Teoria Completa
Vamos direto ao ponto, sem enrolação: os pontos críticos de uma função de várias variáveis são aqueles onde as derivadas parciais valem zero, ou pelo menos uma delas não existe.
Vamos colocar a mão na massa então e achar os pontos críticos da função
Calculamos as derivadas parciais de e igualamos a zero, que nem fazíamos com funções de uma variável. A diferença é que lá, só tínhamos uma derivada, e aqui, temos várias derivadas parciais.
Então pra um ponto ser um ponto crítico pelo menos uma delas não pode existir, ou todas elas têm que valer zero.
Assim, ficamos com o sistema:
Geralmente caímos nesse segundo caso mesmo. Daí basta resolver o sistema que a gente acha os pontos críticos :)
Resolvendo esse sistema ai, temos, da segunda equação
Substituindo na primeira, ficamos com:
Se , então . E se , então .
Portanto, tem 2 pontos críticos, os pontos e .
Bora pra mais um exemplo então!
Partiu achar as derivadas parciais desse monstrinho aí
Ajeitando isso daí temos:
Vamos fazer o primeiro sisteminha
Agora pro segundo temos
Como a nossa exponencial nunca da zero para um número real, temos que:
Como já vimos
Então
Logo, nossos pontos críticos são
Então é só isso mesmo!
Exercício Resolvido #1
Seja . Identifique o(s) ponto(s) crítico(s) de .
Passo 1
Calcular gradiente:
Passo 2
Encontrar pontos críticos:
Passo 3
Igualando as coordenadas:
Colocando em evidência:
Pela segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Pela segunda equação novamente:
Então:
Então o único ponto crítico é .
Resposta
A função tem um ponto crítico em .
Exercício Resolvido #2
Mostre que é um ponto crítico de , não importando o valor da constante .
Passo 1
Vamos calcular as derivadas parciais da :
Passo 2
No ponto , as derivadas parciais valem:
Então o valor de realmente não importa: de qualquer forma as derivadas parciais se anulam!
Portanto, o ponto é um ponto crítico de .
Resposta
pra qualquer .
Exercício Resolvido #3
Considere a função
Encontre todos os pontos críticos de .
Passo 1
Vamos calcular as derivadas parciais da , usando a regra do produto e a regra da cadeia:
Botando em evidência:
E pra derivada parcial em relação a temos
Agora botamos em evidência:
Resumindo:
Passo 2
Agora vamos zerar as derivadas parciais.
A exponencial nunca vale zero, então temos
Passo 3
Subtraindo a 2ª equação da 1ª:
Passo 4
Beleza, agora substituímos numa das equações que achamos:
Show, estamos quase acabando.
Passo 5
Se , então . E se :
Então a função tem 2 pontos críticos: os pontos e .
Resposta
e
Exercício Resolvido #4
Suponha que a função tem um ponto crítico em no espaço. Se e são números reais positivos, então a função tem um ponto crítico em
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) a informação é insuficiente
Passo 1
Essa é uma questão mais teórica, mas você vai ver que não tem mistério!
é um ponto crítico de , ou seja nesse ponto as derivadas parciais se anulam, ou uma delas não existe, certo?
Vamos primeiro considerar que as derivadas parciais valem zero:
Agora vamos dar uma olhada na função :
Repare que as derivadas parciais da são as derivadas parciais da multiplicando ! O , constante, some. Pelas regras básicas de derivação, temos:
Passo 2
E no ponto as derivadas parciais da são todas iguais a zero né?? Ótimo, então elas também vão ser zero pra :
Então nesse caso o ponto também é um ponto crítico da !
Passo 3
Agora vamos ver o caso em que é um ponto crítico da porque uma das derivadas parciais não existe.
Quando dizemos que a derivada parcial não existe é porque ela não é definida nesse ponto. Vamos supor, por exemplo, que a derivada parcial de em relação a não existe. E, como já vimos:
Ou seja:
A só é a multiplicada por uma constante, então ela também não existe!
Portanto, em qualquer um dos casos o ponto é ponto crítico da .
Resposta
Alternativa (a)