Teoria Completa
Aprendemos a calcular as derivadas parciais em relação a e a , certo? Em outras palavras, sabemos calcular a derivada de uma função de duas variáveis na direção (direção do eixo ) e na direção (direção do eixo ).
Ok, mas se quiséssemos calcular a derivada na direção , por exemplo?
Para isso servem as derivadas direcionais, que permitem calcular a derivada em qualquer direção.
Mas como se calcula?
Simples! A derivada de uma função de várias variáveis na direção do vetor em um ponto é dada por
Que se lê: A derivada direcional da função na direção do vetor no ponto é o produto escalar entre o vetor gradiente dessa função em e o vetor unitário da direção do vetor (esse é o módulo do vetor ).
Observe que para (direção do eixo ):
Exatamente como esperávamos, certo? Esta é a derivada da função na direção do eixo !
Aliás, nesse caso consideramos que é uma função de 2 variáveis, mas a fórmula também vale pra funções de mais variáveis, beleza?
Vamos ver um exemplo! Calculemos a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
Vamos começar calculando o vetor gradiente da :
Assim, no ponto o gradiente é:
Beleza, agora vamos calcular o módulo do vetor :
Agora já podemos aplicar a fórmula:
Substituindo os valores encontrados:
Então essa é a derivada direcional que queríamos :) Viu como é tranquilo?
Maas infelizmente, a vida não é só tranquilidade. Digo isso porque essa fórmula não serve sempre: só podemos usá-la quando a função é diferenciável!
Mas assim, geralmente você não vai ter que ficar testando diferenciabilidade de função não, é só que quando tivermos uma função meio louca, definida por partes por exemplo, vai ser interessante fazer a derivada direcional pela definição.
Pela definição vale sempre, afinal é uma definição :)
Basta fazer:
Aí se por acaso você calcular a derivada direcional pela definição, e também pela fórmula do produto escalar, e os valores forem diferentes, é porque a função não é diferenciável nesse ponto (e o valor certo é o da definição).
Vejamos um exemplo:
Vamos calcular a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .
Usando a regra da cadeia, a derivada parcial em relação a fica:
Substituindo no ponto :
Opa! Zero com expoente negativo não pode! Isso porque
Portanto, a derivada parcial de em relação a tem uma descontinuidade na origem. E na verdade as outras derivadas parciais também vão ter esse problema!
Então pra essa função não podemos aplicar a fórmula do produto escalar pra calcular uma derivada direcional na origem. Por isso temos que apelar pra definição:
Nesse caso temos
O módulo de é:
Portanto nosso limite vai ser:
Temos
Logo,
Então esse é o valor da nossa derivada direcional!
Agora partiu dar uma olhada nos exercícios? :)
Exercício Resolvido #1
Encontre a derivada direcional de no ponto na direção do vetor .
- Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Calcular módulo do vetor :
Passo 2
Calcular vetor gradiente:
Passo 3
Calcular vetor gradiente no ponto :
Passo 4
Calcular derivada direcional:
Alternativa (a).
Resposta
Alternativa (a).
Exercício Resolvido #2
Determine a taxa de variação de no ponto na direção do vetor .
Passo 1
Calcular módulo do vetor :
Passo 2
Calcular vetor gradiente:
Passo 3
Calcular vetor gradiente no ponto :
Passo 4
Calcular derivada direcional:
Resposta
Exercício Resolvido #3
Sejam
E
- Calcule a derivada direcional em pela definição em
- Calcule a derivada direcional em pela fórmula do produto escalar em
- Justifique porque os valores encontrados são diferentes.
Passo 1
a)
Vamos começar calculando como ele pede, a derivada direcional pela definição
Essa conta SEMPRE dá certo, o problema é a fórmula que as vezes não vale!!
Temos
O limite vai ficar
Lembrando que , ou seja ele não é zero, então
Voltando para o limite
Passo 2
b)
Vamos agora calcular pela fórmula, primeiro temos que achar o vetor gradiente
Como temos uma definição meio estranha da função temos que calcular essa parada pela definição
Passo 3
A derivada direcional vai ser
Passo 4
c)
Repara que as paradas deram diferentes, porque isso aconteceu? Simples, essa função não é diferenciável.
A resposta que vale é a da definição.
Não precisa rodar muito sobre isso porque não é o propósito da questão, mas até daria pra provar que aquele erro muito gigante que calculamos não é .
Resposta
- É diferente porque a função não é diferenciável
Exercício Resolvido #4
Seja uma função diferenciável no ponto . Ele possui a seguinte derivada parcial em relação a
Sabendo que a derivada direcional dessa função na direção é
E além disso a derivada direcional desta mesma função na direção é
Determine o valor do vetor gradiente da função no ponto .
Passo 1
Ele quer o vetor gradiente dessa função. Mas como vamos acha-lo? Relaxa, vamos começar usando o que ele deu no enunciado, que são as derivadas direcionais na direção do vetor e na direção do vetor . Lembra que a derivada direcional leva em conta o vetor gradiente? O caminho é por ai. Primeiro vamos achar o vetor gradiente, já que vamos usar esse rapaz na fórmula da derivada direcional.
Já temos uma dessas derivadas, e além disso para facilitar as contas vamos escrever o vetor gradiente assim
Só para deixar mais bonitinho rs.
Passo 2
Começando pelo vetor , devemos fazer a fórmula
Primeiro vamos achar
Passo 3
A derivada direcional vai ser
Esse valor já temos
Passo 4
Vamos agora para o vetor
Primeiro vamos achar
Passo 5
A derivada direcional vai ser
Esse valor já temos
Passo 6
Vamos encontrar o sistema
Somando as duas equações vamos encontrar
Passo 7
Vamos substituir esse valor na segunda equação para acharmos
Passo 8
Lembra de como é o vetor gradiente?
Que vai ficar
Resposta
Exercício Resolvido #5
A temperatura de uma chapa plana é dada por , com e em e em Calcule de quanto ela varia aproximadamente, se caminharmos a partir do ponto na direção do vetor que faz um ângulo com o semi-eixo positivo, se:
Passo 1
A taxa de variação de uma função na direção de um vetor é a sua derivada direcional na direção desse vetor!
Então, a questão se resume a calcular a derivada direcional da função no ponto , na direção do vetor de norma que faz ângulos e com o eixo .
Para isso, só usar a fórmula da derivada direcional:
Em que é o tal vetor de norma (por que o enunciado diz que andamos em cada direção).
Passo 2
a)
Para o vetor que faz angulo , teremos: