Continuidade de Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

Continuidade

A continuidade pra funções de 2 variáveis não tem nenhuma grande novidade em relação à continuidade nas funções de uma variável. Dizemos que uma função é contínua em um ponto ( x 0 , y 0 ) se o limite for igual ao valor da função naquele ponto:

lim x , y → ( x 0 , y 0 ) ⁡ f ( x , y ) = f ( x 0 , y 0 )

E pra funções de 3 variáveis é a mesma coisa.

Na prática, você vai ter que calcular um limite com uma indeterminação e verificar se o resultado do limite é o valor dado pelo problema.

Por exemplo:

f x , y = x y 2 x 2 + y 2 ,     s e     x , y ≠ 0,0     0 ,     s e     x , y = ( 0,0 )

Temos que calcular:

l i m x , y → 0,0 x y 2 x 2 + y 2

Usando o teorema do sanduíche, provamos que:

l i m x , y → 0,0 x y 2 x 2 + y 2 = 0

Agora, temos que comparar com o valor da função no ponto ( 0,0 ) . Esse valor é dado quando x , y = ( 0,0 ) :

l i m x , y → 0,0 f x , y = f 0,0 = 0

Pronto! Então essa função é contínua no ponto x , y = 0,0 .

Note que, em todos os outros pontos, como se trata de um quociente de funções contínuas (funções polinomiais), a função é contínua nesses pontos.

Domínio e continuidade

Basicamente o que precisamos saber é que todas as funções mais clássicas, isto é, polinomiais, trigonométricas, exponencial, logaritmo... são contínuas nos seus domínios!

Além disso, quando fazemos operações elementares (somamos, subtraímos, multiplicamos ou dividimos, sem divisão por zero, claro) essas funções, também obtemos funções contínuas! E quando fazemos composições dessas funções também! Não é ótimo?

Então sempre que uma questão pedir onde tal função é contínua, temos que justificar que ela é contínua em todo o seu domínio, e depois achar o tal domínio. Beleza?

Então vamos ver uns exercícios!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2000, p.86

Discuta a continuidade da função abaixo:

f x , y = x y x + y ,     x , y ≠ ( 0,0 )     0 ,     x , y = ( 0,0 )

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Passo 1

Essa função é contínua em qualquer ponto do R 2 exceto ( 0,0 ) , pois é um quociente de funções contínuas.

Temos que verificar agora se o limite é igual ao valor da função em ( 0,0 ) .

Ou seja:

l i m x , y → 0,0 f x , y = 0

Passo 2

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x + y = 0 ⋅ ( 0 ) 0 + 0 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 3

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Observe que

x y x + y = x x + y ⋅ y

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 4

Colocar a expressão entre extremos:

Se x > 0 :

0 ≤ x ≤ x + y

Dividindo por x + y :

⇒ 0 ≤ x x + y ≤ 1

Se x < 0 :

- x + y ≤ x ≤ 0

Dividindo por x + y :

⇒ - 1 ≤ x x + y ≤ 0

Juntando as duas desigualdades:

- 1 ≤ x x + y ≤ 1

Passo 5

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

- 1 ≤ x x + y ≤ 1

Temos que multiplicar por y :

Se y > 0 :

- 1 ⋅ y ≤ x x + y ⋅ y ≤ 1 ⋅ ( y )

Se y < 0 , temos exatamente a mesma coisa, pois os extremos são iguais!

⇒ - y ≤ x y x + y ≤ y

Passo 6

Tirar os limites:

l i m x , y → 0,0 ( - y ) ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) y

Passo 7

Calcular os limites dos extremos:

l i m x , y → 0,0 ( - y ) = 0

l i m x , y → ( 0,0 ) y = 0

Passo 8

Substituir na desigualdade:

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y ≤ 0

Logo:

l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y = 0

Portanto l i m x , y → 0,0 f x , y = f 0,0 = 0

Então, a função é contínua em ( 0,0 ) .

Resposta

Função é contínua em todo o R 2 .

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo – Volume 2, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2009, p. 306

Defina f 0 ,   0 de maneira a estender

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2

a uma função contínua na origem.

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Passo 1

Podemos verificar que, substituindo x = 0 e y = 0 na função, temos uma divisão por zero. Portanto, f não é continua na origem.

Basicamente, o que ele quer é que a gente encontre o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

Assim, definindo

f 0 ,   0 = lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

a função passa a ser contínua na origem. Show? Então mão na massa!

Passo 2

Temos no denominador um termo que aparece bastante, que é x 2 + y 2 . Então vamos tentar fazer isso aqui e ver no que dá:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

No numerador temos x 2 - y 2 , então vamos subtrair y 2 na inequação:

- y 2 ≤ x 2 - y 2 ≤ x 2

Agora, dividimos tudo por x 2 + y 2 (não precisa inverter os sinais porque x 2 + y 2 ≥ 0 ):

- y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 x 2 + y 2

Passo 3

Temos que tentar limitar isso, e parecemos estar no bom caminho! Podemos mostrar tranquilamente que o termo da direita é limitado. Como já vimos:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

Dividindo tudo por x 2 + y 2 :

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Ótimo! Então, voltando pra nossa inequação:

- y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

⇒ - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 4

Agora vamos ver esse termo da esquerda. Vamos fazer algo bem parecido:

0 ≤ y 2 ≤ x 2 + y 2

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Multiplicando por - 1 (tem que trocar os sinais):

0 ≥ - y 2 x 2 + y 2 ≥ - 1

Logo:

- 1 ≤ - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

⇒ - 1 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Ótimo, agora quase acabou!

Passo 5

Lembrando que

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2

Temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x y = 0

E como acabamos de ver, a expressão x 2 - y 2 x 2 + y 2 é limitada.

Então, pelo teorema do anulamento:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Passo 6

Conclusão: vimos que o limite de f na origem é 0 . Portanto, definindo f 0 ,   0 = 0 , a função passa a ser contínua na origem.

Resposta

f 0 ,   0 = 0

Exercício Resolvido #3

UERJ, Lista 3 Prof. Hamilton, exercício 9

A função

g x , y = 3 x + y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2   se x , y ≠ 4,2 12 se x , y = 4,2

é contínua?

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Passo 1

Não esquente a cabeça! Esse problema é mais fácil do que parece... Vamos focar no que interessa: Como verificar se a função é contínua?

A parte bizarra dela (que tem a fração gigante) não pode conter o ponto ( 4,2 ) , certo? Então, se ela for contínua, o limite quando essa parte tenter a ( 4,2 ) deve ser 12, que é o valor que ela realmente tem para esse ponto (dado na parte de baixo da chave).

Passo 2

Agora que sabemos o que temos que fazer, vamos encontrar o limite da parte de cima da chave quando ela tende a ( 4,2 )

lim x , y → 4,2 ⁡ 3 x + y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

Podemos separar essse limite em dois, para facilitar:

lim x , y → 4,2 ⁡ 3 x + lim x , y → 4,2 ⁡ y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

Como a expressão da direita tem uma indeterminação do tipo 0 0 , é aí que mora o problema. Vamos resolvê-lo!

Passo 3

Vamos trablahar em cima da nossa parte “problemática” ?

lim x , y → 4,2 ⁡ y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

Observe bem, podemos reescrever da seguinte forma:

y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2   = y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2   ⋅ x 2 - 8 y