Pontos Críticos de Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

Vamos direto ao ponto, sem enrolação: os pontos críticos de uma função de várias variáveis são aqueles onde as derivadas parciais valem zero, ou pelo menos uma delas não existe.

Vamos colocar a mão na massa então e achar os pontos críticos da função

f x , y = x y - x 3 - y 2

Calculamos as derivadas parciais de f e igualamos a zero, que nem fazíamos com funções de uma variável. A diferença é que lá, só tínhamos uma derivada, e aqui, temos várias derivadas parciais.

Então pra um ponto ser um ponto crítico pelo menos uma delas não pode existir, ou todas elas têm que valer zero.

Assim, ficamos com o sistema:

∂ f ∂ x x , y = y - 3 x 2 = 0 ∂ f ∂ y x , y = x - 2 y = 0

Geralmente caímos nesse segundo caso mesmo. Daí basta resolver o sistema que a gente acha os pontos críticos :)

Resolvendo esse sistema ai, temos, da segunda equação

x = 2 y

Substituindo na primeira, ficamos com:

y = 12 y 2

y = 0     o u   y = 1 12

Se y = 0 , então x = 0 . E se y = 1 12 , então x = 2 12 = 1 6 .

Portanto, f tem 2 pontos críticos, os pontos 0 ,   0 e 1 6 , 1 12 .

Então é só isso mesmo!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, exemplo 4.4, p.131 (modificado)

Seja f x , y = 1 - x 2 + 4 x y - y 2 . Identifique o(s) ponto(s) crítico(s) de f .

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Passo 1

Calcular gradiente:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y

⇒ ∇ f x , y = - 2 x + 4 y ,   4 x - 2 y

Passo 2

Encontrar pontos críticos:

∇ f = 0 →

⇒ - 2 x + 4 y ,   4 x - 2 y = 0,0

Passo 3

Igualando as coordenadas:

- 2 x + 4 y = 0   4 x - 2 y = 0

Colocando em evidência:

- x + 2 y = 0   2 x - y = 0

Pela segunda equação:

y = 2 x

Substituindo na primeira equação:

- x + 2 2 x = 0

⇒ x = 0

Pela segunda equação novamente:

y = 0

Então:

x = 0   y = 0

Então o único ponto crítico é 0,0 .

Resposta

A função tem um ponto crítico em 0,0 .

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, p. 358 (modificado)

Mostre que 0 ,   0 é um ponto crítico de f x , y = x 2 + k x y + y 2 , não importando o valor da constante k .

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Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais da f :

f x x , y = 2 x + k y

f y x , y = k x + 2 y

Passo 2

No ponto 0 ,   0 , as derivadas parciais valem:

f x 0 ,   0 = 2 0 + k 0 = 0

f y 0 ,   0 = k 0 + 2 0 = 0

Então o valor de k realmente não importa: de qualquer forma as derivadas parciais se anulam!

Portanto, o ponto 0 ,   0 é um ponto crítico de f .

Resposta

f x 0 ,   0 = f y 0 ,   0 = 0 pra qualquer k .

Exercício Resolvido #3

Cálculo 2 PUC-RJ, P2 2013.2, questão 1 (modificada)

Considere a função

f x , y = e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2

Encontre todos os pontos críticos de f x , y .

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Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais da f , usando a regra do produto e a regra da cadeia:

f x x , y = e 2 x + 3 y ( 2 ) 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + e 2 x + 3 y 16 x - 6 y

Botando 2 e 2 x + 3 y em evidência:

f x x , y = 2 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y

E pra derivada parcial em relação a y temos

f y x , y = e 2 x + 3 y ( 3 ) 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + e 2 x + 3 y - 6 x + 6 y

Agora botamos 3 e 2 x + 3 y em evidência:

f y x , y = 3 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y

Resumindo:

f x x , y = 2 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y f y x , y = 3 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y

Passo 2

Agora vamos zerar as derivadas parciais.

f x x , y = 0 ⇒ 2 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y = 0 f y x , y = 0 ⇒ 3 e 2 x + 3 y 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y = 0

A exponencial nunca vale zero, então temos

8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y = 0 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y = 0

Passo 3

Subtraindo a 2ª equação da 1ª:

8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y - 8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 - 2 x + 2 y = 0

8 x - 3 y + 2 x - 2 y = 0

10 x = 5 y

y = 2 x

Passo 4

Beleza, agora substituímos numa das equações que achamos:

8 x 2 - 6 x y + 3 y 2 + 8 x - 3 y = 0

8 x 2 - 6 x 2 x + 3 2 x 2 + 8 x - 3 2 x = 0

8 x 2 - 12 x 2 + 12 x 2 + 8 x - 6 x = 0

8 x 2 + 2 x = 0

2 x = - 8 x 2

x = - 4 x 2

x = 0     o u   - 4 x = 1 ⇒ x = - 1 4

Show, estamos quase acabando.

Passo 5

Se x = 0 , então y = 0 . E se x = - 1 4 :

y = - 2 4 = - 1 2

Então a função tem 2 pontos críticos: os pontos 0 ,   0 e - 1 4 ,   - 1 2 .

Resposta

0 ,   0 e - 1 4 ,   - 1 2

Exercício Resolvido #4

Cálculo 2 UFRJ, P2 2014.2, questão 4

Suponha que a função f ( x , y , z ) tem um ponto crítico em ( x 0 , y 0 , z 0 ) no espaço. Se a > 0 e b > 0 são números reais positivos, então a função g x , y , z = a f x , y , z + b tem um ponto crítico em

(a) x 0 , y 0 , z 0

(b) a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(c) 1 a ( x 0 , y 0 , z 0 )

(d) a x 0 , y 0 , z 0 + b

(e) a informação é insuficiente

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Passo 1

Essa é uma questão mais teórica, mas você vai ver que não tem mistério!

( x 0 , y 0 , z 0 ) é um ponto crítico de f , ou seja nesse ponto as derivadas parciais se anulam, ou uma delas não existe, certo?

Vamos primeiro considerar que as derivadas parciais valem zero:

∇ f x 0 , y 0 , z 0 = ( 0,0 , 0 )

Agora vamos dar uma olhada na função g :

g x , y , z = a f x , y , z + b

Repare que as derivadas parciais da g são as derivadas parciais da f multiplicando a ! O b , constante, some. Pelas regras básicas de derivação, temos:

∂ g ∂ x x , y , z = a . ∂ f ∂ x x , y , z + 0

∂ g ∂ y x , y , z = a . ∂ f ∂ y x , y , z + 0

∂ g ∂ z x , y , z = a . ∂ f ∂ z x , y , z + 0