Derivadas - Matriz Jacobiana

Teoria Completa

Antes, quando falávamos da derivada de uma função f , estavámos falando de uma outra função, que chamávamos de f ' . Agora, como temos funções vetoriais de várias variáveis, a derivada da nossa função F vai ser uma matriz, que chamamos de Matriz Jacobiana.

Essa matriz nada mais é do que uma matriz onde na mesma linha teremos as derivadas parciais da mesma função em relação a cada uma das variáveis e na mesma coluna teremos as derivadas parciais em relação a mesma variável, de cada uma das diferentes funções que compõe nossa função vetorial.

Olha como é fácil:

Vamos determinar, a derivada, ou a Jacobiana da função:

F x , y , z = x 2 + e y , x + y sen ⁡ z

As funções componentes são

f 1 x , y , z = x 2 + e y e

f 2 x , y , z = x + y sen ⁡ z

Então a jacobiana vai ser uma matriz com todas as derivadas possíveis de f 1 e f 2 em função de x , y e z . Ela vai ficar

J F = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z ∂ f 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y ∂ f 2 ∂ z

F ' ( x , y , z ) = J F = 2 x e y 0 1 sen ⁡ z y cos ⁡ z

Tranquilão, né?

E se quisermos saber o valor dessa derivada num ponto específico, por exemplo 1,0 , π 2 , é só substituir esse ponto na matriz jacobiana. Assim:

F ' 1,0 , π 2 = J F 1,0 , π 2 = 2 1 0 1 1 0

Pronto, é só isso!

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Exercício Resolvido #1

Elaboração Própria

Determine a matriz jacobiana da função abaixo

f t = sen ⁡ t 2 , e 2 t + e - 2 t , cos ⁡ t sen ⁡ 2 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar identificando que tipo de função é essa.

Temos um parâmetro certo? E ele leva em quantas coordenadas? 3 né?

Beleza, então a função vai ser assim

f : R → R 3

Vamos agora ver quais são as funções componentes

f 1 = sen ⁡ t 2

f 2 = e 2 t + e - 2 t

f 3 = cos ⁡ t sen ⁡ 2 t

Como fica a matriz jacobiana?

J f = ∂ f 1 ∂ t ∂ f 2 ∂ t ∂ f 3 ∂ t

Passo 2

Vamos calcular as derivadas agora, usando as propriedades de derivada

∂ f 1 ∂ t = cos ⁡ t 2 . 2 t = 2 t cos ⁡ t 2

∂ f 2 ∂ t = 2 e 2 t - 2 e - 2 t

∂ f 3 ∂ t = - sen ⁡ t sen ⁡ 2 t + cos ⁡ t cos ⁡ 2 t . 2 = - sen ⁡ t sen ⁡ 2 t + 2 cos ⁡ t cos ⁡ 2 t

Como vai ficar a matriz?

J f = 2 t cos ⁡ t 2 2 e 2 t - 2 e - 2 t - sen ⁡ t sen ⁡ 2 t + 2 cos ⁡ t cos ⁡ 2 t

Resposta

J f = 2 t cos ⁡ t 2 2 e 2 t - 2 e - 2 t - sen ⁡ t sen ⁡ 2 t + 2 cos ⁡ t cos ⁡ 2 t

Exercício Resolvido #2

Elaboração Própria

Determine a matriz jacobiana da função abaixo

F x , y , z = x 2 + x y z + y cos ⁡ z

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar identificando que tipo de função é essa.

Temos 3 parâmetro certo? Sim, nesse caso x , y e z são parâmetros. Isso porque eles estão no F .

E ele leva em quantas coordenadas? 1 só né?

Beleza, então a função vai ser assim

F : R 3 → R

Vamos agora ver quais são as funções componentes

f 1 = x 2 + x y z + y cos ⁡ z

Como fica a matriz jacobiana?

J f = ∂ f 1 ∂ x ∂ f 1 ∂ y ∂ f 1 ∂ z

Nesse caso o jacobiano vai ser igual ao vetor gradiente, conseguiu ver como é parecido?

Passo 2

Vamos calcular as derivadas agora, usando as propriedades de derivada

∂ f 1 ∂ x = 2 x + y z

∂ f 1 ∂ y = x z + cos ⁡ z

∂ f 1 ∂ z = x y - y sen ⁡ z

Como vai ficar a matriz?

J F = 2 x + y z x z + cos ⁡ z x y - y sen ⁡ z

Resposta

J F = 2 x + y z x z + cos ⁡ z x y - y sen ⁡ z

Exercício Resolvido #3

Elaboração Própria

Determine a matriz jacobiana da função abaixo

F u , v = u v + v 2 u 3 , sen ⁡ u v , u + v

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos começar identificando que tipo de função é essa.

Temos 2 parâmetros certo?

E ele leva em quantas coordenadas? 3 né?

Beleza, então a função vai ser assim

f : R 2 → R 3

Vamos agora ver quais são as funções componentes

f 1 = u v + v 2 u 3

f 2 = sen ⁡ u v

f 3 = u + v

Como fica a matriz jacobiana?

J F = ∂ f 1 ∂ u ∂ f 1 ∂ v ∂ f 2 ∂ u ∂ f 2 ∂ v ∂ f 3 ∂ u ∂ f 3 ∂ v

Passo 2

Vamos calcular as derivadas agora, usando as propriedades de derivada

∂ f 1 ∂ u = v + 3 v 2 u 2

∂ f 2 ∂ u = v cos ⁡ u v

∂ f 3 ∂ u = 1

∂ f 1 ∂ v = u + 2 v u 3

∂ f 2 ∂ v = u cos ⁡ u v

∂ f 3 ∂ v = 1

Como vai ficar a matriz?

J F = v + 3 v 2 u 2 u + 2 v u 3 v cos ⁡ u v u cos ⁡ u v 1 1

Resposta

J F = v + 3 v 2 u 2 u + 2 v u 3 v cos ⁡ u v u cos ⁡ u v 1 1

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