Caso Vetorial no R²

Teoria Completa

Introdução

Antes de tudo, vamos explicar a motivação de definir esse tipo de integral. Lembra quando você aprendeu a determinar o trabalho de uma força? Calculamos da seguinte forma W = F . d , sendo F a componente da força na direção do deslocamento retilíneo d . Tudo muito legal, muito bonito.

Agora digamos que F não seja constante em todos os pontos, que seja dada por uma função F ( x , y ) .

Primeiro, é importante entendermos essa função F x , y , como ela é? Onde ela vive? Não será no globo repórter, rs.

Se olharmos para F x , y como uma força, ela vai ter duas componentes, por exemplo

F x , y = 2 x , 3 y

Quando tivermos uma função desse tipo, onde ela tem componentes, vamos chamar de campo vetorial, isso é bem básico e é tudo que precisamos saber. =D

Agora que entendemos bem a ideia da força, vamos olhar para o trabalho. Se ele andar por uma curva muito louca? Como achamos o trabalho? Aquela fórmula não vai funcionar.

Aí a coisa ficou séria né? Como faremos para calcular esse trabalho?

Vamos supor uma curva parametrizada por σ → =   ( x t , y ( t ) ) , que dividiremos em subarcos. Bom, quando esses subarcos são pequenos, a direção do deslocamento é aproximadamente o vetor tangente à curva, certo? O vetor unitário tangente à curva é dado por:

σ → ' ( t ) σ → ' t

O vetor deslocamento é dado, então, pelo comprimento desse subarco ∆ s multiplicado pelo vetor unitário tangente à curva, o que nos dá:

σ → ' ( t ) σ → ' t ∆ s

Então, o trabalho realizado por F nesse subarco será dado por:

F x t ,   y t . σ → ' ( t ) σ → ' t ∆ s

Somando o trabalho em cada um desses subarcos, temos que o trabalho sobre a curva toda será dado por:

∑ i = 1 n F x t i ,   y t i . σ → ' ( t i ) | σ → ' ( t i ) | ∆ s

Certo? Se tomarmos o limite dessa expressão quando n tende ao infinito, teremos a seguinte integral:

W = ∫ C   F x t ,   y t . σ → ' t σ → ' t d s

Na real, essa não é a fórmula final que você vai usar. Tem uma mais simples, vamos ver como é na prática?

Definição

Para substituirmos esse d s que está aí na fórmula, vou me aproveitar de uns conceitos de física aqui e lembrar que o módulo da velocidade pode ser dado por:

v = d s d t

E então:

d s = v d t

Mas a velocidade pode ser interpretada como o vetor tangente a curva, e então, no final:

d s = σ → ' t d t

Assim, aquela fórmula que tinhamos lá em cima vai ficar:

W = ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' ( t ) σ → ' t σ → ' t d t

W = ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' t   d t

Perceba que escrevemos o campo vetorial F em função do parâmetro t . Veja também que temos o produto escalar entre dois vetores, o que nos dará um número.

Essa é a integral de linha de um campo vetorial F ao longo de curva parametrizada por σ → t .

A integral de linha não se limita apenas para o cálculo do trabalho de uma força.

Podemos usar a integral de linha para o cálculo do escoamento de um fluido. As contas são exatamente as mesmas, só o nome que muda, então não se preocupe, ok?

Se ele pedir a circulação, não desespera, a circulação nada mais é que o escoamento de um fluido em uma curva fechada. A conta é a mesma de antes.

Notação

A integral de linha em um campo vetorial pode ser escrita dessa forma:

∫ C   F → . d r →

Ou também assim:

∫ C   F 1 d x + F 2 d y

Onde F → = ( F 1 ,   F 2 ) . Essa representação que separa as componentes do vetor F → também é muito usada, mas no final dá tudo no mesmo, não se preocupe.

Para curvas fechadas, isto é, curvas que tem ponto final igual ao ponto inicial, temos também a notação:

∮ C F ∙ d r   o u   ∮ C F 1 d x + F 2 d y

Com essa bolinha no meio. Também não faz diferença prática nenhuma, é só uma forma de indicar bem explícitamente que a curva C é fechada.

Orientação

Uma coisa que você tem que ficar bem atento quando for fazer uma integral de linha vetorial é que, na hora de parametrizar a curva, vamos ver que ela tem uma “direção”.

Por exemplo, a princípio a gente podia achar que as curvas:

C 1 : σ → = t , 0 ,   0 ≤ t ≤ 2

C 2 : σ → = - t , 0 ,   - 2 ≤ t ≤ 0

São iguais, já que as duas são retas que ligam os pontos ( 0,0 ) e ( 2,0 ) .

Mas é muito importante saber identificar a diferença, já que C 1 tem ponto inicial ( 0,0 ) e ponto final ( 2,0 ) , enquanto C 2 é ao contrário, tem início em ( 2,0 ) e final em ( 0,0 ) .

A essa “direção” que a curva tem chamamos de orientação da curva.

Ou seja, uma mesma reta ou curva qualquer pode ter dois sentidos diferentes, de forma que:

∫ C 1 F ∙ d r = - ∫ C 2 F ∙ d r

Por esse motivo, eu gosto muito da notação C 2 = C 1 - , com esse sinalzinho negativo em cima, pra denotar que um é negativo da outra.

Para curvas fechadas, cujo ponto final e inicial são iguais, dizemos que quando a curva é percorrida no sentido anti-horário, ela tem orientação positiva, enquanto no sentido horário tem orientação negativa.

Vamos só fazer um exemplo pra você ver como é que fica o passo-a-passo.

Exemplo

Determine o trabalho feito pelo campo de força F x , y = 2 x , 3 y ao longo de uma curva parametrizada por σ → t = ( 2 t ,   t 2 ) , com 0 ≤ t ≤ 1 .

Passo 1: Vamos montar a integral

W = ∫ C   F x , y . d r = ∫ a b F x t ,   y t . σ → ' t d t

Pelo próprio enunciado, já temos que a = 0 e b = 1 .

A parametrização da curva nos dá que x = 2 t e y = t 2 , pelo próprio enunciado.

Passo 2: Calcular σ → ' t

Derivando a parametrização, temos:

σ → ' t = d 2 t d t ,   d t 2 d t = ( 2 ,   2 t )

Passo 3: Substituir σ → ' t na integral e escrevê-la em função do parâmetro t

Lembre-se de que a função vetorial F x , y = ( 2 x , 3 y ) deve ser reescrita obedecendo as definições da parametrização da curva: x = 2 t e y = t 2 ,

∫ 0 1 2 2 t ,   3 ( t 2 ) . ( 2 ,   2 t ) d t =

= ∫ 0 1 4 t ,   3 t 2 . ( 2 ,   2 t ) d t =

Peraí, você se lembra de como fazer produto escalar? É bem simples, basta multiplicar o 1ª termo do primeiro vetor com o 1º termo do segundo e o 2º termo do primeiro vetor com o 2º termo do segundo e somar esses valores, dessa forma:

= ∫ 0 1 8 t + 6 t 3 d t =

Passo 4: Calcular a integral

= 8 t 2 2 + 6 t 4 4 0 1 =

= 4 + 3 2 =

11 2

Pronto, isso aí, nada demais, né? Vamos fazer uns exercícios pra ver se você pegou mesmo?

Expandir

Exercício Resolvido #1

CEFET - Cálculo Vetorial - Lista 1 Thomé – 8

Calcule a integral de linha ∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y , onde C é o triângulo com vértices nos pontos ( 0,0 ) , ( 1,0 ) e ( 1,2 ) .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

A nossa função vai ser

x y d x + x 2 y 3 d y ⇒ F x , y = x y , x 2 y 3

Temos 3 segmentos de reta, então vamos fazer

∫ C   x y d x + x 2 y 3 d y = ∫ C 1   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 2   x y d x + x 2 y 3 d y + ∫ C 3   x y d x + x 2 y 3 d y

Onde C 1 é o lado que liga 0,0 com 1,0 ; C 2 é o lado que liga 1,0 com 1,2 ; C 3 é o lado que liga 1,2 com 0,0 , assim vamos rodar no sentido anti-horário.

Vamos começar com

∫ C 1   x y d x + x 2 y 3 d y

Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos calcular a reta que liga os pontos, podemos perceber que ele só se move ao longo de x , então a parametrização vai ser

σ 1 → = ( x , 0 )

Com x indo de 0 à 1 , tendo 0 ≤ x ≤ 1

Passo 2

Agora calculamos σ 1 → ' t :

σ 1 → ' x = d x d x , d 0 d x = ( 1,0 )

Passo 3

Vamos, agora, utilizar a fórmula, substituindo o valor de σ 1 → ' x e escrevendo F em função de x :

∫ C 1   F . d r = ∫ a b F x x ,   y x . σ 1 → ' x d x

∫ 0 1 x . 0 , x 2 0 3 . 1,0 d x =

= ∫ 0 1 0,0 . 1,0 d x =

= ∫ 0 1 0 d x =

= 0

Passo 4

Vamos ver a segunda agora

∫ C 2   x y d x + x 2 y 3 d y

Precisamos parametrizar esse segmento de reta. Para isso, vamos calcular a reta que liga os pontos, podemos perceber que ele só se move ao longo de y , então a parametrização vai ser

σ 2 → = ( 1 , y )

Com y indo de 0 à 2 , tendo 0 ≤ y ≤ 2

Passo 5

Agora calculamos σ 2 → ' y :

σ 2 → ' y = d 1 d y , d y d y = ( 0,1 )