Campos e Operadores Vetoriais

Teoria Completa

Campos Vetoriais

Hoje será um dia que vai marcar sua vida! Eu tenho que te contar um segredo: tudo que você estudou até hoje estava relacionado a funções escalares. Oi? Função escalar é tipo f x , y = x 2 + x y , para cada valor de ( x , y ) , temos uma resposta em número, tipo, sei lá, f 2,1 = 2 2 + 2 ∙ 1 = 6

Hoje, nós vamos dar um valor ( x , y ) e recuperar um vetor! UAU!

Confuso? Sei que é meio abstrato, então vamos ver uns exemplos aqui!

Exemplos de campos vetoriais

1- Vamos começar com um bem simples:

F → x , y = x   i → + y   j →

Vamos conferir alguns valores, por exemplo:

F → 1,1 = 1 i → + 1 j → = 1,1

F → - 4,2 = - 4 i → + 2 j → = - 4,2

F → 13 , e 3 = 13 i → + e 3 j → = 13 , e 3

E por aí vai. Cada ponto ( x , y ) terá um vetor ( x , y ) correspondente. Se fizermos uma quantidade boa de pontos, vamos ter algo assim:

2- Agora um pouquinho mais complicado:

F → x , y = - y x 2 + y 2   i → + x x 2 + y 2   j →

Vamos ver um ponto específico de novo

F → 3,4 = - 4 3 2 + 4 2 i → + 3 3 2 + 4 2 j → = - 4 5 , 3 5

De novo, substituindo vários pontos vamos ter o gráfico abaixo:

Bem diferente do primeiro campo lá em cima.

Mas não para por aí! Podemos criar qualquer tipo de campo. Nos exemplos acima a gente vê uma estrutura que se repete: todo campo é da forma

F → ( x , y ) = F 1 i ^ + F 2 j ^

com F 1 e F 2 funções escalares de x e y , ou até mesmo constantes. Podemos ter:

F → x , y = 1 x , 3 x 2

F → x , y = e y + 3 x ,   4 x y 4

F → x , y = ( 3 π , 12 )

Todos campos vetoriais diferentes.

Introdução aos Operadores

Agora que nós temos uma ideia do que são campos vetoriais, precisamos introduzir outros conceitos pra que possamos entender algumas de suas propriedades.

Na verdade, nesse tópico, só precisamos de um operador para obtermos tudo que queremos do campo. Ele é representado pela letra grega , o nome do símbolo é nabla, mas o operador se chama “del”.

Operador del

Então gente está na hora de conhecermos esse tal de del

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

Ele parece um vetor, mas não é não. Na verdade, ele é um operador, isso quer dizer que ele realiza alguma tarefa, mas não tem um significado propriamente dito.

Rotacional e Divergente

Então como eu falei lá em cima, o del só realiza tarefas. A primeira tarefa que a gente já viu ele fazendo é nos dar o vetor gradiente. Para isso, bastava aplica-lo numa função escalar f x , y , z

∇ f x , y , z = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Recentemente, aprendemos o que é um campo vetorial. Agora é hora de ver as tarefas que o del pode fazer nesses campos. Para ilustrar vamos considerar o seguinte campos

F → x , y , z = ( x + y , z + y , cos ⁡ z )

A primeira tarefa que podemos fazer é um produto escalar, dessa forma aqui

∇ ⋅ F → = ∂ x + y ∂ x + ∂ z + y ∂ y + ∂ cos ⁡ z ∂ z = 2 - sen ⁡ z

Esse cara, ∇ ⋅ F → , é denominado divergente do campo F → , nós o representamos por d i v   F → .

Se fizemos um produto escalar, agora é normal pensar em fazer o produto vetorial. Vamos lá

∇ × F → = i j k ∂ x ∂ y ∂ z x + y z + y cos ⁡ z   = ( - 1,0 , - 1 )

Esse carinha, ∇ × F → , é denominado rotacional do campo F → e nós o representamos por r o t   F → .

Fica bem esperto com a diferença entre eles. O divergente é sempre um número, porque foi obtido de um produto escalar. Já o rotacional, que foi obtido de um produto vetorial, é sempre um vetor.

Então para ficar bem claro para você, se F → = ( F 1 , F 2 , F 3 )

  • Divergente:
  • d i v   F → = ∇ ⋅ F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y + ∂ F 3 ∂ z

  • Rotacional:

r o t   F → = ∇ × F → = i j k ∂ x ∂ y ∂ z F 1 F 2 F 3  

Agora vou te dar uma definição. Se o campo tiver rotacional nulo, ou seja, ∇ × F → = 0 então ele é dito irrotacional. Se, por outro lado, o divergente for nulo, ou seja, ∇ ⋅ F → = 0 , então ele é dito solenoidal.

Como eu sou teu amigo, vou te contar um segredo: e se o campo não tiver 3 componentes, ou seja, e se F → = ( F 1 , F 2 ) ? Então a gente simplifica bastante as coisas e usa o seguinte

d i v   F → = ∂ F 1 ∂ x + ∂ F 2 ∂ y

r o t   F → = ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y k ^

Destrói os exercícios!

Expandir

Exercício Resolvido #1

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 474-32.

Desenhe o campo radial

F = x   i + y   j

Juntamente com suas componentes verticais e horizontais em um conjunto representativo de pontos da circunferência x 2 + y 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O exercício pede um conjunto representativo na cicunferência x 2 + y 2 = 1 , então acho que podemos escolher os pontos sobre o eixo:

( 1,0 ) ,   ( 0,1 ) ,   ( - 1,0 ) ,   ( 0 , - 1 )

e os pontos “médios”, onde x e y são iguais em módulo:

2 2 , 2 2 ,   - 2 2 , 2 2 ,   - 2 2 , - 2 2 ,   2 2 , - 2 2

Por enquanto, vamos ter:

Passo 2

Agora, em cada um desses pontos, vamos traçar as componentes horizontais, dadas por F 1 , e verticais, dadas por F 2 . Nesse caso temos F 1 = x e F 2 = y , o que nos dá:

F → ( 1,0 ) = ( 1,0 ) F → ( 0,1 ) = ( 0,1 ) F → ( - 1,0 ) = ( - 1,0 ) F → ( 0 , - 1 ) = ( 0 , - 1 ) F → 2 2 , 2 2 = 2 2 , 2 2 F → - 2 2 , 2 2 = - 2 2 , 2 2 F → - 2 2 , - 2 2 = - 2 2 , - 2 2 F → 2 2 , - 2 2 = 2 2 , - 2 2  

Então vamos desenhar cada uma das componentes:

Agora é só somar as componentes e traçar o vetor final!

Passo 3

Finalmente, vamos ter os vetores definitivos, em vermelho; e as componentes, em amarelo:

Pronto, tudo feito!

Resposta

Exercício Resolvido #2

George B. Thomas, Cálculo – volume 2, 11ª edição, São Paulo: Pearson Education do Brasil ltda., 2009, pp. 474-32.

Desenhe o campo radial

F = - y x 2 + y 2   i + x x 2 + y 2   j

Juntamente com suas componentes verticais e horizontais em um conjunto representativo de pontos da circunferência x 2 + y 2 = 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

O exercício pede um conjunto representativo na cicunferência x 2 + y 2 = 4 , então acho que podemos escolher os pontos sobre o eixo:

2,0 ,   0,2 ,   - 2,0 ,   ( 0 , - 2 )

E os pontos “médios”, onde x e y são iguais em módulo:

2 , 2 , - 2 , 2 - 2 , - 2 , 2 , - 2

Por enquanto, vamos ter:

Passo 2

Agora, em cada um desses pontos, vamos traçar as componentes horizontais, dadas por F 1 , e verticais, dadas por F 2 .

Nesse caso temos

F 1 = - y x 2 + y 2   e   F 2 = x x 2 + y 2