Continuidade de uma função de duas variáveis

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Teoria

E aí?! Você está no Responde Aí! E vamos lá entender tudo sobre continuidade de uma função de duas variáveis.

Vamos começar lembrando das funções de uma variável, onde a gente sabia que uma função de uma variável é contínua quando conseguimos desenhar sem tirar o lápis do papel. Então como seria para uma função com mais variáveis?

A continuidade de uma função de duas variáveis é basicamente a mesma coisa: Dizemos que uma função é contínua em um ponto se o limite for igual ao valor da função naquele ponto:

E isso vale para qualquer função de várias variáveis! Na prática, você vai ter que calcular um limite com uma indeterminação e verificar se o resultado do limite é o valor dado pelo problema.

Domínio e continuidade

Basicamente o que precisamos saber é que todas as funções mais clássicas, isto é, polinomiais, trigonométricas, exponencial, logaritmo... são contínuas nos seus domínios!

Então, que tal ver um super vídeo que explica tudo bem direitinho?

Agora que tal fazer uns exercícios? Da uma olhadinha aqui em baixo 👇.

Domínio e continuidade

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Discuta a continuidade da função abaixo:

f x , y = x y x + y ,     x , y ≠ ( 0,0 )     0 ,     x , y = ( 0,0 )

Passo 1

Essa função é contínua em qualquer ponto do R 2 , porém devemos verificar agora se o limite é igual ao valor da função em ( 0,0 ) .

Ou seja:

l i m x , y → 0,0 f x , y = 0

Passo 2

Tentar substituir valores:

lim x , y → ( 0,0 ) ⁡ x y x + y = 0 ⋅ ( 0 ) 0 + 0 = 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 3

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Observe que

x y x + y = x x + y ⋅ y

Então suspeitamos que o limite existe e vamos aplicar o Teorema do Sanduíche.

Passo 4

Colocar a expressão entre extremos:

Se x > 0 :

0 ≤ x ≤ x + y

Dividindo por x + y :

⇒ 0 ≤ x x + y ≤ 1

Se x < 0 :

- x + y ≤ x ≤ 0

Dividindo por x + y :

⇒ - 1 ≤ x x + y ≤ 0

Juntando as duas desigualdades:

- 1 ≤ x x + y ≤ 1

Passo 5

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

- 1 ≤ x x + y ≤ 1

Temos que multiplicar por y :

Se y > 0 :

- 1 ⋅ y ≤ x x + y ⋅ y ≤ 1 ⋅ ( y )

Se y < 0 , temos exatamente a mesma coisa, pois os extremos são iguais!

⇒ - y ≤ x y x + y ≤ y

Passo 6

Tirar os limites:

l i m x , y → 0,0 ( - y ) ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) y

Passo 7

Calcular os limites dos extremos:

l i m x , y → 0,0 ( - y ) = 0

l i m x , y → ( 0,0 ) y = 0

Passo 8

Substituir na desigualdade:

0 ≤ l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y ≤ 0

Logo:

l i m x , y → ( 0,0 ) x y x + y = 0

Portanto l i m x , y → 0,0 f x , y = f 0,0 = 0

Então, a função é contínua em ( 0,0 ) .

Resposta

Função é contínua em todo o R 2 .

Exercício Resolvido #2

Defina f 0 ,   0 de maneira a estender

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2

a uma função contínua na origem.

Passo 1

Podemos verificar que, substituindo x = 0 e y = 0 na função, temos uma divisão por zero. Portanto, f não é continua na origem.

Basicamente, o que ele quer é que a gente encontre o limite

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

Assim, definindo

f 0,0 = lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y

a função passa a ser contínua na origem. Show? Então mão na massa!

Passo 2

Agora temos que resolver esse limite, mas substituindo 0,0 na função, cairemos em uma indeterminação. Deste modo, vamos usar mexer um pouco nessa equação para usar o teorema do anulamento! Vamos lá!

Repara que no denominador um termo que aparece bastante, que é x 2 + y 2 . Então vamos tentar fazer isso aqui e ver no que dá:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

No numerador temos x 2 - y 2 , então vamos subtrair y 2 na inequação:

- y 2 ≤ x 2 - y 2 ≤ x 2

Agora, dividimos tudo por x 2 + y 2 (não precisa inverter os sinais porque x 2 + y 2 ≥ 0 ):

- y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 x 2 + y 2

Pronto! Agora vamos analisar os extremos dessa sequência!

Passo 3

Temos que tentar limitar isso, e parecemos estar no bom caminho! Podemos mostrar tranquilamente que o termo da direita é limitado. Como já vimos:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2

Dividindo tudo por x 2 + y 2 :

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Ótimo! Então, voltando pra nossa inequação:

- y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

⇒ - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 4

Agora vamos ver esse termo da esquerda. Vamos fazer algo bem parecido:

0 ≤ y 2 ≤ x 2 + y 2

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1

Multiplicando por - 1 (tem que trocar os sinais):

0 ≥ - y 2 x 2 + y 2 ≥ - 1

Logo:

- 1 ≤ - y 2 x 2 + y 2 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

⇒ - 1 ≤ x 2 - y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Ótimo, agora quase acabou!

Passo 5

Lembrando que

f x , y = x y x 2 - y 2 x 2 + y 2

Temos

lim x , y → 0,0 ⁡ x y = 0

E como acabamos de ver, a expressão x 2 - y 2 x 2 + y 2 é limitada.

Então, pelo teorema do anulamento:

lim x , y → 0,0 ⁡ f x , y = 0

Passo 6

Conclusão: vimos que o limite de f na origem é 0 . Portanto, definindo f 0 ,   0 = 0 , a função passa a ser contínua na origem.

Resposta

f 0 ,   0 = 0

Exercício Resolvido #3

A função

g x , y = 3 x + y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2   se x , y ≠ 4,2 12 se x , y = 4,2

é contínua?

Passo 1

Não esquente a cabeça! Esse problema é mais fácil do que parece... Vamos focar no que interessa: Como verificar se a função é contínua?

A parte bizarra dela (que tem a fração gigante) não pode conter o ponto ( 4,2 ) , certo? Então, se ela for contínua, o limite quando essa parte tenter a ( 4,2 ) deve ser 12, que é o valor que ela realmente tem para esse ponto (dado na parte de baixo da chave).

Passo 2

Agora que sabemos o que temos que fazer, vamos encontrar o limite da parte de cima da chave quando ela tende a ( 4,2 )

lim x , y → 4,2 ⁡ 3 x + y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

Podemos separar essse limite em dois, para facilitar:

lim x , y → 4,2 ⁡ 3 x + lim x , y → 4,2 ⁡ y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

Como a expressão da direita tem uma indeterminação do tipo 0 0 , é aí que mora o problema. Vamos resolvê-lo!

Passo 3

Vamos trablahar em cima da nossa parte “problemática” ?

lim x , y → 4,2 ⁡ y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

Observe bem, podemos reescrever da seguinte forma:

y - 2 2 ⋅ x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2   = y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2   ⋅ x 2 - 8 y

Ok, agora temos

lim x , y → 4,2 ⁡ y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2   ⋅ x 2 - 8 y ⁡

Passo 4

A hora do Teorema do Sanduíche chegou!

Agora vamos pegar o termo x - 4 2 + y - 2 2 do denominador da fração e trabalhar nele, até que vire a propria fração.

A missão é encontrar relações dentro da propria fração em forma de inequações, sendo que um dos extremos da inequação precisa ser o 0, e o termo do meio, “ensanduichado”, deve ser o que vai virar a fração da indeterminação. Veja, umas das possíveis relações é:

y - 2 2 ≤ x - 4 2 + y - 2 2

Passo 5

Como o lado direito da inequação é o que vai ser ensanduichado, e ele é o denominador da fração, vamos elevar tudo a -1 e colocar o 0 na inequação:

1 y - 2 2 ≥ 1 x - 4 2 + y - 2 2 ≥ 0

Passo 6

Perfeito! Está cada vez mais parecido com a fração inicial! Agora, vamos multiplicar tudo por y - 2 2 ....

y - 2 2 y - 2 2 ≥ y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2 ≥ 0

1 ≥ y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2 ≥ 0

Passo 7

Pronto!! Agora já está quase identico ao que conseguimos no passo 3! Só falta multiplicar por x 2 - 8 y !

1 ≥ y - 2 2 x - 4 2 + y - 2 2 ≥ 0

multiplicando fica....

x 2 - 8 y ≥ y - 2 2 x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2 ≥ 0

Passo 8

Agora que temos a fração que nos causava problema ensanduichada, podemos fazer o limite dos dois lados do sanduiche:

Em

x 2 - 8 y ≥ y - 2 2 x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2 ≥ 0

lim x , y → 4,2 ⁡ x 2 - 8 y = 0

lim x , y → 4,2 ⁡ 0 = 0

Ora, se o limite do lado direito é 0, e o do lado esquerdo também, o limite da fração só pode ser 0!! Vamos voltar ao que tínhamos no passo 1?

Passo 9

Queremos, então, saber se

lim x , y → 4,2 ⁡ 3 x + lim x , y → 4,2 ⁡ y - 2 2 . x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2  

existe, e, se existe, qual o seu valor.

Como já resolvemos e sabemos que

lim x , y → 4,2 ⁡ y - 2 2 . x 2 - 8 y x - 4 2 + y - 2 2   = 0

Temos que verificar que o limite

lim x , y → 4,2 ⁡ 3 x = 3   .   4 = 12

Como 12 + 0 = 12 , aí está nosso limite! Ele vale 12

Resposta

A função é contínua, pois seu limite quando x , y → 4,2 = 12 , que é o valor que ela assume nesse ponto.

Exercício Resolvido #4

Determine h x , y = g f x , y e o conjunto no qual h é contínua.

g t = t + ln ⁡ t

f x , y = 1 - x y 1 + x 2 y 2

Passo 1

Primeiro, vamos achar h x , y ! O problema nos forneceu esse dado

h x , y = g f x , y

Ele também quem disse quem é g t . Então agora é só a gente substituir f x , y , onde tem a variável t .

h x , y = f ( x , y ) + ln ⁡ ( f ( x , y )

Como o problema também nos disse quem é f x , y , vamos seguir com a substituição

h x , y = 1 - x y 1 + x 2 y 2 + ln ⁡ 1 - x y 1 + x 2 y 2

Passo 2

A função h é o resultado de operações elementares (soma, multiplicação, logaritmo) entre funções contínuas, portanto, o conjunto no qual ela é contínua é o seu próprio domínio.

Pra achar esse domínio, temos que ver quais são as restrições da função.

Temos o denominador 1 + x 2 y 2 aparecendo 2 vezes, mas repare que ele nunca pode valer zero:

x 2 y 2 ≥ 0

⇒ 1 + x 2 y 2 ≥ 1

Então não precisamos nos preocupar com ele.

Passo 3

Agora vamos para restrição da função logarítmica! Lembra que ela não corta, nunca o eixo o y ? Assim, a única restrição da h é o logaritmo: o termo dentro dele tem que ser estritamente positivo:

1 - x y 1 + x 2 y 2 > 0

Como vimos, o denominador é sempre positivo, então o sinal dessa fração é o sinal do numerador. Logo, devemos ter:

1 - x y > 0

⇒ x y < 1

Portanto, h é contínua nos pontos cujo produto das coordenadas é estritamente menor que 1:

x , y ∈ R 2 x y < 1

Resposta

h x , y = 1 - x y 1 + x 2 y 2 + ln ⁡ 1 - x y 1 + x 2 y 2

é contínua no conjunto

x , y ∈ R 2 x y < 1

Exercício Resolvido #5

Determine os pontos em que a função abaixo é contínua:

f x , y , z = sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 ,     x , y , z ≠ ( 0,0 , 0 )     0 ,     x , y , z = ( 0,0 , 0 )

Passo 1

Essa função é contínua em qualquer ponto do R 3   exceto ( 0 ,   0 ,   0 ) , pois é uma combinação de funções contínuas.

Temos que verificar agora se o limite é igual ao valor da função em ( 0 ,   0 ,   0 ) .

Ou seja:

l i m x , y , z → 0,0 , 0 f x , y , z = f 0,0 , 0 = 0

Observação: essa é uma função de três variáveis, mas o procedimento é o mesmo que usamos para funções de duas variáveis.

Passo 2

Tentar substituir valores:

lim x , y , z → 0,0 , 0 ⁡ sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = sen 2 ⁡ 0 0 2 + 0 2 + 0 2 ( 0 ) 4 ( 0 ) 2 0 2 + 0 2 + 0 2 2 = sen 2 ⁡ 0 0 ⋅ 0 0

Chegamos a uma indeterminação 0 0 .

Passo 3

Ver se é possível aplicar o Teorema do Sanduíche:

Neste caso, temos algo análogo ao que já vimos em funções de duas variáveis. A grande jogada está em perceber o seguinte:

y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = x 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ y 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ y 2

Entendeu? Agora temos dois termos limitados entre 0 e 1 , além do quadrado da função seno, que também está limitado nesse intervalo. Logo, o produto dessas funções limitadas também está limitada entre 0 e 1 .

Passo 4

Colocar a expressão entre extremos:

0 ≤ x 2 ≤ x 2 + y 2 + z 2

⇒ 0 ≤ x 2 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

De modo análogo:

0 ≤ y 2 x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

E, além disso, o seno de qualquer coisa ao quadrado só pode estar entre 0 e 1 :

0 ≤ sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

Então o produto está entre 0 e 1 :

0 ≤ x 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ y 2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 ≤ 1

⇒ 0 ≤ sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 ≤ 1

Passo 5

Multiplicar o que falta para que o termo central seja a função cujo limite queremos calcular:

0 ≤ sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 ≤ 1

Temos que multiplicar por y 2 :

Como y 2 > 0 , não precisamos nos preocupar com o sinal:

0 ⋅ y 2 ≤ sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 2 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 ⋅ y 2 ≤ 1 ⋅ ( y 2 )

⇒ 0 ≤ sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 ≤ y 2

Passo 6

Tirar os limites:

l i m x , y , z → 0,0 , 0 0 ≤ l i m x , y , z → 0,0 , 0 sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 ≤ l i m x , y , z → 0,0 , 0 y 2

Passo 7

Calcular os limites dos extremos:

l i m x , y , z → 0,0 , 0 0 = 0

l i m x , y , z → 0,0 , 0 y 2 = 0

Passo 8

Substituir na desigualdade:

0 ≤ l i m x , y , z → 0,0 , 0 sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 ≤ 0

Logo:

l i m x , y , z → 0,0 , 0 sen 2 ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 y 4 x 2 x 2 + y 2 + z 2 2 = 0

Passo 9

Portanto:

l i m x , y , z → 0,0 , 0 f x , y , z = 0

Logo, essa função é contínua em ( 0,0 , 0 ) .

Logo, a função é contínua em todo o R 3 !

Resposta

A função é contínua em todo o R 3 .

Exercício Resolvido #6

Determine L para a função abaixo, caso exista, para que a função seja contínua em ( 0,0 ) .

f x , y = x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2 ,   s e   x , y ≠ 0,0 L ,     s e   x , y = 0,0  

Passo 1

Para a função ser contínua na origem, é preciso que o limite quando ela tenda a origem exista e seja bem definido. Esse limite é exatamente o L que precisamos encontrar!

Então, o nosso problema é resolver:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2

E ver se ele existe!

Passo 2

Em limite de duas variáveis, é sempre bom começarmos pensando em fazer alguma substituição que, milagrosamente, resolverá a questão pra gente (mano, questão de limite não é pra ser difícil, ainda que algumas fujam à exceção).

Aí, teremos basicamente duas opções: A primeira, o limite existe, e é um número muito bem definido, que não depende das variáveis (normalmente é 0 ...). A segunda, encontraremos mais de um limite, fazendo diferentes substituições, e então, provaremos que ele não existe.

Nesse caso vamos observar que:

  1. O denominador tem dois termos somados, sendo que um deles é uma subtração x - y , o que nos sugere usar a substituição y = 0 , pois qualquer coisa subtraída de 0 não será anulada!
  2. O numerador e o denominador tem termos de mesmo grau, o que sugere usar a substituição y = x ou x = y , porque manteremos o grau, e poderemos cortar as variáveis em cima e embaixo pra chegar num valor bem definido.

Vamos fazer essas substituições e ver no que dá. Se encontrarmos o mesmo valor para L nas duas, ainda teremos que fazer outras substituições até provar que ele não existe, ou usar o teorema do sanduíche e provar que ele de fato existe.

Passo 3

Fazendo a substituição y = 0 teremos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 0 2 x 2 0 2 + x - 0 2 = 0 x 2 = 0

Beleza! Para essa substituição, nosso limite deu 0 . Mas isso não prova que L = 0 ...

Passo 4

Agora, fazendo a outra substituição, teremos:

lim x , y → 0,0 ⁡ x 2 y 2 x 2 y 2 + x - y 2

Para x = y

lim x , y → 0,0 ⁡ y 2 y 2 y 2 y 2 + y - y 2