Derivadas Direcionais

Teoria Completa

Aprendemos a calcular as derivadas parciais em relação a x e a y , certo? Em outras palavras, sabemos calcular a derivada de uma função de duas variáveis na direção 1,0 (direção do eixo x ) e na direção 0,1 (direção do eixo y ).

Ok, mas se quiséssemos calcular a derivada na direção 1,1 , por exemplo?

Para isso servem as derivadas direcionais, que permitem calcular a derivada em qualquer direção.

Mas como se calcula?

Simples! A derivada de uma função de várias variáveis f na direção do vetor u em um ponto P 0 é dada por

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

Que se lê: A derivada direcional da função f na direção do vetor u no ponto P 0 é o produto escalar entre o vetor gradiente dessa função em P 0 e o vetor unitário da direção do vetor u (esse u   é o módulo do vetor u ).

Observe que para u = 1,0 (direção do eixo x ):

u   = 1 2 + 0 2 = 1

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = ∂ f ∂ x P 0 ,   ∂ f ∂ y P 0 ⋅ ( 1,0 ) 1

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = 1 ∂ f ∂ x P 0 + 0   ∂ f ∂ y P 0

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = ∂ f ∂ x P 0

Exatamente como esperávamos, certo? Esta é a derivada da função na direção do eixo x !

Aliás, nesse caso consideramos que f é uma função de 2 variáveis, mas a fórmula também vale pra funções de mais variáveis, beleza?

Vamos ver um exemplo! Calculemos a derivada direcional da função

f x , y = x e - 2 y

no ponto

P = 1 , - 1

na direção do vetor

v = 0,2

Vamos começar calculando o vetor gradiente da f :

f x x , y =   e - 2 y

f y x , y = - 2 x e - 2 y

⇒ ∇ f x , y = e - 2 y , - 2 x e - 2 y

Assim, no ponto P o gradiente é:

∇ f 1 , - 1 = e 2 , - 2 e 2

Beleza, agora vamos calcular o módulo do vetor v :

v = 0 ,   2

⇒ v = 0 2 + 2 2 = 4 = 2

Agora já podemos aplicar a fórmula:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ⋅ v v  

Substituindo os valores encontrados:

∂ f ∂ v P = e 2 , - 2 e 2 ⋅ 0 ,   2 2

∂ f ∂ v P = e 2 , - 2 e 2 ⋅ 0 ,   1 = 0 e 2 - 2 e 2

⇒ ∂ f ∂ v P = - 2 e 2

Então essa é a derivada direcional que queríamos :) Viu como é tranquilo?

Maas infelizmente, a vida não é só tranquilidade. Digo isso porque essa fórmula não serve sempre: só podemos usá-la quando a função é diferenciável!

Mas assim, geralmente você não vai ter que ficar testando diferenciabilidade de função não, é só que quando tivermos uma função meio louca, definida por partes por exemplo, vai ser interessante fazer a derivada direcional pela definição.

Pela definição vale sempre, afinal é uma definição :)

Basta fazer:

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Aí se por acaso você calcular a derivada direcional pela definição, e também pela fórmula do produto escalar, e os valores forem diferentes, é porque a função não é diferenciável nesse ponto (e o valor certo é o da definição).

Vejamos um exemplo:

f x , y , z = x 3 + x y 2 + x z 2 3

Vamos calcular a derivada direcional de f no ponto 0 ,   0 ,   0 e na direção do vetor u = 1 ,   1 ,   1 .

Usando a regra da cadeia, a derivada parcial em relação a x fica:

f x x , y , z = 1 3 x 3 + x y 2 + x z 2 - 2 3 3 x 2 + y 2 + z 2

Substituindo no ponto 0 ,   0 ,   0 :

f x 0 ,   0 ,   0 = 1 3 0 - 2 3 0

Opa! Zero com expoente negativo não pode! Isso porque

0 - 2 3 = 1 0 2 3

Portanto, a derivada parcial de f em relação a x tem uma descontinuidade na origem. E na verdade as outras derivadas parciais também vão ter esse problema!

Então pra essa função não podemos aplicar a fórmula do produto escalar pra calcular uma derivada direcional na origem. Por isso temos que apelar pra definição:

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Nesse caso temos

f x , y , z = x 3 + x y 2 + x z 2 3 P 0 = 0 ,   0 ,   0 u = 1 ,   1 ,   1   ⇒   t u = t ,   t ,   t

O módulo de u é:

u = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Portanto nosso limite vai ser:

∂ f ∂ u 0 ,   0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ f 0 + t ,   0 + t ,   0 + t - f 0 ,   0 ,   0 3 t

= lim t → 0 ⁡ f t ,   t ,   t - f 0 ,   0 ,   0 3 t

Temos

f t ,   t ,   t = t 3 + t t 2 + t t 2 3 = 3 t 3 3 f 0 ,   0 ,   0 = 0 + 0 + 0 3 = 0

Logo,

∂ f ∂ u 0 ,   0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ 3 t 3 3 3 t = lim t → 0 ⁡ 3 3 3 ∙ t 3 3 t

= lim t → 0 ⁡ 3 1 3 - 1 2 t t = 3 - 1 6

Então esse é o valor da nossa derivada direcional!

Agora partiu dar uma olhada nos exercícios? :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Cálculo 2, P2 2013.1, questão 1

Encontre a derivada direcional de f x , y , z = x y + y 2 z no ponto P = 7 , - 2,1 na direção do vetor v = 2,2 , 1 .

  1. 2
  2. - 2
  3. 6
  4. - 6
  5. 0
  6. Nenhuma das demais alternativas
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calcular módulo do vetor v :

v = 2 2 + 2 2 + 1 2

⇒ v = 4 + 4 + 1

⇒ v = 9

⇒ v = 3

Passo 2

Calcular vetor gradiente:

f x , y , z = x y + y 2 z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

⇒ ∇ f x , y , z = y ,   x + 2 y z ,   y 2

Passo 3

Calcular vetor gradiente no ponto P :

∇ f x , y , z = y ,   x + 2 y z ,   y 2

∇ f P = ∇ f 7 , - 2,1

⇒ ∇ f P = - 2 ,   7 + 2 - 2 1 ,   - 2 2

⇒ ∇ f P = - 2 ,   7 - 4 ,   4

⇒ ∇ f P = - 2 ,   3 ,   4

Passo 4

Calcular derivada direcional:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ⋅ v v  

⇒ ∂ f ∂ v P = - 2,3 , 4 ⋅ 2,2 , 1 3

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 2,3 , 4 ⋅ 2,2 , 1

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 2 2 + 3 2 + 4 1

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 4 + 6 + 4

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 6

⇒ ∂ f ∂ v P = 2

Alternativa (a).

Resposta

Alternativa (a).

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, exemplo 3.29, p.118

Determine a taxa de variação de f x , y , z = x y z + e 2 x + y no ponto P 0 = - 1,2 , 1