que o grau do denominador (8).

Então não tá muito promissor pro teorema do sanduba. Vai ser mais fácil tentar provar que o limite não existe!

Passo 3

Já vimos que fazendo y = m x tá tudo ok com o limite, então vamos tentar por outros caminhos!

Digamos y = m x ² . Vamos ter

lim x → 0 ⁡ f x , m x 2 = l i m x → 0 x 5 m x 2 2 x 8 + m 4 x 8 = lim x → 0 ⁡ x 7 m x 7 ( 2 x + m 4 x )

Simplificando isso aí:

lim x → 0 ⁡ m 2 x + m 4 x = ∞

Ou seja, esse limite não existe! Porque o denominador vai a zero mais rápido que o numerador, e aí essa bagaça toda vai pro infinito.

Assim, como por um caminho o limite existe e por outro ele não existe, então na real ele não pode existir né? Porque pra existir ele precisava não depender do caminho.

Portanto, a função não é contínua na origem!

Passo 4

(c)

Pra essa questão não vai ter muito mistério não! Queremos saber se f é diferenciável na origem, mas já vimos que ela não é contínua nesse ponto. E temos, para um função f ( x , y ) em algum ponto:

n ã o   c o n t í n u a   ⇒     n ã o   d i f e r e n c i á v e l

Toda função diferenciável num ponto é contínua nesse ponto, então a f não sendo contínua na origem, acabou o problema: ela não também não é diferenciável na origem!

Resposta

(a)

lim x → 0 ⁡ f x , m x = l i m x → 0 x 5 m x 2 x 8 + m 4 x 4 = 0

(b) A função não é contínua na origem.

(c) A função não é diferenciável na origem.

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