Caso Vetorial no R²

Teoria Completa

Introdução

Antes de tudo, vamos explicar a motivação de definir esse tipo de integral. Lembra quando você aprendeu a determinar o trabalho de uma força? Calculamos da seguinte forma W = F . d , sendo F a componente da força na direção do deslocamento retilíneo d . Tudo muito legal, muito bonito.

Agora digamos que F não seja constante em todos os pontos, que seja dada por uma função F ( x , y ) .

Primeiro, é importante entendermos essa função F x , y , como ela é? Onde ela vive? Não será no globo repórter, rs.

Se olharmos para F x , y como uma força, ela vai ter duas componentes, por exemplo

F x , y = 2 x , 3 y

Quando tivermos uma função desse tipo, onde ela tem componentes, vamos chamar de campo vetorial, isso é bem básico e é tudo que precisamos saber. =D

Agora que entendemos bem a ideia da força, vamos olhar para o trabalho. Se ele andar por uma curva muito louca? Como achamos o trabalho? Aquela fórmula não vai funcionar.

Aí a coisa ficou séria né? Como faremos para calcular esse trabalho?

Vamos supor uma curva parametrizada por σ → =   ( x t , y ( t ) ) , que dividiremos em subarcos. Bom, quando esses subarcos são pequenos, a direção do deslocamento é aproximadamente o vetor tangente à curva, certo? O vetor unitário tangente à curva é dado por:

σ → ' ( t ) σ → ' t

O vetor deslocamento é dado, então, pelo comprimento desse subarco ∆ s multiplicado pelo vetor unitário tangente à curva, o que nos dá:

σ → ' ( t ) σ → ' t ∆ s

Então, o trabalho realizado por F nesse subarco será dado por:

F x t ,   y t . σ → ' ( t ) σ → ' t ∆ s

Somando o trabalho em cada um desses subarcos, temos que o trabalho sobre a curva toda será dado por:

∑ i = 1 n F x t i ,   y t i . σ → ' ( t i ) | σ → ' ( t i ) | ∆ s

Certo? Se tomarmos o limite dessa expressão quando n tende ao infinito, teremos a seguinte integral:

W = ∫ C   F x t ,   y t . σ → ' t σ → ' t d s

Na real, essa não é a fórmula final que você vai usar. Tem uma mais simples, vamos ver como é na prática?

Definição

Para substituirmos esse d s que está aí na fórmula, vou me aproveitar de uns conceitos de física aqui e lembrar que o módulo da velocidade pode ser dado por:

v = d s d t

E então:

d s = v d t

Mas a velocidade pode ser interpretada como o vetor tangente a curva, e então, no final:

d s = σ → ' t d t

Assim, aquela fórmula que tinhamos lá em cima vai ficar:

W = ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' ( t ) σ → ' t σ → ' t d t

W = ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' t   d t

Perceba que escrevemos o campo vetorial F em função do parâmetro t . Veja também que temos o produto escalar entre dois vetores, o que nos dará um número.

Essa é a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de curva parametrizada por σ → t .

A integral de linha não se limita apenas para o cálculo do trabalho de uma força.

Podemos usar a integral de linha para o cálculo do escoamento de um fluido. As contas são exatamente as mesmas, só o nome que muda, então não se preocupe, ok?

Se ele pedir a circulação, não desespera, a circulação nada mais é que o escoamento de um fluido em uma curva fechada. A conta é a mesma de antes.

Notação

A integral de linha em um campo vetorial pode ser escrita dessa forma:

∫ C   F → . d r →

Ou também assim:

∫ C   F 1 d x + F 2 d y

Onde F → = ( F 1 ,   F 2 ) . Essa representação que separa as componentes do vetor F → também é muito usada, mas no final dá tudo no mesmo, não se preocupe.

Para curvas fechadas, isto é, curvas que tem ponto final igual ao ponto inicial, temos também a notação:

∮ C F ∙ d r   o u   ∮ C F 1 d x + F 2 d y

Com essa bolinha no meio. Também não faz diferença prática nenhuma, é só uma forma de indicar bem explícitamente que a curva C é fechada.

Orientação

Uma coisa que você tem que ficar bem atento quando for fazer uma integral de linha vetorial é que, na hora de parametrizar a curva, vamos ver que ela tem uma “direção”.

Por exemplo, a princípio a gente podia achar que as curvas:

C 1 : σ → = t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 2

C 2 : σ → = - t , 0 ,   - 2 ≤ t ≤ 0

São iguais, já que as duas são retas que ligam os pontos ( 0,0 ) e ( 2,0 ) .

Mas é muito importante saber identificar a diferença, já que C 1 tem ponto inicial ( 0,0 ) e ponto final ( 2,0 ) , enquanto C 2 é ao contrário, tem início em ( 2,0 ) e final em ( 0,0 ) .

A essa “direção” que a curva tem chamamos de orientação da curva.

Ou seja, uma mesma reta ou curva qualquer pode ter dois sentidos diferentes, de forma que:

∫ C 1 F ∙ d r = - ∫ C 2 F ∙ d r

Por esse motivo, eu gosto muito da notação C 2 = C 1 - , com esse sinalzinho negativo em cima, pra denotar que um é negativo da outra.

Para curvas fechadas, cujo ponto final e inicial são iguais, dizemos que quando a curva é percorrida no sentido anti-horário, ela tem orientação positiva, enquanto no sentido horário tem orientação negativa.

Vamos só fazer um exemplo pra você ver como é que fica o passo-a-passo.

Exemplo

Determine o trabalho feito pelo campo de força F x , y = 2 x , 3 y ao longo de uma curva parametrizada por σ → t = ( 2 t ,   t 2 ) , com 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1: Vamos montar a integral

W = ∫ C   F x , y . d r = ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' t d t

Pelo próprio enunciado, já temos que a = 0 e b = 1 .

A parametrização da curva nos dá que x = 2 t e y = t 2 , pelo próprio enunciado.

Passo 2: Calcular σ → ' t

Derivando a parametrização, temos:

σ → ' t = d 2 t d t ,   d t 2 d t = ( 2 ,   2 t )

Passo 3: Substituir σ → ' t na integral e escrevê-la em função do parâmetro t

Lembre-se de que a função vetorial F x , y = ( 2 x , 3 y ) deve ser reescrita obedecendo as definições da parametrização da curva: x = 2 t e y = t 2 ,

∫ 0 1 2 2 t ,   3 ( t 2 ) . ( 2 ,   2 t ) d t =

= ∫ 0 1 4 t ,   3 t 2 . ( 2 ,   2 t ) d t =

Peraí, você se lembra de como fazer produto escalar? É bem simples, basta multiplicar o 1ª termo do primeiro vetor com o 1º termo do segundo e o 2º termo do primeiro vetor com o 2º termo do segundo e somar esses valores, dessa forma:

= ∫ 0 1 8 t + 6 t 3 d t =

Passo 4: Calcular a integral

= 8 t 2 2 + 6 t 4 4 0 1 =

= 4 + 3 2 =

11 2

Pronto, isso aí, nada demais, né? Vamos fazer uns exercícios pra ver se você pegou mesmo?

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo Vetorial - Lista 1 Thomé – 8

Calcule a integral de linha ∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y , onde C é o triângulo com vértices nos pontos ( 0,0 ) , ( 1,0 ) e ( 1,2 ) .

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Passo 1

A nossa função vai ser

x y d x + x 2 y 3 d y ⇒ F x , y = x y , x 2 y 3

Temos 3 segmentos de reta, então vamos fazer

∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y = ∫ C 1   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 2   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 3   x y d x + x 2 y 3 d y

Onde C 1 é o lado que liga 0,0 com 1,0 ; C 2 é o lado que liga 1,0 com 1,2 ; C 3 é o lado que liga 1,2 com 0,0 , assim vamos rodar no sentido anti-horário.

Vamos começar com

∫ C 1   x y d x + x 2 y 3 d y

Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos calcular a reta que liga os pontos, podemos perceber que ele só se move ao longo de x , então a parametrização vai ser

σ 1 → = ( x , 0 )

Com x indo de 0 à 1 , tendo 0 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Agora calculamos σ 1 → ' t :

σ 1 → ' x = d x d x , d 0 d x = ( 1,0 )

Passo 3

Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de σ 1 → ' x e escrevendo F em função de x :

∫ C 1   F . d r = ∫ a b F x x ,   y x . σ 1 → ' x d x

∫ 0 1 x . 0 , x 2 0 3 . 1,0 d x =

= ∫ 0 1 0,0 . 1,0 d x =

= ∫ 0 1 0 d x =

= 0

Passo 4

Vamos ver a segunda agora

∫ C 2   x y d x + x 2 y 3 d y

Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos calcular a reta que liga os pontos, podemos perceber que ele só se move ao longo de y , então a parametrização vai ser

σ 2 → = ( 1 , y )

Com y indo de 0 à 2 , tendo 0 ≤ y ≤ 2

Passo 5

Agora calculamos σ 2 → ' y :

σ 2 → ' y = d 1 d y , d y d y = ( 0,1 )

Passo 6

Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de σ 2 → ' x e escrevendo F em função de y :

∫ C 2   F . d r = ∫ a b F x y ,   y y . σ 2 → ' y d y

∫ 0 2 1 . y , 1 2 y 3 . 0,1 d y =

= ∫ 0 2 y , y 3 . 0,1 d y =

= ∫ 0 2 y 3 d y =

= y 4 4 y = 0 2 =

= 2 4 4 - 0 = 16 4 = 4

Passo 7

Vamos ver a terceira agora

∫ C 3   x y d x + x 2 y 3 d y

Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos fazer uma malandragem, é mais fácil parametrizar essa reta indo de 0,0 a 1,2 do que o contrário.

Vamos fazer o caminho no sentido contrário e trocamos o sinal da parametrização

A reta vai ser

y = 2 x

A parametrização vai ficar

σ 3 = x , 2 x

Aqui vamos ter x indo de 0 até 1 , então 0 ≤ x ≤ 1

Passo 8

Agora calculamos σ 3 → ' x :

σ 3 → ' x = d x d x , d 2 x d x = 1,2

Passo 9

Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de σ 3 → ' x e escrevendo F em função de x :

∫ C 2   F . d r = - ∫ a b F x x ,   y x . σ 3 → ' x d x

Lembra que esse menos aparece porque a parametrização tem sentido contrário ao que ele pediu.

⇒ - ∫ 0 1 x ∙ 2 x , x 2 2 x 3 . 1,2 d x =

⇒ - ∫ 0 1 2 x 2 , 8 x 5 . 1,2 d x =

⇒ - ∫ 0 1 2 x 2 + 16 x 5 d x =

⇒ - 2 x 3 3 + 16 x 6 6 x = 0 1

⇒ - 2 ∙ 1 3 3 + 16 ∙ 1 6 6 - 2 ∙ 0 3 3 + 16 ∙ 0 6 6

⇒ - 2 3 + 16 6 - 0 + 0

⇒ - 2 3 + 8 3 - 0

⇒ - 10 3

⇒ - 10 3

Passo 10

Agora que temos as três integrais é só substituir

∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y = ∫ C 1   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 2   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 3   x y d x + x 2 y 3 d y

∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y = 0 + 4 + - 10 3

⇒ 4 - 10 3

⇒ 12 - 10 3

⇒ 2 3

Resposta

2 3

Exercício Resolvido #2

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um Curso de Cálculo – volume 3, 5ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 2001, pp. 154-1.

Calcule

∫ γ x 3 d x + d y 1 + y 2

Onde γ é a curva:

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Passo 1

Primeiramente, vemos que nossa integral está escrita na forma:

∫ γ   F 1 d x + F 2 d y

Então:

F → = x 3 , 1 1 + y 2

E nossa curva γ pode ser dividida em quatro partes de forma que γ = C 1 ∪ C 2 ∪   C 3 ∪ C 4 . Então vamos começar dando nome aos bois:

Cada uma dessas curvas são retas. Então vamos ter algo do tipo:

∫ γ   F → . d r = ∫ C 1 F → . d r + ∫ C 2 F → . d r + ∫ C 3 F → . d r + ∫ C 4 F → . d r

As curvas são bem parecidas e tal, mas vamos calcular uma por uma pra ter certeza e não confundir nada.

Passo 2

Começando por C 1 , lembramos que a fórmula que vamos usar é:

∫ C 1 F → . d r =   ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' t   d t

Passo 3

A parametrização dela vai ser:

σ t = 1 , t ,     - 1 ≤ t ≤ 1

Passo 4

então é só calcular o vetor tangente:

σ → ' t = d 1 d t ,   d t d t = ( 0 ,   1 )

Passo 5

E jogar na fórmula, pra fazermos o produto escalar:

∫ - 1 1 1 3 , 1 1 + t 2 . 0,1   d t = ∫ - 1 1 0 + 1 1 + t 2 d t =   ∫ - 1 1 1 1 + t 2 d t  

É uma integral meio complicada, mas pra quem não lembra:

∫ - 1 1 1 1 + t 2 d t = arctan ⁡ t │ - 1 1 = π 4 - - π 4 = 2 π 4 = π 2

Passo 6

Agora repetimos o método para C 2 :

∫ C 2 F → . d r =   ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' t   d t

σ t = - t , 1 ,     - 1 ≤ t ≤ 1

Vamos ver como fica o vetor tangente:

σ → ' t = d - t d t ,   d 1 d t = ( - 1 ,   0 )

Bem parecido com o outro, mas olha como a integral fica diferente:

∫ - 1 1 - t 3 , 1 1 + 1 2 . - 1,0   d t = ∫ - 1 1 t 3 + 0 d t = ∫ - 1 1 t 1 3 d t

Essa é mais fácil, pelo menos:

∫ - 1 1 t 1 3 d t = 3 4 t 4 3 │ - 1 1 = 3 4 1 - 1 = 0

Passo 7

E mais uma vez, aplicamos a fórmula pra C 3 : ∫ C 3 F → . d r =   ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' t   d t

σ t = - 1 , - t ,     - 1 ≤ t ≤ 1

E o vetor tangente:

σ → ' t = d - 1 d t ,   d - t d t = ( 0 , - 1 )

Jogando na integral:

∫ - 1 1 - 1 3 , 1 1 + - t 2 . 0 , - 1   d t = ∫ - 1 1 0 + - 1 1 + t 2 d t =   - ∫ - 1 1 1 1 + t 2 d t

Opa, ja vi isso antes, né? Haha

- ∫ - 1 1 1 1 + t 2 d t = - arctan ⁡ t │ - 1 1 = - π 4 - - π 4 = - π 2  

Passo 8

E, por último, finalmente, C 4 :

∫ C 4 F → . d r =   ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' t   d t

σ t = t , - 1 ,     - 1 ≤ t ≤ 1

O que vem agora, adivinha? Isso, vetor tangente:

σ → ' t = d t d t ,   d - 1 d t = ( 1 ,   0 )

E a integral:

∫ - 1 1 t 3 , 1 1 + - 1 2 . 1,0   d t = ∫ - 1 1 t 3 + 0 d t = ∫ - 1 1 t 1 3 d t

Que, como já vimos:

∫ - 1 1 t 1 3 d t = 3 4 t 4 3 │ - 1 1 = 3 4 1 - 1 = 0

Passo 9

Pra terminar, só somar tudo:

∫ C 1 F → . d r + ∫ C 2 F → . d r + ∫ C 3 F → . d r + ∫ C 4 F → . d r =   π 2 + 0 - π 2 + 0 = 0

Achou estranho? Bem, mas é isso mesmo, pode confiar!

Resposta

0

Exercício Resolvido #3

PUC-RJ - Cálculo 3 - P2 2013.2 - 2b

Considere a integral de linha

I = ∮ C F ∙ d r

Onde C é a fronteira da região do primeiro quadrante limitada pelas circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 , orientada no sentido anti-horário e F é o campo vetorial definido por F x , y = x x 2 + y 2 , - y x 2 + y 2

Calcule Essa integral pela definição de integral de linha.

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Passo 1

Temos que entender como é a região que ele falou. Repara que a região vai ser entre as circunferências de raio 1 e 2 , e limitada por x ≥ 0 e y ≥ 0 porque está no primeiro quadrante. Então a região fica assim

Como ele quer no sentido anti-horário vamos ter o seguinte sentido das 4 curvas

Para fazer a integral de linha vamos ter

I = ∫ C 1 F ∙ d r + ∫ C 2 F ∙ d r + ∫ C 3 F ∙ d r + ∫ C 4 F ∙ d r

Passo 2

Vamos começar com C 1 , vamos fazer a parametrização da circunferência de raio 1

r 1 θ = cos ⁡ θ , sen ⁡ θ

θ ∈ 0 , π 2

Na verdade temos que pegar a integral com o sinal trocado né? Desse jeito ele está rodando no sentido contrário ao longo da circunferência.

Agora queremos a derivada

r 1 ' t = - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ

A integral vai ficar

∫ C 1 F ∙ d r = - ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 , - sen ⁡ θ cos ⁡ θ 2 + sen ⁡ θ 2 ∙ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ

⇒ - ∫ 0 π / 2 cos ⁡ θ 1 , - sen ⁡ θ 1 ∙ - sen ⁡ θ , cos ⁡ θ d θ

⇒ - ∫ 0 π / 2 - sen ⁡ θ cos ⁡ θ - sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

⇒ - ∫ 0 π / 2 - 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ d θ

Lembrando que sen ⁡ 2 θ = 2 sen ⁡ θ cos ⁡ θ