Direção de Crescimento Mais Rápido da Derivada Direcional

Teoria Completa

Com as derivadas direcionais, vimos que podemos estudar a taxa de variação de uma função na direção de qualquer vetor.

Por isso podemos nos perguntar: em que direção a função cresce mais rápido?

A resposta é bem simples: a função cresce mais rápido na direção do vetor gradiente!

Coisa meio doida? Não é não! A gente viu que a derivada direcional é dada por:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

Mas, quando um produto escalar é máximo? Quando os vetores apontam no mesmo sentido, ou seja, no sentido do gradiente!

Portanto, a derivada direcional da função f x , y na direção de um vetor u é máxima se u for o próprio gradiente da função:

u = ∇ f x , y ⇔ ∂ f ∂ u x , y = m a x

E a taxa de variação máxima é o módulo do gradiente:

t a x a   m á x i m a = ∇ f x , y

Da mesma forma, a função f decresce o mais rápido na direção do vetor - ∇ f ( x , y ) , e essa taxa de decrescimento máximo é menos o módulo do gradiente.

E é basicamente isso! :)

Por exemplo:

f x , y = 3 + x y - x 2 - y 2

Vamos descobrir em que direção a taxa de variação de f é máxima, a partir do ponto 1 ,   2 .

Pra isso basta calcular o gradiente!

∂ f ∂ x x , y = y - 2 x

∂ f ∂ y x , y = x - 2 y

No ponto 1 ,   2 :

∇ f 1 ,   2 = 2 - 2 ,   1 - 4 = 0 , - 3

Portanto a função cresce mais rápido na direção do vetor 0 , - 3 . Repare a coordenada x é nula, e a coordenada y é negativa. Então podemos dizer que a função cresce mais rápido no sentido negativo do eixo y .

A taxa desse crescimento é dada por:

∇ f 1 ,   2 = 0 2 + - 3 2 = 3

E pra saber a direção/taxa de decrescimento mais rápido, basta inverter os resultados!

Assim, a função diminui mais rapidamente na direção do vetor ( 0 ,   3 ) (ou 0 ,   1 ,   0 ,   π , eixo y , tanto faz), e a taxa de decrescimento vale - ∇ f 1 ,   2 = - 3 .

Tranquilo né? ;)

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Seja a função

f x , y = x 2 + y 2 - y

E o ponto P = 1 ,   1 . Determine:

  1. A direção na qual a taxa de variação de f em P é máxima.
  2. O valor dessa taxa de variação máxima.
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Passo 1

a)

A taxa de variação de f é máxima na direção do vetor ∇ f P . Então vamos calcular esse gradiente:

f x x , y = 2 x

f y x , y = 2 y - 1

⇒ ∇ f P = 2 ,   2 - 1 = 2 ,   1

Então f cresce mais rápido na direção do vetor 2 ,   1 .

Passo 2

b)

O valor da taxa de variação é o módulo do gradiente, e vale:

∇ f P = 2,1 = 2 2 + 1 2 = 5

Resposta

a) Na direção do vetor 2 ,   1 .

b) A taxa máxima é 5 .

Exercício Resolvido #2

Cálculo 2 UFRJ, P2 2015.1, questão 3

Considere a função f x , y = x 2 sen ⁡ π x y . Para que a derivada direcional f u 1 ,   1 2 seja máxima, o ângulo que o vetor u deve formar com o eixo x é:

(a) 90 o

(b) 45 o

(c) 120 o

(d) 30 o

(e) 0 o

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Passo 1

O crescimento é máximo no sentido do vetor gradiente. Então para que f u 1 ,   1 2 seja máxima o vetor u tem que estar na mesma direção e sentido de ∇ f 1 , 1 2 . Então vamos calcular esse gradiente! Pela regra do produto:

∂ f ∂ x x , y = 2 x . sen ⁡ π x y + x 2 . cos ⁡ ( π x y ) . π y

⇒   ∂ f ∂ x 1 , 1 2 = 2 sen ⁡ π 2 + cos ⁡ π 2 . π 2 = 2.1 + 0 = 2

Também temos:

∂ f ∂ y x , y = x 2 . cos ⁡ π x y . π x = π x ³ c o s ⁡ ( π x y )

⇒   ∂ f ∂ y 1 , 1 2 = π cos ⁡ π 2 = 0

Logo:

∇ f 1 , 1 2 = 2,0

Passo 2

Portanto, o vetor u tem que ser paralelo ao vetor 2,0 . Então os dois vetores têm que fazer o mesmo ângulo com o eixo x ! Mas o vetor 2,0 é paralelo ao eixo x :

Ou seja, o ângulo entre o vetor 2,0 e o eixo x é 0 o . Então o vetor u também vai ter que formar um ângulo de 0 o com o eixo x .

Resposta

Alternativa (e)

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009

O Capitão Astro está outra vez em perigo perto da órbita de Mercúrio. Ele está na posição P 0 = 1,1 , 1 , e a temperatura da blindagem de sua espaçonave num ponto x , y , z é dada por T x , y , z = e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 graus.

  1. Que direção ele deve tomar para perder temperatura o mais rápido possível?
  2. Se a espaçonave viaja a e 8 unidades de comprimento por segundo, com que taxa a temperatura irá cair quando ele seguir a direção do item a)?
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Passo 1

a)

Atenção ele perder temperatura mais rápido não é a derivada direcional máximo, mas sim mínima porque ele quer PERDER temperatura!!

Essa direção é menos o gradiente. O gradiente vai ser

∇ T = - 2 x e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 4 y e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2 , - 6 z e - x 2 - 2 y 2 - 3 z 2

Passo 2

Vamos agora substituir o ponto P 0

∇ T P 0 = - 2 e - 1 2 - 2 . 1 2 - 3 . 1 2 , - 4 e - 1 2 - 2 . 1 2 - 3 . 1 2 , - 6 e - 1 2 - 2 . 1 2 - 3 . 1 2

∇ T P 0 = - 2 e - 6 , - 4 e - 6 , - 6 e - 6

A direção que ele pediu é menos isso

2 e - 6 , 4 e - 6 , 6 e - 6

Podemos arrumar esse rapaz feioso ai,

2 e - 6 1,2 , 3

A direção mais bonitinha vai ficar

u m i n = 1,2 , 3

Passo 3

b)

Como a direção é a de menor derivada direcional então podemos achar a derivada direcional pelo módulo do vetor gradiente.

∂ T ∂ u m i n = - ∇ T

Vamos então achar o módulo do vetor gradiente

∇ T = - 2 e - 6 1,2 , 3

∇ T 2 = 2 e - 6 2 1 2 + 2 2 + 3 2

∇ T = 2 e - 6 14

Vamos ter

∂ T ∂ u m i n = - 2 e - 6 14   ° C / m

Mas ele quer a variação no tempo. Vamos fazer a regra da cadeia

∂ T ∂ t = ∂ T ∂ u m i n ∂ u m i n ∂ t

Essa variação da direção pelo tempo é a velocidade dele

∂ T ∂ t = - 2 e - 6 14   .   e 8 = - 2 e 2 14   ° C / s

Resposta

  1. u m i n = 1,2 , 3
  2. ∂ T ∂ t = - 2 e 2 14   ° C / s

Exercício Resolvido #4

Cálculo 2 UFRJ, PF 2013.2, questão 2

A derivada direcional de f ( x , y , z ) num ponto P é maior na direção e sentido de v → = ( 2,2 , - 2 ) . Nessa direção o valor da derivada é 48 . Qual é o gradiente de f em P ?

(a) 1 3 , 1 3 ,   - 1 3

(b) ( 1,1 , - 1 )

(c) 2 2 , 2 2 , - 2 2

(d) ( 4,4 , - 4 )

(e) Nenhuma das demais alternativas.

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Passo 1

Vamos relembrar a fórmula da derivada direcional:

∂ f ∂ v → = ∇ f P ⋅ v → v →

E ele nos deu ∂ f ∂ v → = 48 . Logo,

∇ f P ⋅ v → v → = 48

E temos v → = ( 2,2 , - 2 ) . Então só falta calcular seu módulo:

v → = 2 2 + 2 2 + - 2 2 = 12