Limite Fundamental Trigonométrico para Funções de Várias Variáveis

Teoria Completa

Vou direto ao ponto: lembra desse cara aqui, lá do cálculo 1?

lim X → 0 ⁡ sen ⁡ X X = 1

Basicamente vamos ver agora que dá pra aplicar exatamente a mesma coisa com funções de mais de uma variável!

Esse é um caso especial da mudança de variável que já vimos. O limite fundamental do seno é bom de usar quando você identificar que uma expressão dentro de um seno se repete no denominador.

Por exemplo:

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

Fazemos uma mudança de variável x 2 + y 2 = u (ou qualquer outra letra que você quiser). Assim,

x , y → 0 ,   0   ⇒ u → 0

E o limite fica:

lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Mas nem sempre vai ficar tão evidente assim: às vezes você vai precisar “cavar” esse limite fundamental, multiplicando ou dividindo por alguma coisa. Saca:

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x 7 x y ∙ e y x + 3

Dentro do seno, temos x 2 + 3 x . Reparamos que no limite aparece o termo x + 3 e que:

x 2 + 3 x = x x + 3

Então vamos multiplicar em cima e em baixo por x pra aparecer esse x 2 + 3 x no denominador! O limite fica: lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x 7 x y ∙ x e y x 2 + 3 x

Cortando o x que apareceu com o x do 7 x y e ajeitando um pouco:

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x x 2 + 3 x ∙ e y 7 y

Fazendo a mudança de variável u = x 2 + 3 x , temos que

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x x 2 + 3 x = lim u → 0 ⁡ sen ⁡ u u = 1

Portanto,

lim x , y → 0 ,   0 ⁡ sen ⁡ x 2 + 3 x x 2 + 3 x ∙ e y 7 y = lim x , y → 0 ,   0 ⁡ e y 7 y

Repare que o limite não depende mais de x , então caímos num limite simples de uma variável. Temos

lim y → 0 ⁡ e y = e 0 = 1

Mas pro denominador o sinal de y importa. Como y pode ser negativo ou positivo, temos que separar o limite em 2 casos: y → 0 + e y → 0 - :

lim y → 0 + ⁡ e y 7 y = + ∞

lim y → 0 - ⁡ e y 7 y = - ∞

E é mais ou menos isso que as questões geralmente pedem!

Só mais uma coisa antes de partirmos pros exercícios: tem outro limite notável que é o do cosseno. Ele não é exatamente um limite fundamental mas é bom saber também:

lim X → 0 ⁡ 1 - cos ⁡ X X = 0

Esse é mais raro cair, mas se aparecer a ideia é a mesma que pro limite fundamental do seno! :)

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFF, Cálculo IIB, Lista 1, exercício 12

Calcule l , o limite, quando existir. Caso contrário, justifique.

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x + y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A primeira coisa a fazer é substituir os valores de x e y

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x + y = sen ⁡ 0 - 0 0 + 0 = sen ⁡ 0 0 = 0 0

Caímos numa indeterminação, mas repare antes da indeterminação temos algo parecido com o limite fundamental trigonométrico.

lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x x = 1

Podemos transformar, fazendo um algebrismo, esse limite. Vamos multiplicar por x - y

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x + y = lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x + y . x - y x - y = lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 . x - y

Para considerarmos o limite fundamental a parte dentro do seno deve ser a parte embaixo do seno.

Passo 2

Com esse algebrismo foi isso que fizemos então usando as propriedades de limites

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 . x - y = lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 . lim x , y → 0,0 ⁡ x - y

Como

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 = 1

lim x , y → 0,0 ⁡ x - y = 0

Então

lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 - y 2 x 2 - y 2 . lim x , y → 0,0 ⁡ x - y = 1.0 = 0

Resposta

0

Exercício Resolvido #2

Howard Anton, Irl Bivens, Stephen Davis, Cálculo – Volume II, 8ª ed. Porto Alegre: ARTMED EDITORA S.A, 2005, p. 944 - 10

Calcule o limite fazendo a substituição z = x 2 + y 2 e observe que z → 0 + se, e somente se, x , y → ( 0 ,   0 ) .

lim x , y → 0,0 ⁡ 1 - cos ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Fazendo a substituição, o limite fica:

lim z → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ z z

Passo 2

Esse foi um caso que já vimos! Substituindo z = 0 , obtemos uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então aplicamos l’Hôpital

lim z → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ z z = lim z → 0 + ⁡ sen ⁡ z 1 = sen ⁡ 0 = 0

Resposta

0

Exercício Resolvido #3

USP, P1 2012 A, questão 3a

Calcule ou mostre que o limite l i m x , y → 0,0 x 3 x 4 + y 2 sen ⁡ ( x 2 + y 2 ) não existe.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Mano, a dica que te dou é: apareceu sen ⁡ t então a melhor coisa que você faz é partir pro teorema do sanduíche ou para o limite fundamental sen ⁡ t t = 1 . Nesse caso, provavelmente vamos usar os dois. XD

Quando não tem seno nem cosseno, é uma ótima ideia ficar tentando caminhos pra ver se encontramos dois limites diferentes, antes de sair aplicando o teorema do sanduiche. ;)

Então partiu! O argumento do seno é x 2 + y 2 , certo? Então vamos multiplicar em cima e embaixo por essa expressão, que não vai alterar em nada nosso limite:

l i m x , y → 0,0 x 3 x 4 + y 2 sen ⁡ ( x 2 + y 2 ) = l i m x , y → 0,0 x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2  

Como o produto dos limites é o limite do produto, então, como o limite de sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 1 , precisamos apenas olhar agora para o limite de x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 . Se ele não existir, o limite todo não existe.

Passo 2

Tirando essa frescura de " l i m " ⁡ que polui pra cacete o visual, vamos trabalhar na expressão x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 . Vou voltar a escrever o limite quando terminarmos de mexer nela ;)

Fazendo o produto do numerador, temos:

x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 = x 5 + x 3 y 2 x 4 + y 2

Separando os termos do numerador, fica:

x 5 + x 3 y 2 x 4 + y 2 = x 5 x 4 + y 2 + x 3 y 2 x 4 + y 2

Agora, o que vamos pensar é o seguinte: Temos duas frações. Cada uma delas tem um numerador com uma variável que tem o grau igual ou maior a alguma das variáveis do denominador (no caso, a segunda fração tem o y 2 , que tem o mesmo grau do y do denominador). Então, vamos usar o teorema do sanduíche, fazendo essa variável ficar com o mesmo grau da correspondente do denominador, e tacar no meio do sanduíche!

Passo 3

Para a primeira fração não tem jeito. Ainda bem que esse x 5 está com um grau que nos ajuda nas contas rsrs. Colocando x . x 4 , ao invés de x 5 , poderemos colocar o x 4 no sanduíche:

x x 4 x 4 + y 2

Então, teremos que:

0 < x 4 < x 4 + y 2

Dividindo tudo por x 4 + y 2 , temos:

0 < x 4 x 4 + y 2 < 1

Sacou o mecanismo? Agora provamos que essa fração está limitada! Como x , y → 0,0 , e temos um x multiplicando x 4 x 4 + y 2 , então vemos que esse limite da 0 !

Passo 4

Fazendo o mesmo para a segunda fração, teremos:

x 3 y 2 x 4 + y 2

Colocando o y 2 no meio do sanduíche, que é a variável que tem o mesmo grau de uma das do numerador, teremos:

0 < y 2 < y 2 + x 4

Dividindo tudo por y 2 + x 4 , teremos:

0 < y 2 y 2 + x 4 < 1

E temos mais uma função limitada, multiplicada por um termo que vai pra 0 !

Passo 5

Show! Agora vimos que (colocando o limite de volta nas coisas):

l i m x , y → 0,0 x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 =

l i m x , y → 0,0 x 3 . x 2 + y 2 x 4 + y 2 . lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 =

l i m x , y → 0,0 x x 4 x 4 + y 2 . l i m x , y → 0,0 x 3 y 2 x 4 + y 2 . lim x , y → 0,0 ⁡ sen ⁡ x 2 + y 2 x 2 + y 2 =

0 . 1 = 0

Ou seja, o limite da esquerda vai pra 0 , enquanto o da direita, que é o fundamental, vai pra 1 !

Resposta

l i m x , y → 0,0 x 3 x 4 + y 2 sen ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 0

Exercício Resolvido #4

USP, P1 2013 A, questão 4a

Calcule, caso exista, o limite abaixo. Se existir, explique por quê.

l i m x , y → 0,0 sen ⁡ ( 3 x 2 + 4 y 2 ) ln ⁡ ( x 2 + y 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Bom, podemos, para simplificar, separar esse limite em dois, pois o limite do produto é o produto dos limites:

l i m x , y → 0,0 sen ⁡ ( 3 x 2 + 4 y 2 ) ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = l i m x , y → 0,0 sen ⁡ ( 3 x 2 + 4 y 2 )   . l i m x , y → 0,0 ⁡ ln ⁡ ( x 2 + y 2 )

Legal, agora fica mais fácil de visualizar o que faremos :)

Pegando a primeira equação, vemos que l i m x , y → 0,0 sen ⁡ ( 3 x 2 + 4 y 2 ) = 0 pois sin ⁡ 0 = 0 .

Pegando a segunda equação, vemos que l i m x , y → 0,0 ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = - ∞ , pois ln ⁡ 0 → - ∞ .

Passo 2

Como você deve ter percebido, a causa da indeterminação do limite é multiplicarmos 0 por - ∞ .

Agora, a nossa estratágia será usar dois limites “muito conhecidos” (por favor não me mate).

Sabemos que:

l i m t → 0 sin ⁡ t t = 1

Então, para o nosso limite, podemos dizer que:

l i m x , y → 0,0 sen ⁡ 3 x 2 + 4 y 2 3 x 2 + 4 y 2 = 1  

Ok, esse a gente lembrava, mas desculpa se está parecendo tudo “carteado”.

Passo 3

Agora, vamos mexer no limite que envolve a função logaritmo. Se temos:

l i m t → 0   t ln ⁡ t

Podemos fazer que

l i m t → 0   t ln ⁡ t = l i m t → 0 ln ⁡ t 1 t

Então, quando t → 0 + (porque não podemos fazer ln ⁡ t para t menor que 0 ) ,teremos:

ln ⁡ 0 + 1 0 + = i n d e t e r m i n a ç ã o

Mas usando L’Hospital, podemos dizer que l i m t → 0 ln ⁡ t 1 t =   l i m t → 0 ln ' ⁡ t 1 t '

Que vale:

l i m t → 0 1 t - 1 t 2

l i m t → 0   1 t   .   - t 2 1 = l i m t → 0 - t = 0

Assim, podemos afirmar que l i m t → 0   t ln ⁡ t = 0

Por consequência, pegamos a função do nosso problema e falamos que:

l i m x , y → 0,0   x 2 + y 2 . ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 0

Passo 4

Agora, depois de termos mexido nas nossas funções, teremos que:

l i m x , y → 0,0 sen ⁡ 3 x 2 + 4 y 2 3 x 2 + 4 y 2 = 1  

l i m x , y → 0,0   x 2 + y 2 . ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) = 0

E, portanto,

l i m x , y → 0,0 sen ⁡ 3 x 2 + 4 y 2 3 x 2 + 4 y 2   . x 2 + y 2 . ln ⁡ x 2 + y 2 = 0  

Então, para fazer tudo “voltar a ser o que era” ,temos que multiplicar por 3 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 . Que ficaria assim:

l i m x , y → 0,0 sen ⁡ 3 x 2 + 4 y 2 3 x 2 + 4 y 2   . x 2 + y 2 . ln ⁡ x 2 + y 2   .   3 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 = ?  

Veja, essa expressão é equivalente a inicial, l i m x , y → 0,0 sen ⁡ ( 3 x 2 + 4 y 2 ) ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) , pois estamos multiplicando por uma fração e pelo seu inverso, já que essa é a fração que “conserta” a nossa função, fazendo o limite dela ser bem definido.

Resta saber se o limite dessa fração é definido! Se ele for, o nosso limite existirá, pelo teorema do anulamento! Que diz:

Se temos um limite que existe multiplicado por outro que vai pra 0 , então o limite desse produto também vai pra 0 .

Passo 5

Vamos usar o teorema do sanduíche pra fração 3 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 . Veja que, como os termos estão todos ao quadrado, temos que

0 ≤ 3 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2

E vemos, também, que temos ( x 2 + y 2 ) em cima e em baixo. Portanto, existe alguma outra fração que é limitada e que é maior que essa. Por exemplo:

0 ≤ 3 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 < 4 x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 4

Isso prova que a fração que faz o limite do sen ⁡ ( 3 x 2 + 4 y 2 ) e do ln ⁡ ( x 2 + y 2 ) serem melhor definidos é limitada!

Passo 6

Agora, podemos afirmar que:

l i m x , y → 0,0 sen ⁡ 3 x 2 + 4 y 2 3 x 2 + 4 y 2   . x 2 + y 2 . ln ⁡ x 2 + y 2   .   3 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 = 0

Porque

l i m x , y → 0,0 sen ⁡ 3 x 2 + 4 y 2 3 x 2 + 4 y 2 = 1

e

l i m x , y → 0,0 x 2 + y 2 . ln ⁡ x 2 + y 2   .   3 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 = 0

Porque 3 x 2 + 4 y 2 x 2 + y 2 é limitada e l i m x , y → 0,0 x 2 + y 2 . ln ⁡ x 2 + y 2 = 0 (teorema do anulamento)

Resposta

O limite existe e é igual a 0 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas