Reta Tangente no R²

Teoria Completa

Fala, galera!

Se liga nesse exemplo:

Encontre a equação da reta tangente a curva de nível da função f ( x , y )   =   x ² y ³ no ponto C = ( 1 , 2 ) .

Como faz para encontrar a reta tangente a uma curva de nível?

Ih complicou? Não tem ideia? Calma, vem comigo!

Calculando a reta tangente no R 2

Temos que equação paramétrica de uma reta pode ser:

r t = P 0 + v → t

A gente precisa de P o , um ponto que pertence a reta e v → , um vetor na direção da reta, no nosso caso, um vetor tangente a nossa curva.

O exemplo já deu um ponto para gente. Como ele é o ponto de tangência, ele tem que pertencer a nossa reta, logo:

P 0 = ( 1,2 )

Agora precisamos descobrir v → . Mas como?

Lembra que uma das propriedades do vetor gradiente era ser normal à curva de nível?

Vamos calcular ele para o nosso exemplo:

∇ f x , y = ∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y =   2 x y 3 ,   3 x ² y ²

Ele deu um ponto específico, então a gente substitui:

∇ f 1,2 = ( 2.1 . 2 ³ ,   3.1 ² . 2 ² )   =   ( 16,12 )

Você pode estar pensando: Mas por que estamos calculando um vetor normal a curva se a gente quer o vetor tangente, hein?

Bem, dá para achar o vetor tangente a uma curva tendo o vetor normal. Sabe que esses dois vetores são perpendiculares né? É só a gente lembrar que o produto escalar entre dois vetores normais é nulo.

∇ f 1,2 ⋅ v → = 0

Se a gente chamar v → = ( a , b ) :

16,12 ⋅ a , b = 0

16 a + 12 b = 0

a = - 3 4 b

Portanto:

v → = - 3 4 b ,   b

Arbitrando um valor para b , por exemplo b = 1 temos:

v → = - 3 4 ,   1

Agora só falta montar a equação da reta tangente. Ela vai ser:

r t = 1,2 + - 3 4 , 1 t

t   ∈ R

Prontinho! Bora pros exercícios?

Expandir

Exercício Resolvido #1

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2014.2, questão 1, item f

Considere a função f x , y = x 2 - 2 x y + y 3 - y .

f) Considere a curva de nível C : x 2 - 2 x y + y 3 - y = 3 . Exiba a equação paramétrica da reta tangente γ a C no ponto 1 , - 1 .    

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

f) Vamos lá, estão nos pedindo pra calcular a reta tangente à C no ponto 1 , - 1 , sendo C uma curva de nível de f x , y , certo? Então, encontraremos uma equação paramétrica para essa tangente dizendo que ela é perpendicular ao vetor gradiente de f x , y nesse mesmo ponto!

Show, vamos ver então qual é o vetor gradiente em 1 , - 1 ?

∇ f x , y = 2 x - 2 y ,   - 2 x + 3 y 2 - 1

∇ f 1 , - 1 = 2.1 - 2 . - 1 ,   - 2.1 + 3 - 1 2 - 1

∇ f 1 , - 1 = 4,0

E, como esse vetor é perpendicular à superfície no ponto 1 , - 1 , com certeza é perpendicular à curva C , que está na superfície!

Passo 2

Agora vem uma manha de vetores, que lembro que usei quando fiz o vestibular da PUC: para girar um vetor em 90 ° , inverte as coordenadas do vetor, pega o resultado e muda o sinal da primeira.

Tá, e pra que falei isso? Porque se o vetor 4,0 é perpendicular à curva, então o vetor perpendicular a ele será tangente à curva! É tipo pensar que o inimigo do seu inimigo é seu amigo XD

Então, girando o vetor 4,0 em 90 ° , temos o vetor - 0,4 . Coloquei esse menos aí na frente do 0 pra você lembrar de trocar o sinal da primeira coordenada depois de ter invertido o vetor! Isso é bem importante! E aí conseguimos um vetor que é tangente à curva, e pode ser o vetor diretor da nossa reta tangente!

Tomando o vetor 0,4 como vetor diretor, tudo o que temos que fazer é multiplicá-lo por um parâmetro t e transladá-lo para o ponto de tangência:

r t = 0,4 . t + 1 , - 1

r t = 1,4 t - 1

Resposta

  1. Reta tangente: r t = 1,4 t - 1

Exercício Resolvido #2

PUC-RJ, Cálculo 2, P2 2015.1, questão 1, item f

Seja f x , y = x 3 - y 2 . Considere as curvas de nível

C 0 = x , y ∈ R 2   |   f x , y = 0

e

C - 1 = x , y ∈ R 2   |   f x , y = - 1

f) Encontre apenas um ponto x 0 , y 0 de C - 1 onde a reta tangente à C - 1 neste ponto é paralela à reta 2 x - y = 1 . Dica: Levem em conta que x = 2 é solução da equação - 9 16 x 4 + x 3 + 1 = 0 e t = 6 é solução de 2 3 t 2 3 - 1 4 t 2 = - 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

f) Primeiro, é bom parametrizarmos a reta 2 x - y = 1 , para visualizar mais facilmente seu vetor diretor :) Isolando o y , teremos:

y = 2 x - 1

Usando o x como parâmetro, teremos a reta r t = t , 2 t - 1

Como o vetor diretor da reta é aquele formado pelos coeficientes do parâmetro em cada coordenada, então o vetor diretor dessa reta é o 1,2 , show?

Sabemos que o vetor gradiente é normal à curva de nível, logo, é normal ao vetor tangente à essa curva. Assim, o que querermos é encontrar o ponto no qual o vetor gradiente é paralelo ao vetor normal de 1,2 , então esse será o ponto no qual o vetor tangente é paralelo ao vetor 1,2 !

Para encontrar o vetor normal do vetor 1,2 , basta fazer o produto interno entre eles e igualar a zero.

n → = ( a , b )

Fica assim:

1,2 a , b = 0

a + 2 b = 0

Ajeitando:

a = - 2 b

Então temos:

n → = - 2 b , b

Escolhendo um valor qualquer para b temos:

b = - 1

n → = 2 , - 1

Chegamos então que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor 2 , - 1

Passo 2

Ok, agora que sabemos que o vetor gradiente deve ser paralelo ao vetor 2 , - 1 , podemos escrever que:

∇ f x , y = λ 2 , - 1

Ou seja, um é múltiplo do outro. Calculando o vetor gradiente da nossa função:

∇ f x 0 , y 0 = 3 x 0 2 , - 2 y 0

3 x 0 2 , - 2 y 0 = λ 2 , - 1

Igualando cada coordenada, temos:

3 x 0 2 = 2 λ

- 2 y 0 = - λ

Da segunda, temos que λ = 2 y 0 . Colocando isso na primeira, teremos:

3 x 0 2 = 2.2 y 0

y 0 = 3 4 x 0 2

Agora, podemos colocar essa relação na equação da curva de nível, e teremos:

x 0 3 - 3 4 x 0 2 2 = - 1

x 0 3 - 9 16 x 0 2 = - 1

E aí você me pergunta, qual é a solução dessa equação?! E eu digo: ainda bem que foi dada no enunciado! Falando sério, zoaram essa questão... nada nem um pouco intuitivo o.O

Mas vamos lá, o enunciado diz que podemos usar que x 0 = 2 é uma solução dessa equação, então a gente acredita. Substituindo-se x 0 = 2 na equação y 0 = 3 4 x 0 2 , teremos:

y 0 = 3 4 2 2 = 3

E, portanto, y 0 = 3 e o ponto pedido é 2,3 !

Ufa! Demorou mas acabou!

Resposta

f) O ponto é 2,3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas