Limite por Manipulação Algébrica para Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

A ideia aqui é a gente se deparar com o limite de uma fração aparentemente complicada e dar uma manipulada nela pra conta ficar mais amigável.

E as nossas principais ferramentas pra fazer isso vão ser os produtos notáveis! Isso mesmo, coisa de colégio! Relembrando:

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

a - b a + b = a 2 - b 2

Dou uma ênfase especial nesse último, porque ele é o que você mais vai precisar! Lembra daquele macete dos limites de multiplicar pelo conjugado? Aqui vamos fazer exatamente a mesma coisa!

Por exemplo, vamos calcular o limite:

lim x , y → 2,1 ⁡ x - y - 1 x - y - 1

Substituindo os valores x = 2 e y = 1 caímos numa indeterminação 0 0 . Então temos que dar uma ajeitada nisso.

Podemos ver que o numerador e o denominador se parecem bastante. Além do mais, o denominador é um termo do tipo a - b , com

a = x - y

b = 1

Então vamos usar o produto notável!

a - b a + b = a 2 - b 2

No caso vai ser:

x - y - 1 x - y + 1 = x - y 2 - 1 2 = x - y - 1

Opa, isso é exatamente o nosso numerador!

Então vamos multiplicar pelo conjugado, isto é, multiplicar a fração em cima e em baixo por x - y + 1 :

x - y - 1 x - y - 1 ∙ x - y + 1 x - y + 1

Como vimos, em baixo vai dar:

x - y - 1 x - y + 1 = x - y - 1

Ou seja, a fração vai ficar:

x - y - 1 x - y + 1 x - y - 1 = x - y + 1

Enfim, a gente tinha aquela fração toda e apenas manipulando um pouco sobrou só isso, o coitado do nosso conjugado:

lim x , y → 2,1 ⁡ x - y - 1 x - y - 1 = lim x , y → 2,1 ⁡ x - y + 1

Agora podemos calcular o limite:

lim x , y → 2,1 ⁡ x - y + 1 = 1 + 1 = 2

Vamos ver outro exemplo:

lim x , y → 0,0 ⁡ 4 x 2 - 4 x y + y 2 2 x - y

Vendo uma expressão desse tipo, temos que ter o reflexo de associá-la ao produto notável

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2

Nesse caso, temos

a 2 = 4 x 2

2 a b = 4 x y

b 2 = y 2

Ou seja:

a = 2 x b = y

Então podemos botar nossa fração na forma:

4 x 2 - 4 x y + y 2 2 x - y = 2 x - y 2 2 x - y = 2 x - y

Enfim, o limite fica:

lim x , y → 0,0 ⁡ 2 x - y = 0

Então basicamente é isso: lembrar das regrinhas de fatoração e produtos notáveis pra calcular limites! :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 305 - 17

Encontre os limites reescrevendo primeiro as frações.

a )   lim x , y → 0 ,   0 x ≠ y ⁡ x - y + 2 x - 2 y x - y

b ) lim x , y → 2,2 x + y ≠ 4 ⁡ x + y - 4 x + y - 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

a)

Temos a fração

x - y + 2 x - 2 y x - y

Podemos multiplicar em cima e em baixo pelo conjugado do termo no denominador. No caso, seria x + y . Aí a fração fica:

x - y + 2 x - 2 y x - y ∙ x + y x + y

Desenvolvendo:

x x + x y - y x - y y + 2 x + 2 x y - 2 y x - 2 y x 2 - y 2

=   x x + x y - y x - y y + 2 x - 2 y x - y

Passo 2

Botando x e y   em evidência no numerador:

x x - y + y x - y + 2 x - 2 y x - y

Opa, ótimo! Dá pra botar x - y em evidência pra cortar com o denominador. Aproveitando que 2 x - 2 y = 2 x - y , temos:

x - y x + y + 2 x - y = x + y + 2

Podemos cortar porque ele diz que x ≠ y , ou seja x - y ≠ 0 .

Passo 3

Pronto, agora podemos calcular o limite!

lim x , y → 0 ,   0 x ≠ y ⁡ x - y + 2 x - 2 y x - y = lim x , y → 0 ,   0 x ≠ y ⁡ x + y + 2 = 2

Passo 4

b)

Agora temos a fração

x + y - 4 x + y - 2

O esquema vai ser o mesmo: vamos nos livrar dessa raiz do denominador multiplicando pelo conjugado em cima e em baixo:

x + y - 4 x + y - 2 ∙ x + y + 2 x + y + 2

Passo 5

Antes de sair desenvolvendo esse numerador louco, vale a pena dar uma olhada no denominador:

x + y - 2 x + y + 2 = x + y 2 - 2 2 = x + y - 4

Opa, isso é exatamente a mesma coisa que temos em cima!

Ou seja, nossa fração ficou:

x + y - 4 x + y + 2 x + y - 4 = x + y + 2

Muito mais simples né?

Obs: podemos cortar o x + y - 4 porque o enunciado diz que x + y ≠ 4 , o que é equivalente a x + y - 4 ≠ 0 .

Passo 6

Calculando o limite:

lim x , y → 2,2 x + y ≠ 4 ⁡ x + y - 4 x + y - 2 = lim x , y → 2,2 ⁡ x + y + 2

O que dá:

2 + 2 + 2 = 2 + 2 = 4

Resposta

a) 2

b) 4

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 305 – 19,20

Encontre os limites reescrevendo primeiro as frações.

lim x , y → 2 ,   0 2 x - y ≠ 4 ⁡ 2 x - y - 2 2 x - y - 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos lá, temos a fração

2 x - y - 2 2 x - y - 4

Podemos ver que o numerador e o denominador são bem parecidos, inclusive que em cima temos

2 x - y   e   2

enquanto embaixo temos

2 x - y = 2 x - y 2   e   4 = 2 2

Tá com mó cara que vamos multiplicar pelo conjugado!

Passo 2

Então vamos fazer isso mesmo! No numerador temos 2 termos, na forma a - b , então vamos multiplicar em cima e em baixo por a + b , no caso 2 x - y + 2 :

2 x - y - 2 2 x - y - 4 ∙ 2 x - y + 2 2 x - y + 2

Assim, o numerador fica:

2 x - y 2 - 2 2 = 2 x - y - 4 ,

que é exatamente o denominador da nossa fração original! (Que surpresa!)

Passo 3

Então temos

2 x - y - 4 2 x - y - 4 2 x - y + 2

Sabendo que 2 x - y ≠ 4 ⇔ 2 x - y - 4 ≠ 0 , isso dá:

1 2 x - y + 2

Passo 4

Calculando o limite:

lim x , y → 2 ,   0 2 x - y ≠ 4 ⁡ 2 x - y - 2 2 x - y - 4 = lim x , y → 2 ,   0 2 x - y ≠ 4 ⁡ 1 2 x - y + 2

= 1 4 + 2 = 1 4

Resposta

1 4

Exercício Resolvido #3

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 305 – 20

Encontre os limites reescrevendo primeiro as frações.

lim x , y → 4 ,   3 x ≠ y + 1 ⁡ x - y + 1 x - y - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Agora nossa fração é:

x - y + 1 x - y - 1

Vamos fazer exatamente a mesma coisa:

x - y + 1 x - y - 1 ∙ x + y + 1 x + y + 1

O que dá:

x - y + 1 x - y - 1 x + y + 1 = x - y - 1 x - y - 1 x + y + 1

O enunciado disse que x ≠ y + 1 , ou seja, x - y - 1 ≠ 0 . Então podemos cortar o x - y - 1 e obtemos

1 x + y + 1

Passo 2

Então o limite é:

lim x , y → 4 ,   3 x ≠ y + 1 ⁡ x - y + 1 x - y - 1 = lim x , y → 4 ,   3 x ≠ y + 1 ⁡ 1 x + y + 1

= 1 4 + 4 = 1 4

Resposta

1 4

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