Derivadas Direcionais

Teoria Completa

Aprendemos a calcular as derivadas parciais em relação a x e a y , certo? Em outras palavras, sabemos calcular a derivada de uma função de duas variáveis na direção 1,0 (direção do eixo x ) e na direção 0,1 (direção do eixo y ).

Ok, mas se quiséssemos calcular a derivada na direção 1,1 , por exemplo?

Para isso servem as derivadas direcionais, que permitem calcular a derivada em qualquer direção.

Mas como se calcula?

Simples! A derivada de uma função de várias variáveis f na direção do vetor u em um ponto P 0 é dada por

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

Que se lê: A derivada direcional da função f na direção do vetor u no ponto P 0 é o produto escalar entre o vetor gradiente dessa função em P 0 e o vetor unitário da direção do vetor u (esse u   é o módulo do vetor u ).

Observe que para u = 1,0 (direção do eixo x ):

u   = 1 2 + 0 2 = 1

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = ∂ f ∂ x P 0 ,   ∂ f ∂ y P 0 ⋅ ( 1,0 ) 1

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = 1 ∂ f ∂ x P 0 + 0   ∂ f ∂ y P 0

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = ∂ f ∂ x P 0

Exatamente como esperávamos, certo? Esta é a derivada da função na direção do eixo x !

Aliás, nesse caso consideramos que f é uma função de 2 variáveis, mas a fórmula também vale pra funções de mais variáveis, beleza?

Vamos ver um exemplo! Calculemos a derivada direcional da função

f x , y = x e - 2 y

no ponto

P = 1 , - 1

na direção do vetor

v = 0,2

Vamos começar calculando o vetor gradiente da f :

f x x , y =   e - 2 y

f y x , y = - 2 x e - 2 y

⇒ ∇ f x , y = e - 2 y , - 2 x e - 2 y

Assim, no ponto P o gradiente é:

∇ f 1 , - 1 = e 2 , - 2 e 2

Beleza, agora vamos calcular o módulo do vetor v :

v = 0 ,   2

⇒ v = 0 2 + 2 2 = 4 = 2

Agora já podemos aplicar a fórmula:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ⋅ v v  

Substituindo os valores encontrados:

∂ f ∂ v P = e 2 , - 2 e 2 ⋅ 0 ,   2 2

∂ f ∂ v P = e 2 , - 2 e 2 ⋅ 0 ,   1 = 0 e 2 - 2 e 2

⇒ ∂ f ∂ v P = - 2 e 2

Então essa é a derivada direcional que queríamos :) Viu como é tranquilo?

Maas infelizmente, a vida não é só tranquilidade. Digo isso porque essa fórmula não serve sempre: só podemos usá-la quando a função é diferenciável!

Mas assim, geralmente você não vai ter que ficar testando diferenciabilidade de função não, é só que quando tivermos uma função meio louca, definida por partes por exemplo, vai ser interessante fazer a derivada direcional pela definição.

Pela definição vale sempre, afinal é uma definição :)

Basta fazer:

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Aí se por acaso você calcular a derivada direcional pela definição, e também pela fórmula do produto escalar, e os valores forem diferentes, é porque a função não é diferenciável nesse ponto (e o valor certo é o da definição).

Vejamos um exemplo:

f x , y , z = x 3 + x y 2 + x z 2 3

Vamos calcular a derivada direcional de f no ponto 0 ,   0 ,   0 e na direção do vetor u = 1 ,   1 ,   1 .

Usando a regra da cadeia, a derivada parcial em relação a x fica:

f x x , y , z = 1 3 x 3 + x y 2 + x z 2 - 2 3 3 x 2 + y 2 + z 2

Substituindo no ponto 0 ,   0 ,   0 :

f x 0 ,   0 ,   0 = 1 3 0 - 2 3 0

Opa! Zero com expoente negativo não pode! Isso porque

0 - 2 3 = 1 0 2 3

Portanto, a derivada parcial de f em relação a x tem uma descontinuidade na origem. E na verdade as outras derivadas parciais também vão ter esse problema!

Então pra essa função não podemos aplicar a fórmula do produto escalar pra calcular uma derivada direcional na origem. Por isso temos que apelar pra definição:

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Nesse caso temos

f x , y , z = x 3 + x y 2 + x z 2 3 P 0 = 0 ,   0 ,   0 u = 1 ,   1 ,   1   ⇒   t u = t ,   t ,   t

O módulo de u é:

u = 1 2 + 1 2 + 1 2 = 3

Portanto nosso limite vai ser:

∂ f ∂ u 0 ,   0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ f 0 + t ,   0 + t ,   0 + t - f 0 ,   0 ,   0 3 t

= lim t → 0 ⁡ f t ,   t ,   t - f 0 ,   0 ,   0 3 t

Temos

f t ,   t ,   t = t 3 + t t 2 + t t 2 3 = 3 t 3 3 f 0 ,   0 ,   0 = 0 + 0 + 0 3 = 0

Logo,

∂ f ∂ u 0 ,   0 ,   0 = lim t → 0 ⁡ 3 t 3 3 3 t = lim t → 0 ⁡ 3 3 3 ∙ t 3 3 t

= lim t → 0 ⁡ 3 1 3 - 1 2 t t = 3 - 1 6

Então esse é o valor da nossa derivada direcional!

Agora partiu dar uma olhada nos exercícios? :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ, Cálculo 2, P2 2013.1, questão 1

Encontre a derivada direcional de f x , y , z = x y + y 2 z no ponto P = 7 , - 2,1 na direção do vetor v = 2,2 , 1 .

  1. 2
  2. - 2
  3. 6
  4. - 6
  5. 0
  6. Nenhuma das demais alternativas
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calcular módulo do vetor v :

v = 2 2 + 2 2 + 1 2

⇒ v = 4 + 4 + 1

⇒ v = 9

⇒ v = 3

Passo 2

Calcular vetor gradiente:

f x , y , z = x y + y 2 z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

⇒ ∇ f x , y , z = y ,   x + 2 y z ,   y 2

Passo 3

Calcular vetor gradiente no ponto P :

∇ f x , y , z = y ,   x + 2 y z ,   y 2

∇ f P = ∇ f 7 , - 2,1

⇒ ∇ f P = - 2 ,   7 + 2 - 2 1 ,   - 2 2

⇒ ∇ f P = - 2 ,   7 - 4 ,   4

⇒ ∇ f P = - 2 ,   3 ,   4

Passo 4

Calcular derivada direcional:

∂ f ∂ v P = ∇ f P ⋅ v v  

⇒ ∂ f ∂ v P = - 2,3 , 4 ⋅ 2,2 , 1 3

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 2,3 , 4 ⋅ 2,2 , 1

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 2 2 + 3 2 + 4 1

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 - 4 + 6 + 4

⇒ ∂ f ∂ v P = 1 3 6

⇒ ∂ f ∂ v P = 2

Alternativa (a).

Resposta

Alternativa (a).

Exercício Resolvido #2

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, exemplo 3.29, p.118

Determine a taxa de variação de f x , y , z = x y z + e 2 x + y no ponto P 0 = - 1,2 , 1 na direção do vetor u = 1,1 , 2 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Calcular módulo do vetor u :

u = 1 2 + 1 2 + 2 2

⇒ u = 1 + 1 + 2

⇒ u = 4

⇒ u = 2

Passo 2

Calcular vetor gradiente:

f x , y , z = x y z + e 2 x + y

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

⇒ ∇ f x , y , z = y z + 2 e 2 x + y ,   x z + e 2 x + y ,   x y

Passo 3

Calcular vetor gradiente no ponto P 0 :

∇ f x , y , z = y z + 2 e 2 x + y ,   x z + e 2 x + y ,   x y

∇ f P 0 = ∇ f - 1,2 , 1

⇒ ∇ f P 0 = 2 1 + 2 e 2 - 1 + 2 ,   - 1 1 + e 2 - 1 + 2 ,   - 1 2

⇒ ∇ f P 0 = 2 + 2 e 0 ,   - 1 + e 0 ,   - 2

⇒ ∇ f P 0 = 4 ,   0 ,   - 2

Passo 4

Calcular derivada direcional:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u  

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = 4,0 , - 2 ⋅ 1,1 , 2 2

∂ f ∂ u P 0 = 1 2 4,0 , - 2 ⋅ 1,1 , 2

∂ f ∂ u P 0 = 1 2 4 1 + 0 1 + - 2 2

∂ f ∂ u P 0 = 1 2 4 + 0 - 2 2

∂ f ∂ u P 0 = 1 2 4 - 2 2

⇒ ∂ f ∂ u P 0 = 2 - 2

Resposta

∂ f ∂ u P 0 = 2 - 2

Exercício Resolvido #3

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, exercício 5 p.120

Sejam

f x , y = x 3 x 2 + y 2 x , y ≠ 0,0 0 x , y = 0,0

E

u = 1,1

  1. Calcule a derivada direcional em u pela definição em 0,0
  2. Calcule a derivada direcional em u pela fórmula do produto escalar em 0,0
  3. Justifique porque os valores encontrados são diferentes.
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Vamos começar calculando como ele pede, a derivada direcional pela definição

∂ f ∂ u P 0 = lim t → 0 ⁡ f P 0 + t u - f P 0 t u

Essa conta SEMPRE dá certo, o problema é a fórmula que as vezes não vale!!

Temos

u = 1,1

u = 1 2 + 1 2 = 2

O limite vai ficar

∂ f ∂ u 0,0 = lim t → 0 ⁡ f 0,0 + t 1,1 - f 0,0 t 2 = lim t → 0 ⁡ f t , t - 0 t 2

Lembrando que t → 0 , ou seja ele não é zero, então

f t , t = t 3 t 2 + t 2 = t 3 2 t 2 = t 2

Voltando para o limite

lim t → 0 ⁡ f t , t - 0 t 2 = lim t → 0 ⁡ t 2 t 2 = lim t → 0 ⁡ 1 2 2 = 1 2 2

Passo 2

b)

Vamos agora calcular pela fórmula, primeiro temos que achar o vetor gradiente

∇ f = f x , f y

Como temos uma definição meio estranha da função temos que calcular essa parada pela definição

f x = lim x → 0 ⁡ f x , 0 - f 0,0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 2 + 0 2 - 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 3 x 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 = 1

f y = lim y → 0 ⁡ f 0 , y - f 0,0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 3 0 2 + y 2 - 0 y - 0 = lim y → 0 ⁡ 0 y = lim y → 0 ⁡ 0 = 0

Passo 3

A derivada direcional vai ser

∂ f ∂ u 0,0 = ∇ f 0,0 ∙ u u

∂ f ∂ u 0,0 = 1,0 ∙ 1,1 2 = 1 2

Passo 4

c)

Repara que as paradas deram diferentes, porque isso aconteceu? Simples, essa função não é diferenciável.

A resposta que vale é a da definição.

Não precisa rodar muito sobre isso porque não é o propósito da questão, mas até daria pra provar que aquele erro muito gigante que calculamos não é 0 .

Resposta

  1. 1 / 2 2
  2. 1 / 2
  3. É diferente porque a função não é diferenciável

Exercício Resolvido #4

Elaboração Própria

Seja uma função f x , y , z diferenciável no ponto x 0 , y 0 , z 0 . Ele possui a seguinte derivada parcial em relação a x

∂ f ∂ x x 0 , y 0 , z 0 = 1

Sabendo que a derivada direcional dessa função na direção u = 1,2 , 3 é

D u = 5

E além disso a derivada direcional desta mesma função na direção v = 3 , - 2,1 é

D v = 4

Determine o valor do vetor gradiente da função f x , y , z no ponto x 0 , y 0 , z 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Ele quer o vetor gradiente dessa função. Mas como vamos acha-lo? Relaxa, vamos começar usando o que ele deu no enunciado, que são as derivadas direcionais na direção do vetor u e na direção do vetor v . Lembra que a derivada direcional leva em conta o vetor gradiente? O caminho é por ai. Primeiro vamos achar o vetor gradiente, já que vamos usar esse rapaz na fórmula da derivada direcional.

∇ f P 0 = f x x 0 , y 0 , z 0 , f y x 0 , y 0 , z 0 , f z x 0 , y 0 , z 0

Já temos uma dessas derivadas, e além disso para facilitar as contas vamos escrever o vetor gradiente assim

∇ f P 0 = 1 , f y , f z

Só para deixar mais bonitinho rs.

Passo 2

Começando pelo vetor u , devemos fazer a fórmula

D u = ∇ f P 0   . u u

Primeiro vamos achar u

u 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2

u = 1 + 4 + 9 = 14

Passo 3

A derivada direcional vai ser

D u = 1 , f y , f z   . 1,2 , 3 14

D u = 1 + 2 f y + 3 f z 14

Esse valor já temos

1 + 2 f y + 3 f z 14 = 5

1 + 2 f y + 3 f z = 5 14

Passo 4

Vamos agora para o vetor v

D v = ∇ f P 0   . v v

Primeiro vamos achar v

v 2 = 3 2 + - 2 2 + 1 2

u = 9 + 4 + 1 = 14

Passo 5

A derivada direcional vai ser

D v = 1 , f y , f z   . 3 , - 2,1 14

D v = 3 - 2 f y + f z 14

Esse valor já temos

3 - 2 f y + f z 14 = 4

3 - 2 f y + f z = 4 14

Passo 6

Vamos encontrar o sistema

1 + 2 f y + 3 f z = 5 14 3 - 2 f y + f z = 4 14

Somando as duas equações vamos encontrar

4 + 4 f z = 9 14

f z = 9 4 14 - 1

Passo 7

Vamos substituir esse valor na segunda equação para acharmos f y

3 - 2 f y + 9 4 14 - 1 = 4 14

2 - 2 f y = 4 14 - 9 4 14

2 f y = 2 - 7 4 14

f y = 1 - 7 8 14

Passo 8

Lembra de como é o vetor gradiente?

∇ f P 0 = 1 , f y , f z

Que vai ficar

∇ f P 0 = 1,1 - 7 8 14 , 9 4 14 - 1

Resposta

∇ f P 0 = 1,1 - 7 8 14 , 9 4 14 - 1

Exercício Resolvido #5

UFF, Cálculo IIB, GMA, 2008.2, Lista 8, exercício 9

A temperatura de uma chapa plana é dada por T x , y = x 2 + y 2 , com x e y em c m e T em ℃ . Calcule de quanto ela varia aproximadamente, se caminharmos 1 c m a partir do ponto 3,4 na direção do vetor que faz um ângulo θ   com o semi-eixo x positivo, se:

  1. θ = 30 °
  2. θ = 210 °
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A taxa de variação de uma função na direção de um vetor é a sua derivada direcional na direção desse vetor!

Então, a questão se resume a calcular a derivada direcional da função T no ponto 3,4 , na direção do vetor de norma 1 c m que faz ângulos 30 ° e 210 ° com o eixo x .

Para isso, só usar a fórmula da derivada direcional:

D u → T 3,4 = ∇ T x , y . u → u →

Em que u → é o tal vetor de norma 1 c m (por que o enunciado diz que andamos 1 c m em cada direção).

Passo 2

a)

Para o vetor que faz angulo 30 ° , teremos:

u → = 1 c m . cos ⁡ 30 , 1 c m . sin ⁡ 30

Ou seja, apenas decompomos seu módulo nas coordenadas x em y