Reta Tangente à Interseção de Superfícies

Teoria Completa

Como calcular?

O raciocínio que a gente tem que ter aqui é o seguinte: a curva de interseção pertence, simultaneamente, às duas superfícies. Então, seu vetor tangente, ou seja, o vetor na direção da curva de interseção, tem que ser, ao mesmo tempo, perpendicular aos vetores normais às duas superfícies. E esses vetores normais às superfícies são os vetores gradientes.

Então tudo o que temos que fazer é:

  1. Calcular o vetor gradiente da superfície S 1 : ∇ F 1 P 0 = n 1 →
  2. Calcular o vetor gradiente da superfície S 2 : ∇ F 2 P 0 = n 2 →
  3. Fazer o produto vetorial entre esses dois vetores para encontrar um vetor na direção da reta: v → = n 1 → × n 2 →
  4. Substituir na equação da reta: r t = P 0 + v → t

Sacou?

Então me diz a equação da reta tangente a curva de interseção entre a superfície S 1 dada por x 2 + y 2 - 2 = 0 e a superfície S 2 dada por x + z - 4 = 0 no ponto P 0 = ( 1,1 , 3 ) .

Para calcular o vetor gradiente da superfície S 1 e S 2 , jogamos tudo para o lado esquerdo e chamamos de F 1 ( x , y , z ) e F 2 ( x , y , z ) , respectivamente. Assim, temos:

F 1 ( x , y , z ) = x 2 + y 2

⇒   ∇ F 1 = 2 x , 2 y , 0

⇒   ∇ F 1 1,1 , 3 = n 1 → = 2 1 , 2 1 , 0 = ( 2,2 , 0 )

E

F 2 x , y , z = x + z

⇒   ∇ F 2 = 1,0 , 1

⇒   ∇ F 2 1,1 , 3 = n 2 → = ( 1,0 , 1 )

Encontramos o vetor na direção da reta fazendo o produto vetorial entre n 1 → e n → 2 :

v → = n 1 → × n 2 →

v → = i j k 2 2 0 1 0 1 = 2   i + 0 j + 0   k - 2   k - 0   i - 2   j = ( 2 , - 2 , - 2 )

Agora é só substituir na equação da reta

r t = P 0 + v → t

r t = 1,1 , 3 + 2 , - 2 , - 2 t

r t = ( 1 + 2 t ,   1 - 2 t ,   3 - 2 t )

Expandir

Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Sejam S 1 e S 2 as superfícies definidas por x 2 - y 2 + z 2 = 1 e x y + x z = 2 , respectivamente.

  1. Determine a equação do plano tangente a S 1 em 1,1 , 1 .
  2. Determine equações da reta tangente à curva de interseção de S 1 e S 2 em 1,1 , 1
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Passo 1

a )

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1,1 , 1

Passo 2

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 3

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x 2 - y 2 + z 2 = 1

⇒ x 2 - y 2 + z 2 - 1 = 0

Passo 4

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x 2 - y 2 + z 2 - 1

Passo 5

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = 2 x , - 2 y , 2 z

Passo 6

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 1,1 , 1

⇒ ∇ F P 0 = 2.1 , - 2.1,2.1

∇ F P 0 = 2 , - 2,2

Passo 7

O vetor normal será n → 1 = ∇ F P 0 :

n → 1 = 2 , - 2,2

Vamos dividir por 2 para os números ficarem menores

n → 1 = 1 , - 1,1

Passo 8

Equação do plano:

x , y , z ⋅ n → = P 0 ⋅   n →

⇒ x , y , z ⋅ 1 , - 1,1 = 1,1 , 1 ⋅ 1 , - 1,1

⇒ 1 x - 1 y + 1 z = 1 1 + 1 - 1 + 1 1

⇒ x - y + z = 1

Passo 9

b )

Para achar a reta tangente a curva de interseção, devemos achar um vetor v → tangente a essa curva.

Repara que o vetor normal à S 1 é perpendicular a esse vetor v → e o vetor normal à S 2 também é perpendicular a esse vetor v → . Isso acontece porque o vetor v → pertence ao plano tangente tanto à S 1 quanto à S 2 , já que ele é tangente à curva formada pela interseção dos dois.

Então o vetor v → vai ser o produto vetorial entre os vetores normais ao paraboloide e ao elipsoide

Passo 10

Já temos um dos vetores normais, falta acharmos o outro vetor normal, dessa vez a curva S 2

O ponto P 0 é conhecido e dado pelo problema:

P 0 = 1,1 , 1

Passo 11

Calculando gradiente:

Caso seja necessário, substituir f ( x , y ) por z na equação da superfície:

Não é necessário! Próximo passo!

Passo 12

Jogar tudo para o lado esquerdo na equação da superfície e deixar zero no lado direito:

x y + x z = 2

⇒ x y + x z - 2 = 0

Passo 13

Chamar de F x , y , z a expressão deixada no lado esquerdo da equação:

F x , y , z = x y + x z - 2

Passo 14

Calcular gradiente de F :

∇ F x , y , z = y + z , x , x

Passo 15

Calcular gradiente de F no ponto P 0 :

∇ F P 0 = ∇ F 1,1 , 1

⇒ ∇ F P 0 = 1 + 1,1 , 1

∇ F P 0 = 2,1 , 1

Passo 16

O vetor normal será n → 2 = ∇ F P 0 :

n → 2 = 2,1 , 1

Passo 17

Vamos agora achar o vetor v →

v → = n → 1 × n → 2

v → = - 2,1 , 3

Para que fizemos isso tudo? Porque precisávamos achar o vetor tangente a curva de interseção de S 1 com S 2 .

A reta tangente vai ser

r t = P 0 + t v →

r t = 1,1 , 1 + t - 2,1 , 3

r t = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

Resposta

  1. x - y + z = 1
  2. r t = 1 - 2 t , 1 + t , 1 + 3 t

Exercício Resolvido #2

UFF, Cálculo 2B, Professor Sérgio Almaraz, P1 2011.2, questão 4.

Considere a função

F x , y , z = x 2 + y 2 - z 2

  1. Esboce a superfície de nível S dada por F x , y , z = - 4
  2. Determine a equação do plano tangente a S no ponto P = 1,2 , 3 , na forma a x + b y + c z + d = 0
  3. Considere a função g x , y derivável em 1,2 e satisfazendo g 1,2 = 3 , ∂ g ∂ x 1,2 = 1 e ∂ g ∂ y 1,2 = 0 . Determine a equação paramétrica (na forma a 1 t + b 1 , a 2 t + b 2 , a 3 t + b 3